В квантовой теории наибольший интерес представляют измерения с вещественными значениями. Пусть $\boldsymbol{M}: S \rightarrow$ $\rightarrow \mu_{S}(d x)$ такое измерение; тогда $\mu_{S}(d x)$ есть распределение вероятностей на вещественной прямой $\mathbb{R}$. Важнейшими характеристиками такого распределения являются среднее и дисперсия
\[
E_{s}\{M\}=\int x \mu_{s}(d x), \quad D_{s}\{M\}=\int\left(x-E_{s}\{M\}\right)^{2} \mu_{s}(d x) .
\]

Эти величины определены и конечны, во всяком случае, если $\mu_{S}$ имеет конечный второй момент. В этом случае мы скажем, что измерение $M$ имеет комечный второй момент относительно состояния $S$.
Наблюдаемой в квантовой механике называется самосопряженный оператор в $\mathscr{K}$; мы, однако, будем применять этот термин к произвольному плотно определенному симметричному оператору. Согласно спектральным теоремам, соотношение $X=\int x M(d x)$ устанавливает соответствие между наблюдаемыми и измерениями. Средним эниением $\mathrm{E}_{s}(X)$ и дисперсией $\mathrm{D}_{S}(X)$ наблюдаемой $X$ мы будем называть величины (6.1), вычисленные по соответствующему измерению $M(d x)$. Из соотношений (4.5), (4.6), (4.14) для чистого состояния $S_{\phi}$ получаем *)
\[
\begin{array}{l}
E_{S_{\phi}}(X)=(\psi \mid X \psi), \\
D_{S_{\phi}}(X)=\left.l\left(X-E_{S_{\psi}}(X)\right) \psi\right|^{2}=\left.X \psi\right|^{2}-\left(E_{S_{\phi}}(X)\right)^{2}
\end{array}
\]

при условии, что $\psi \in \mathscr{D}(X)$.
Если $X$ – ограниченная наблюдаемая, то соответствующее простое измерение имеет конечный второй момент относительно любого состояния $S$, причем
\[
\begin{array}{l}
E_{S}(X)=\operatorname{Tr} S X, \\
D_{S}(X)=\operatorname{Tr} S\left(X-E_{S}(X)\right)^{2} .
\end{array}
\]

Вообще, для ограниченної функции $f$
\[
\int f(x) \mu_{s}(d x)=\operatorname{Tr} S f(X) .
\]

Эти формулы будут установлены в следующем параграфе. Рассмотрим пару наблюдаемых $X_{1}$ и $X_{2}$ и состояние $S_{\downarrow}$ такое, что $\psi \in \mathscr{D}\left(X_{1}\right) \cap \mathscr{V}\left(X_{2}\right)$. Для любого вещественного $c$
\[
\begin{array}{l}
0 \leqslant I\left(X_{1}-E_{s}\left(X_{1}\right)\right) \psi-i c\left(X_{2}-E_{s}\left(X_{2}\right)\right) \psi \|^{2}= \\
=\mathrm{D}_{s_{\psi}}\left(X_{1}\right)+2 c \operatorname{Im}\left(X_{1} \psi \mid X_{2} \psi\right)+c^{2} \mathrm{D}_{s_{\phi}}\left(X_{2}\right),
\end{array}
\]

откуда
\[
D_{s_{\phi}}\left(X_{1}\right) \cdot D_{s_{\psi}}\left(X_{\mathbf{s}}\right) \geqslant\left|\operatorname{Im}\left(X_{1} \boldsymbol{\psi} \mid X_{2} \psi\right)\right|^{\mathbf{s}},
\]

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда для некоторого $c$
\[
\left[\left(X_{1}-E_{s}\left(X_{1}\right)\right)+c\left(X_{2}-E_{s}\left(X_{9}\right)\right)\right] \psi=0 .
\]

В предположении законности преобразований неравенство (6.7) можно переписать в виде
\[
\left.\mathrm{D}_{s}\left(X_{1}\right) \cdot \mathrm{D}_{s}\left(X_{2}\right) \geqslant \frac{1}{4} \right\rvert\, \mathrm{E}_{s}\left(\left.i\left[X_{1}, X_{2}\right]\right|^{2},\right.
\]

где
\[
\left[X_{1}, X_{2}\right]=X_{1} X_{2}-X_{2} X_{1}
\]
– комиутатор операторов $X_{1}, X_{2}$. Это неравенство назьвается соотношением неопределенностей. В 9
-) Мы условнмсл в записи операторов, крагных единичному, опускать нногда снивол $I$, так то $X-E_{S}(X)=X-E_{S}(X) \cdot 1$ и т. п.

мы обобщим его на произвольные состояния и измерения с конечным вторым моментом.

Остановимся на интерпретации соотношения (6.9). Иногда можно встретить утверждение, что соотношение неопределенностей устанавливает ограничение на точность ссовместного измерения» наблюдаемых $X_{1}, X_{9}$. Для того чтобы разобратъся в справедливости подобной интерпретации, необходимо придать точный смысл понятию \”совместной иэмеримостиз.

В реальных экспериментах довольно часто приходится производить совместное измерение нескольких величин. В таких случаях результатом измерения является набор вещественных чисел $x_{1}, \ldots, x_{n 1}$ могущий принимать значения в некоторой области $\Lambda$ п-мерного пространства. Таким образом, математически совместные измерения должны описыватъся разложениями единицы $M\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right)$ на $\Lambda \subset R^{n}$.

Обычно говорят о содновременном измерении нескольких величин. На самом деле моменты получения данных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ не играют здесь существенной роли. Измерение может быть одновременным или послєдовательным, это, конечно, отразится на статистике измерения, но в лобом случае она будет описываться некоторым аффинным отображением $S \rightarrow \mu_{S}\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right)$. Важно лишь то, qто все данные получены в одном эксперименте, отнесенном к определенному исходному состоянию $S$.

Рассмотрим вещественные измерения $M_{1}\left(d x_{1}\right), x_{1} \in \mathrm{R}_{1}$; $M_{2}\left(d x_{2}\right), \quad x_{2} \in R_{2}$. Мы скажем, что эти измерения сов местимь, если существует измерение $M\left(d x_{1} d x_{2}\right)$ на $R_{1} \times$ $\times R_{2}=R^{2}$ такое, что
\[
M_{1}\left(d x_{1}\right)=\int_{R_{3}} M\left(d x_{1} d x_{2}\right), \quad M_{2}\left(d x_{2}\right)=\int_{R_{1}} M\left(d x_{1} d x_{2}\right),
\]

точнее, $M_{1}\left(B_{1}\right)=M\left(B_{1} \times R_{2}\right), \quad B_{1} \in$ et $\left(R_{1}\right)$, и аналогично для $M_{2}$. По аналогии с теорией вероятностей можно сказать, что $M_{1}, M_{2}$ являются мареинальньми иямерениями для измерения $M$.

Рассмотрим теперь вопрос о совместной измеримости наблюдаемых, определяемых самосопряженными операторами
\[
X_{j}=\int x_{j} E_{j}\left(d x_{j}\right) ; \quad J=1,2 .
\]
Назовем их совместимьки (или совместно измеримьки), если совместимы измерения, описываемые их спектральными мерами $E_{j}\left(d x_{j}\right)$.

Предложение 6.1. Наблодаемье $X_{1}, X_{2}$ совместно измеримы тогда и только тогда, когда их спектральныи меры $E_{1}, E_{2}$ коммутируют, m. е. $\left[E_{1}\left(B_{1}\right), E_{3}\left(B_{2}\right)\right]=0$ для нюови $B_{j} \in$ et $\left(R_{j}\right), j=1,2$.

Доказательство. Для доказательства достаточности определим ортогональное разложение единицы на $R_{1} \times R_{9}$, полагая
\[
E\left(B_{1} \times B_{2}\right)=E_{1}\left(B_{1}\right) \cdot E_{3}\left(B_{2}\right)
\]

и продолжая $E$ на $\mathscr{t}\left(\mathbb{R}_{1} \times R_{2}\right)$ стандартным образом. Тогда $\boldsymbol{E}_{j}$ являются маргинальными измерениями для $\boldsymbol{E}$.

Докажем необходимость. Пусть существует измерение $M$, для которого $E_{1}$ и $E_{2}$ являются маргинальными измерениями. Нам надо доказать, что для любых $B_{1}$, $B_{2} \in$ et $(\mathbb{R})$ проекторы $E_{1}\left(B_{1}\right)$ и $E_{2}\left(B_{2}\right)$ коммутируют. Пусть $B_{j}$ – дополнение множества $B_{j} ; j=1,2$; тогда мы можем изобразить следующую таблицу:
\[
\begin{array}{c}
E_{1}\left(B_{1}\right)=M\left(B_{1} \times B_{2}\right)+M\left(B_{1} \times B_{2}\right) \\
E_{1}\left(B_{1}\right)=M\left(B_{1} \times B_{2}\right)+M\left(B_{1} \times B_{2}\right) \\
\|=E_{2}\left(B_{8}\right)+E_{2}\left(B_{2}\right),
\end{array}
\]

где $E_{1}\left(B_{1}\right) E_{1}\left(B_{1}\right)=E_{2}\left(B_{2}\right) E_{2}\left(B_{2}\right)=0$. Переписывая это соотношение в виде
\[
\begin{array}{l}
{\left[M\left(B_{1} \times B_{2}\right)+M\left(B_{1} \times B_{2}\right)\right] \cdot\left[M\left(B_{1} \times B_{2}\right)+M\left(B_{1} \times B_{2}\right)\right]=} \\
=\left[M\left(B_{1} \times B_{2}\right)+M\left(B_{1} \times B_{2}\right)\right] \cdot\left[M\left(B_{1} \times B_{2}\right)+M\left(B_{1} \times B_{2}\right)\right]=0
\end{array}
\]

и применяя несколько раз аналог леммы I.6.3 для гильбертова пространства, получаем, что произведение любых двух из операторов $M\left(B_{1} \times B_{2}\right), \quad M\left(B_{1} \times B_{2}\right)$, $M\left(B_{1} \times B_{2}\right), M\left(B_{2} \times B_{2}\right)$ равно нулю. Отсюда $E_{1}\left(B_{1}\right) E_{2}\left(B_{2}\right)=$ $=M\left(B_{1} \times B_{2}\right)^{2}=E_{2}\left(B_{3}\right) E_{1}\left(B_{1}\right)$, и предложение доказано. Аналогичный результат справедлив для любого конечного набора наблюдаемых
\[
X_{j}=\int \lambda_{f} E\left(d \lambda_{f}\right) ; \quad j=1, \ldots, n .
\]

Если $\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{f}}$ совместно измеримы, то они могут быть представлены через измерение $E\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right)=\prod_{f} E_{l}\left(d x_{j}\right)$ по формуле
\[
X_{f}=\int \ldots \int \lambda_{f} E\left(d \lambda_{1} \ldots d \lambda_{n}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Обратно, для всякого простого измерения формула (6.12) определяет набор совместно измеримых наблюдаемых.

Можно показать, что ограниченные наблюдаемые совместимы тогда и только тогда, когда соответствующие операторы коммутируют, т. е. $\left[X_{j}, X_{k}\right]=0$. Для неограниченных операторов коммутатор может быть не определен; гозорят, что они коммутируют, если коммутируют их спектральные меры. Это равносильно тому, что коммутируют порождаемые ими унитарные группы, т. е. $\left[e^{u x_{i}}, e^{i s x_{k}}\right]=0$.

Формула (6.12) является обобщением спектрального разложения на коммутирующие семейства самосопряженных операторов. Основываясь на ней, можно определить функцию $f$ от коммутирующих операторов как
\[
f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\int \ldots \int f\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) E\left(d \lambda_{1} \ldots d \lambda_{n}\right) .
\]

Возвращаясь к соотношению неопределенностей, заметим, что если правая часть отлична от нуля, то $X_{1}$ и $X_{2}$ не коммутируют и, следовательно, вообще совместно не иэмеримы. Поэтому нельзя говорить, что соотношения (6.9) устанавливают границы для точности совместного измерения $X_{1}$ и $X_{8}$.

Для того чтобы дать правильную интерпретацию, рассмотрим два набора, состоящие из большого числа экземпляров одного и того же объекта, приготовленного в одном и том же состоянии $S$. Тогда, если в первом наборе измеряется наблюдаемая $X_{1}$, а во второмнаклюдаемая $X_{2}$, то произведение дисперсий таких, независимо друг от друга произведенных измерений будет удовлетворять соотношению (6.9). Или иначе, предположим, что из самого описания процедуры приготовления известна одна из дисперсий, скажем, $\mathrm{D}_{s}\left(\boldsymbol{X}_{1}\right)$ (например, однородный пучок частиц пролускается через отверстие определенного размера). Тогда наблюденное значение $\mathrm{D}_{S}\left(X_{2}\right)$ будет удовлетворять соотношению (6.9). Обе эти интерпретации весьма близки друг к другу, так как определение величины $\mathrm{D}_{s}\left(X_{1}\right)$ по первому набору можно рассматривать как предварительное определение характеристики приготовленного состояния.

Тем не менее, как мы увидим, соотношение неопределенностей имеет отношение и к точности совместного измерения, хотя эта связь не является столь прямолинейной, как это часто предполагается.