Рассмотрим пример, приведенный в § 1. Пусть некоторая установка приготовляет состояние $S$, инвариантное относительно вращений вокруг некоторой оси $n_{0}$ :
\[
\left.S=\sum_{m=-1}^{\prime} s_{m} \mid m\right)(m \mid,
\]

где $\mid m$ )-собственные векторы оператора углового момента $J_{0}$ вокруг оси $\boldsymbol{n}_{0}$ (см. § III.13). Если установка затем поворачивается так, что ось $n_{0}$ принимает новое положение $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{g} \boldsymbol{n}_{0}$, где $\boldsymbol{g}$ – элемент группы вращений, то приготавливаемое ею состояние будет описываться оператором плотности $S_{n}=V_{g} S V_{g}^{*}$, где $g \rightarrow V_{g}$ – рассматриваемое неприводимое представление группы вращений в $(2 j+1)$-мерном гильбертовом пространстве Ориентация квантового объекта задается в этом случае единичным вектором $n$, указывающим направление оси симметрии. Предположим, что истинное направление $\boldsymbol{n}$ неизвестно и производятся измерения $M(d n)$ с целью оценить это направление $n$. Таким образом, мы имеем семейство состояний $\left\{S_{n} ; n \in \mathbb{S}^{2}\right\}$, где $\mathbb{S}^{2}$ – единичная сфера в $R^{3}$, которое ковариантно по отношению к представлению $g \rightarrow V_{g}$ группы вращений. Используя подход, развитый в § 3, рассмотрим, как точно можно оценить в этой ситуации истинное направление оси эимметрии $\boldsymbol{n}$. Мы будем пользоваться следующей функцией отклонения:
\[
W_{n}(\hat{n})=|\boldsymbol{n}-\hat{\boldsymbol{n}}|^{2}=2[1-\boldsymbol{n} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}],
\]

которая, очевидно, инвариантна. В качестве априорного распределения в байесовской мере точности возьмем норміированную евклидову площадь $v(d n)$ на сфере $\mathbb{S}^{2}$.
Так как представление $g \rightarrow V_{g}$ неприводимо, то согласно предложению 2.2 всякое ковариантное измерение имеет вид
\[
M(d n)=(2 j+1) V_{g} S_{0} V_{B}^{*} v(d n) \quad\left(n=g n_{0}\right),
\]

где $S_{0}$ – оператор плотности, коммутирующий с $V_{g} ; g \in G_{0}$. Подгруппа $G_{0}$ состоит из вращений вокруг оси $n_{0}$, так что $S_{0}$ имеет диагональную матрицу в базе $\left.\{\mid m)\right\}$.

Согласно предложению 3.1, чтобы решить задачу оптимального измерения параметра $\boldsymbol{n} \in \mathbb{S}^{2}$, следует найти минимальное собственное значение и соответствующий собственный вектор оператора апостериорного отклонения
\[
\hat{W}_{0}=2 \int_{Q}\left[1-n_{0} \cdot g n_{0}\right] V_{g}^{*} S V_{g} \mu(d g),
\]

где $\mu(d g)$ – нормированная инвариантная мера на группе вращений. Как показано далее, для любого состояния $S$
\[
\hat{W}_{0}=\frac{2}{2 j+1}\left[\mathrm{I}-\frac{\operatorname{Tr} S J_{0}}{i(j+1)} J_{0}\right],
\]

где $J_{0}$-оператор углового момента вокруг оси $n_{0}$ (для сокращения обозначений мы полагаем $\hbar=1$ ). Тем самым минимальное собственное значение оператора $\hat{\boldsymbol{W}}_{0}$ равно $2\left(1-\left|\bar{J}_{0}\right| /(j+1)\right)$, где $\bar{J}_{0}=\operatorname{Tr} S J_{0}$, а соответствующий собственный вектор есть $\mid j$ ) или $\mid-j$ ), в зависимости от тoro, $\bar{J}_{0}>0$ или $\bar{J}_{0}<0$. Таким образом, мы доказали Предложение 5.1. Ковариантное измерение
\[
\left.M_{*}(d n)=(2 j+1) V_{g} \mid \pm j\right)\left( \pm j \mid V_{g}^{*} v(d n) \quad\left(n=g n_{0}\right)\right.
\]

яаляется бадесовским и минимаксным иямерением маправления $n$ оси симметрии для функции отклонения (5.1), причем энак выбирается в соответствии со энаком среднего углового момента $\bar{J}_{0}=\mathrm{E}_{S}\left(J_{0}\right)$. Минимун среднед ошибки равен $2\left[1-\left|\bar{J}_{0}\right| /(j+1)\right] \geqslant 2 /(j+1)$.

Простое угадывание, которому соответствует разложение единицы $M^{*}(d n)=I \cdot v(d n)$, дает среднее отклонение $\mathscr{R}\left\{M^{*}\right\}=\operatorname{Tr} \hat{W}_{0}=2$, так что
\[
\frac{\mathscr{R}\left\{M_{*}\right\}}{\mathscr{R}\left\{M^{*}\right\}}=1-\frac{\left|\bar{J}_{0}\right|}{1+1} .
\]

Выигрыш от применения оптимального измерения тем больше, чем больше отношение $\left|J_{0}\right| /(j+1)$, и равен нулю, если данное состояние имеет нулевой средний момент

Заметим, что байесовское измерение совпадает с измерением максимального правдоподобия, лишь если вектор $\pm j$ ) является собственным вектором $S$ с максимальным собственным значением.

Рассмо1рим геперь задачу определения ориентаци и микрообъекта, не предполагая симметрии исходного состояния. Ориентация установки однозначно описывается репером $\theta=\left\{\boldsymbol{n}_{1}, \boldsymbol{n}_{2}, \boldsymbol{n}_{3}\right\}$ в $\mathrm{R}^{3}$. Фиксируем начальный репер $\theta_{0}=\left\{\boldsymbol{n}_{1}^{0}, \boldsymbol{n}_{2}^{0}, \boldsymbol{n}_{3}^{0}\right\}$. Вращение $g$ однозначно определяется репером $\theta=g \theta_{0}$, в который оно переводит начальный $\mathrm{pc}$ пер $\theta_{0}$. Ilоэтому множество всех реперов $g$ можно отождествить с группой вращений $G$. Определим отклонение репера $\hat{\theta}=\left\{\hat{n}_{1}, \hat{n}_{2}, \hat{n}_{3}\right\}$ от репера $\theta$ формулой
\[
W_{\theta}(\hat{\theta})=\sum_{i=1}^{3}\left|n_{i}-\hat{n}_{i}\right|^{2}=2 \sum_{i=1}^{3}\left[1-n_{i} \cdot \hat{n}_{i}\right] .
\]

Рассмотрим оператор апостериорного отклонения
\[
\hat{W}_{0}=2 \sum_{i=1}^{3} \int\left[1-n_{i}^{0} \cdot g n^{i}\right] V_{g}^{*} S V_{g} \mu(d g) .
\]

Воспользовавшись формулой (5.2), имеем
\[
\begin{array}{l}
W_{0}=\frac{2}{2 j+1} \sum_{i=1}^{3}\left[1-\frac{j_{i}}{j(j+1)} J_{i}\right]= \\
=\frac{2}{2 j+1}\left[3-\frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{3} J_{l}}}{j(j+1)} \sum_{i=1}^{3} \alpha_{i} J_{i}\right],
\end{array}
\]

где $J_{i}$-оператор углового момента вокруг оси $n_{i}, \bar{J}_{i}=$ $=\mathrm{E}_{S}\left(J_{i}\right)$ и $\alpha_{i}=\bar{J}_{i} / \sqrt{\Sigma \bar{J}_{l}}$. Оператор $\sum_{i=1}^{3} \alpha_{i} J_{i}$ является оператором углового момента вокруг оси $n=\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+$ $+\alpha_{3} e_{3}$; его максимальное собственное значение равно $j$; Обозначим через $\mid j ; n)$ соответствующий собственный вектор.

Предложение 5.2. Ковариантное измерение
\[
\left.M_{*}(d \theta)=(2 j+1) V_{g} \mid j ; n\right)\left(n ; j \mid V_{g}^{*} v(d \theta) \quad\left(\theta=g \theta_{0}\right)\right.
\]

является байесовским и минимаксным измерением ориентации $\theta=\left\{n_{1}, n_{2}, n_{3}\right\}$ для функции отклонения (5.3). Минимум среднего отклонения равен $2\left[3-\sqrt{\sum_{i=1}^{3} \bar{J}^{t} /(j+1)}\right]$.

Выигрыш от применения оптимального измерения определяется величиной
\[
\frac{\mathscr{R}\left\{M_{*}\right\}}{\mathscr{R}\left\{M^{*}\right\}}=1-\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{3} J_{l}}}{i+1}
\]

и имеет тот же характер зависимости от параметров, что и в предыдущей задаче.

Для доказательства формулы (5.2) вычислим матричные мементы оператора $\hat{w}_{0}$ в базисе $\left.\{\mid m)\right\}$. Для этого нам понадобятся матричньте элементы операторов представления. Пусть $0 \leqslant \theta \leqslant \pi, 0 \leqslant \psi<$ $<2 \pi, 0 \leqslant \varphi<2 \pi$ – углы Эйлера, задающие вращение g. Нормированная мера задается в этих параметрах соотношением $\mu(d g)=$ $=\left(8 \pi^{2}\right)^{-1} d \cos \theta d \psi d \varphi$. Имеем (см. комментарии)
\[
\begin{aligned}
\left(n\left|V_{g}\right| m\right) & =e^{-i m \psi-i n \varphi} P_{m n}^{\prime}(\cos \theta), \\
P_{m n}^{\prime}(t) & =K(1-t)^{\alpha / \beta}(1+t)^{\beta / \beta} P_{t}^{\alpha \beta}(t) .
\end{aligned}
\]

где $P_{s}^{\alpha \beta}$-многочлены Якоби, $\alpha=|n-m|, \beta=|n+m|, \quad s-1-$ $-\frac{1}{2}(\alpha+\beta), K=$ const. Выполняя интегрирование по $\varphi$ в $ф$ в эамечая, что $1-\boldsymbol{n}_{0} \cdot g \boldsymbol{n}_{0}=1-\cos \theta$, получаем
\[
\left(m\left|\hat{W}_{0}\right| m^{\prime}\right)=\delta_{m m^{\prime}} \sum_{n=-1}^{1}(n|S| n) \int_{-1}^{1}(1-t)\left|P_{m n}^{\prime}(t)\right|^{2} d t .
\]

Остается вычислить интеграл
\[
\int_{-1}^{1}(1-t)\left|P_{m n}^{I}(t)\right|^{2} d t=K^{2} \int_{-1}^{1}(1-t)^{\alpha+1}(1+t)^{\beta}\left|P_{s}^{\alpha \beta}(t)\right|^{2} d t,
\]

где константа $K$ определяется условием нормировки $K^{2} \int(1-t)^{\alpha} \times$ $\times(1+t)^{\beta}\left|P_{s}^{\alpha \beta}(t)\right|^{2} d t=\frac{2}{2 j+1}$. Используя рекуррентные соотношення для многочленов Якоби, получаем
\[
(1-t) P_{s}^{\alpha \beta}(t)=\left[1+\frac{\alpha^{\beta}-\beta^{2}}{4 j(j+1)}\right] P_{s}^{\alpha \beta}(t)+A P_{s+1}^{\alpha \beta}(t)+B P_{s-1}^{\alpha \beta}(t),
\]

где $A$ и $B$-некоторые постоянные. Так как многочлены $\left\{P_{s}^{\alpha \beta} ; s=\right.$ $=0,1, \ldots\}$ образуют ортогональную систему на интервале $(-1,1$ ) с весом $(1-t)^{\alpha}(1+t)^{\beta}$, то в силу условия нормировки нскомый интеграл равен коэффициенту при $P_{s}^{\alpha \beta}$ в предыдущей формуле, умноженному на $2 /(2 j+1)$, т. е.
\[
\frac{2}{2 j+1}\left[1+\frac{\alpha^{2}-\beta^{2}}{4 j(j+1)}\right]=\frac{2}{2 j+1}\left[1-\frac{n m}{j(j+1)}\right] .
\]

Отсюда
\[
\begin{aligned}
\hat{W}_{0} & \left.=\sum_{m, m^{\prime}} \mid m\right)\left(m\left|\hat{W}_{v}\right| m^{\prime}\right)\left(m^{\prime} \mid=\right. \\
& =\frac{2}{2 j+1}\left[\left.I-\frac{1}{i(j+1)} \sum_{n=-1}^{j} n(n|S| n) \sum_{m=-j}^{j} m \right\rvert\, m\right)(m \mid] .
\end{aligned}
\]

Учитывая тот факт, что $\left.J_{0}=\Sigma n \mid n\right)(n \mid$, получаем