Многие важные квантовые иаблюдаемые представляются неограниченными операторами. Однако неограниченность является источником определенных технических трудностей, порой весыма серьезных. Если в теории вероятностећ определение сумиы случайных величин не представляет затруднений, то для некоммутирующих неограниченных операторов сумма может иметь лишь тривиальную область определения. То обстоятельство, что в соотношении неопределенностей (6.7) мы рассмотрели лишь чистые состояния, также объясняется желанием избежать трудностей, связанных с неограниченностью. Теперь мы собираемся отбросить подобные ограничения и разработать аппарат, который позволил бы достаточно свободно оперировать неограниченными наблюдаемыми, в частности определить их средние значения и дисперсии относительно состояния, задаваемого любым оператором плотности.

В теории вероятностей важную роль играет гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом. В этом параграфе вводится некоммутативный аналог этой конструкции для произвольного оператора плотности. Соответствующее гильбертово пространство кквадратично-суммируемых» наблюдаемых оказывается весьма удобным; в частности, сумма таких наблюдаемых всегда определена и является квадратично-суммируемой наблюдаемой.
Пусть $S$ – произвольный оператор плотности:
\[
\left.S=\sum_{j} s_{j} \mid \psi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid,\right.
\]
$\boldsymbol{X}$-ограниченная вещественная наблюдаемая. Второй момент $X$, согласно (6.5), равен
\[
\operatorname{Tr} S X^{2}=\sum_{j} s_{j}\left(X \psi_{j} \mid X \psi_{j}\right) .
\]

Если рассматриватъ это выражение как квадратичную форму от $X \in \mathfrak{F}_{h}(\mathscr{K})$, то соответствующая билинейная симметричная форма, копорую мы обозначим $\langle X, Y\rangle_{s}$, будет иметь вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \sum_{i} s_{j}\left[\left(Y_{\Psi_{j}} \mid X \psi_{j}\right)+\left(X \psi_{j} \mid Y_{\psi_{j}}\right)\right]=\frac{1}{2} \operatorname{Tr} S(Y X+X Y)= \\
=\operatorname{Re} \operatorname{Tr} S Y X .
\end{array}
\]

Вводя симметризованное произведение
\[
X \cdot Y=\frac{1}{2}(X Y+Y X),
\]

можно записать
\[
\langle Y, X\rangle_{S}=\operatorname{Tr} S(Y \cdot X) .
\]

Условимся операторы $X, Y \in \mathfrak{B}_{h}(\mathscr{H})$ считать эквивалентныини, если $\langle X-Y, X-Y\rangle_{S}=0$. Очевидно, $X$ и $Y$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $X \psi_{j}=Y \psi_{j}$ при $s_{j}
eq 0$, или $X S=Y S$. Обозначим через $\mathscr{L}_{h}(S)$ пополнение пространства классов эквивалентности операторов из $\mathfrak{B}_{h}(\mathscr{K})$ относительно скалярного произведения (8.2). Тогда $\mathscr{L}(S)$ является вещественным гильбертовым пространством, причем $\mathfrak{B}_{h}(\mathscr{K})$ естественно вкладывается в $\mathscr{L} h(S)$. Дадим описание элементов этого пространства в терминах неограниченных операторов в $\mathscr{C}$.

Симметричный оператор $X$ назовем квадратично-суммируельм относительно оператора плотности $S=$ $\left.=\sum_{l} s_{j} \mid \psi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid, \quad\right.$ если $\quad \psi_{j} \in \mathscr{D}(X) \quad$ при $\quad s_{j}
eq 0 \quad$ и $\sum_{j} s_{j}\left\|X \psi_{j}\right\|^{2}<\infty$. Два таких оператора $X, Y$ будем считать эквивалентныли, если $X \psi_{j}=Y \psi_{t}$ при $s_{i}
eq 0$.
Для квадратично-суммируемых $X, Y$ сходится ряд
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \sum_{j} s_{j}\left[\left(Y \psi_{j} \mid X \psi_{j}\right)\right. & \left.+\left(X \psi_{j} \mid Y \psi_{j}\right)\right]= \\
& =\operatorname{Re} \sum_{j} s_{j}\left(Y \psi_{j} \mid X \psi_{j}\right)=\langle Y, X\rangle_{s} .
\end{aligned}
\]

Если $X, Y$ ограничены, то они квадратично-суммируемы и сумма этого ряда $\langle Y, X\rangle_{s}$ совпадает со значением, даваемым формулой (8.2).

Теорема 8.1. Элементи пространства $\mathscr{L Z}_{Z}(S)$ яваяются кеассами яквивалентности квадратиино-сумиируемьх операторов; именно, если $\left\{X_{n}\right\}$ – фундаментальная в смьнсле скалярноео проиэведения (8.2) последовательность в $\mathfrak{P}_{h}(\mathscr{O})$, то найдется квадратичко-сумиируемый $X$ такой, что $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\langle X_{n}-X, X_{n}-X\right\rangle_{s}=0$, и, обратно, өсякий квадрапично-умлируелый оператор является пределом фундаментальной последовательности $\left\{X_{R}\right\} \subset \mathfrak{V}_{h}(\mathscr{K})$.

Мы будем обоэначать одной и той же буквой $X$ и оператор, и соответствующий элемент пространства $\mathscr{L}$ ?

Используя понятие оператора Гильберта-Шмидта, можно дать другое описание квадратично-суммируемых операторов. Рассмотрим оператор
\[
\left.\sqrt{S}=\sum_{i} \sqrt{s_{j}} \mid \psi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid\right.
\]

Очевидно, $\sqrt{S} \in \mathcal{T}^{2}(\mathscr{K})$, так как $\mid \sqrt{S} h=\operatorname{Tr}(\sqrt{S})^{2}<\infty$. Обозначая через $\mathscr{R}(T)$ область значений оператора $T$, имеем
\[
\mathscr{R}(\sqrt{S})=\left\{\psi: \psi=\sum_{j} \sqrt{s_{j}} c_{j} \psi_{j}, \quad \sum_{i}\left|c_{j}\right|^{2}<\infty\right\} .
\]

Предложение 8.1. Onepaтор $X$ квадратично-суммируем тогда и только тогда, когда $X$ продоласается на $\mathscr{R}(\sqrt{S})$ max, ито $X \sqrt{S}$ являетая оператором ГиявбертаIIIмидта. При ятом
\[
\langle Y, X\rangle_{S}=\operatorname{Re} \operatorname{Tr}(X \sqrt{\mathcal{S}})(Y \sqrt{\mathcal{S}})^{*} .
\]

Доказательство. Если $X$ квадратично-суммируем, то требуемое продолжение задается формулой
\[
x\left(\sum_{j} \sqrt{s_{j}} c_{j} \psi_{j}\right)=\sum_{j} \sqrt{s_{j}} c_{j} X \psi_{j}, \quad \sum_{j}\left|c_{j}\right|^{\beta}<\infty,
\]

причем ряд в правой части сходится сильно в силу квадратичной суммируемости. Оператор $X \sqrt{\bar{S}}$ является оператором Гильберта-Шмидта, так как
\[
\operatorname{Tr}(X \sqrt{S})^{*}(X \sqrt{S})=\sum_{j}\left|X \sqrt{S} \psi_{j}\right|^{2}=\sum_{j} s_{j}\left|X \psi_{j}\right|^{2}<\infty .
\]

Формула (8.4) получается аналогично ив (8.3). Обрагное утверждение очевидно.

Так как по теореме 7.3 произведение операторов Гильберта-Шмидта является ядерным оператором, то выражение
\[
x \cdot S=\frac{1}{2}\left[(x \sqrt{S}) \cdot \sqrt{S}+\sqrt{S} \cdot(x \sqrt{S})^{*}\right]
\]

определяет ядерный оператор в $\mathscr{K}$. Испольуяя ято обозначение и соотношения (1.18), получаем еще одну формулу для скалярного произведения
\[
\langle Y, X\rangle_{S}=\operatorname{Tr}(X \cdot S) Y,
\]

справедливую для ограниченного $Y$ и $X \in \mathscr{L}_{h}(S)$.
Рассмотрим теперь коммутатор
\[
[Y, X]=Y X-X Y
\]
операторов $X, Y$. Если эти операторы эрмитовы, то $i[Y, X]$ также эрмитов. Поэтому соотношение
\[
[Y, X]_{S}=i \operatorname{Tr} S\left[Y, X_{i}=2 \operatorname{Im} \operatorname{Tr} S X Y\right.
\]

определяет вещественнуо билинейную форму на $\mathfrak{P}_{h}(\mathscr{K})$. Воспользовавшись предложением 8.1, можно задать продолжение этой формы на $\mathscr{L}_{h}(S)$ :
\[
[Y, X]_{S}=2 \operatorname{Im} \operatorname{Tr}(X \sqrt{S})(Y \sqrt{S})^{*} .
\]

Для $X \in \mathscr{L}(S)$ соотношение
\[
[x, S]=(x \sqrt{S}) \cdot \sqrt{S}-\sqrt{S} \cdot(x \sqrt{S})^{*}
\]

определяет ядерный оператор. Воспольовавшись формулами (1.18), мы можем записать для ограниченного $Y$
\[
[Y, X]_{s}=i \operatorname{Tr}[X, S] Y .
\]

Ота форма является к ос осиммет р ичной на $\mathscr{L}(S)$ :

В частности,
\[
[Y, X]_{s}=-[X, Y]_{s} .
\]
\[
[X, X]_{s}=0, \quad X \in \mathscr{L h}(S) .
\]

Из (8.7) и (1.18) очевидно также, что
\[
[I, X]_{s}=0 .
\]

Для дальнейшего будет удобно ввести комплексификацию простравства $\mathscr{L} h(S)$. Рассмотрим комплексное скалярное произведение
\[
\langle Y, X\rangle_{S}=\operatorname{Tr} S\left(Y^{*}, X\right)=\operatorname{Tr}(S \cdot X) \cdot Y^{*}
\]

на пространстве всех огравиченных операторов $\mathfrak{P}(\mathscr{K})$. Его ограничение на вещественное подпространство $\mathfrak{F}_{h}(\mathscr{K})$ совпадает с вещественным скалярным проияведением (8.2). Кососимметричная форма (8.6) является ограничением косоэрмитовой формы
\[
[Y, X]_{S}=i \operatorname{Tr} S\left[Y^{*}, X\right]=i \operatorname{Tr}[X, S] \cdot Y^{*} .
\]

Всякий ограниченный оператор представляется в виде
\[
X=X_{1}+i X_{3}
\]

где $X_{1}=\frac{1}{2}\left(X+X^{*}\right), X_{2}=\frac{1}{2 i}\left(X-X^{*}\right)$ – эрмитовы операторы. Непосредственно проверяется, что
\[
\langle X, X\rangle_{s}=\left\langle X_{1}, X_{1}\right\rangle_{s}+\left\langle X_{3}, X_{3}\right\rangle_{s} .
\]

Обозначая через $\mathscr{L}_{2}(S)$ пополнение $\mathscr{B}(\mathscr{K})$ по скалярному произведению (8.10), имеем $\mathscr{L}^{2}(S)=\mathscr{L}_{h}(S) \oplus i \mathscr{L}_{h}(S)$.

Два других полезных комплексных скалярных произведения на $\mathfrak{F}(\mathscr{K})$ даются формулами
\[
\langle Y, X\rangle^{\star}=\operatorname{Tr} S X Y^{*},\langle Y, X\rangle_{\bar{s}}=\operatorname{Tr} S Y^{*} X .
\]

Так как
\[
\langle Y, X\rangle_{s}=\frac{1}{2}\left(\langle Y, X\rangle^{\star}+\langle Y, X\rangle_{\bar{s}}\right),
\]

то $\langle X, X\rangle_{\mathcal{s}}^{t} \leqslant 2\langle X, X\rangle_{S}$. Позтому, обозначая через $\mathscr{L}_{ \pm}^{\ell}(S)$ пополнения $\mathfrak{B}(\mathscr{K})$ по скалярным произведениям (8.12), имеем $\mathscr{L}^{2}(S) \subseteq \mathscr{L}_{ \pm}(S)$. Отметим очевидные формулы
\[
\langle X, Y\rangle_{s} \pm \frac{i}{2}[X, Y]_{s}=\langle X, Y\rangle^{ \pm},
\]
\[
[X, Y]_{s}=l\left(\langle X, Y\rangle_{s}-\langle X, Y\rangle s\right) ; \quad X, Y \in \mathscr{E}(S) .
\]