Представление группы вращений (12.5) в $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ не является неприводимым; например, всякая сферически симметричная функция инвариантна относительно преоб. разований (12.5). Можно было бы сослаться и на общую теорему теории представлений, утверждающую, что у компактной группы, какой является группа вращений, все неприводимые представления конечномерны. Мы ғидели в § 12 , что задача описания всех неприводимых проективных представлений группы вращений приводит к рассмотрению неприводимых представлений алгебры Ли, порождаемой соотношениями
\[
\left[J_{1}, J_{2}\right]=i \hbar J_{3},\left[J_{2}, J_{3}\right]=i \hbar J_{1},\left[J_{3}, J_{1}\right]=i \hbar J_{2} .
\]

Оказывается, что для любой конечной размерности $d \geqslant 2$ существует одно неприводимое представление соотношений (13.1); ему соответствует неприводимое проективное представление группы вращений, которое может быть построено по формуле
\[
R \rightarrow U(R)=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} \sum_{j=1}^{3} \varphi_{j} J_{j}\right],
\]

где $\varphi_{j}$ – параметры вращения $\boldsymbol{R}$, определяемые как в формуле (12.10). Приведем подробно построение этого представления в простейшем случае $d=2$.

Вводя операторы $\sigma_{j}=\frac{2}{\hbar} J_{j}$, перепишем соотношения (13.1) в виде
\[
\left[\sigma_{1}, \sigma_{2}\right]=2 i \sigma_{3}, \quad\left[\sigma_{2}, \sigma_{3}\right]=2 i \sigma_{1}, \quad\left[\sigma_{3}, \sigma_{1}\right]=2 i \sigma_{2} .
\]

Полагая $\sigma_{ \pm}=\frac{1}{2}\left(\sigma_{1} \pm i \sigma_{2}\right)$, получим
\[
\left[\sigma_{3}, \sigma_{ \pm}\right]= \pm 2 \sigma_{ \pm}, \quad\left[\sigma_{+}, \sigma_{-}\right]=\sigma_{3} .
\]

Из первого соотношения вытекает, что если вектор $\Psi$ является собственным вектором эрмитова оператора $\sigma_{3}$ с собственным значением $\lambda$, то $\sigma_{-} \psi$ будет собственным вектором $\sigma_{3}$ с собственным значением $\lambda-1$, а $\sigma_{+} \psi$ – собственным вектором с собственным значением $\lambda+1$. В самом деле,
\[
\sigma_{3} \sigma_{-} \psi=\left(-\sigma_{-}+\sigma_{-} \sigma_{3}\right) \psi=(\lambda-1) \sigma_{-} \psi
\]

и аналогично для $\sigma_{+} \psi$.
Учитывая двумерность представления и то, что $\sigma_{+}=\sigma_{-}^{*}$, получим, что операторы $\sigma_{j}$ в базисе из собственных векторов оператора $\boldsymbol{\sigma}_{3}$ должны иметь матрицы вида
\[
\sigma_{3}=\left[\begin{array}{cc}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda-2
\end{array}\right], \quad \sigma_{+}=\left[\begin{array}{ll}
0 & \mu \\
0 & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{-}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
\bar{\mu} & 0
\end{array}\right] .
\]

Из второго соотношения (13.3) вытекает $\lambda=|\mu|^{2}, \lambda-2=$ $=-|\mu|$, откуда $\lambda=1,|\mu|=1$,так что $\mu=e^{i \alpha}$. Умножая второй из векторов базиса на несущественный фазовый множитель, можно добиться, чтобы $\mu=1$, так что
\[
\sigma_{1}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{2}=\left[\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{3}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right] .
\]

Матрицы (13.4) называются матрицами Паули; легко проверить, что они удовлетворяют соотношениям
\[
\sigma_{1} \sigma_{2}=i \sigma_{3}, \quad \sigma_{2} \sigma_{3}=i \sigma_{1}, \quad \sigma_{3} \sigma_{1}=i \sigma_{3},
\]

более ограничительным, чем коммутационные соотношения (13.3). Всякая эрмитова $2 \times 2$-матрица однозначно записывается в виде вещественной линейной комбинации единичной матрицы и матриц Паули:
\[
X=\alpha I+\beta \sigma_{1}+\gamma \sigma_{2}+\delta \sigma_{3} ;
\]

в частности, всякая матрица плотности представляется в виде
\[
S=\frac{1}{2}\left(I+\theta_{1} \sigma_{1}+\theta_{2} \sigma_{2}+\theta_{3} \sigma_{3}\right),
\]

где $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ – параметры Стокса (см. § I.2). Наличие соотношений (13.5) делает весьма удобными алгебраические вычисления с матрицами, представленными в таком виде. В частности, для операторов представления (13.2) получаем
\[
\begin{array}{l}
U(R)=\exp \left[-\frac{i}{2} \sum_{i=1}^{3} \varphi_{j} \sigma_{l}\right]= \\
=I \cdot \cos \frac{\varphi}{2}-i \sum_{i=1}^{3} \varphi_{j} \sigma_{j} \varphi^{-1} \sin \frac{\varphi}{2}, \varphi=\sqrt{\varphi^{l}+\varphi_{l}^{2}+\varphi_{2}^{2}} .
\end{array}
\]

Построенное двумерное представление является проективным и не может быть сведено к унитарному, так как, например, для вращений на углы $\pi$ и -л вокруг оси $e_{3}$ получаем соответственно операторы представления $-i \sigma_{3}
eq i \sigma_{3}$.

В случае произвольной размерности $d=2 j+1$ введем операторы $J_{0}=\hbar^{-1} J_{3}, J_{ \pm}=\hbar^{-1}\left(J_{1} \pm i J_{2}\right)$, удовлетворяющие коммутационным соотношевиям
\[
\left[J_{0}, J_{ \pm}\right]= \pm J_{ \pm},\left[J_{+}, J_{-}\right]=2 J_{0} .
\]

Рассуждая как в двумерном случае, можно показать, что спектр оператора $J_{0}$ состоит из чисел $-j,-j+1, \ldots$ $\ldots, j-1, j$. Обозначим $\{\mid m)\}$ ортонормированный базис из собственных векторов оператора $J_{0}$, так что $J_{0}(m)=$ $=m \mid m)$, r. e.
\[
\left.J_{0}=\sum_{m=-1}^{\prime} m \mid m\right)(m \mid .
\]

Можно показать, что операторы $J_{ \pm}$действуют в этом базисе по формулам
\[
\begin{array}{l}
\left.\left.J_{+} \mid m\right)=\sqrt{(j-m)(j+m-1)} \mid m+1\right), \\
\left.\left.J_{-} \mid m\right)=\sqrt{(j+m)(j-m+1)} \mid m-1\right),
\end{array}
\]

из которых можно получить формулы для $J_{1}, J_{2}$, а также для операторов представления $U(\boldsymbol{R})$.

Неприводимые представления группы вращений принято нумеровать числом $j$, сяязанным с размерностью соотношением $j=(d-1) / 2$. Таким образом, $j=0,1 / 2,1$, $3 / 2, \ldots$ Представления, отвечающие целым значениям $j$, унитарны, тогда как для полуцелых $j$ представления являются существенно проективными.

Теперь можно описать всевозможные неприводимые представления кинематической группы для трехмерной частицы. Пусть $K=\mathbb{C}^{d}$ – комплексное унитарное пространство размерности $d=2 j+1$ и $\mathscr{L}_{\mathbb{K}}\left(\mathbb{R}^{8}\right)$ – пространство вектор-функций $\Psi(\xi)$ на $\mathbb{R}^{3}$ со значениями в $K$ и с интегрируемым квадратом нормы
\[
|\psi|^{2}=\iiint|\Psi(\xi)|^{2} d \xi_{1} d \xi_{9} d \xi_{3} .
\]

Будем рассматривать операторы $U(\boldsymbol{R})$ как действующие в пространстве $К$, тогда формула
\[
V_{x, 0, R}=\exp \left[i \mu v \cdot\left(\xi-\frac{x}{2}\right)\right] U(R) \psi\left(R^{-1}(\xi-x)\right)
\]

определяет неприводимое представление кинематической группы в $\mathscr{L}_{\mathrm{K}}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$. Подчеркнем, что здесь $U(\boldsymbol{R})$ действует на компоненты вектора $\psi(\xi)$ в каждой точке $\xi$.

Размерность пространства $\mathbb{K}$ (или число $j$ ), как и связанная с массой постоянная $\mu=m / \hbar$, однозначно, с точностью до унитарной эквивалентности, характеризует неприводимое представление, т. е. тип квантового объекта в трех измерениях. Число $j$ называется спином. Поскольку операторы $J_{k}$ удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и операторы углового момента $L_{k}$, их можно представлять себе как наблюдаемые некоего «внутреннего» углового момента частицы. Если игнорировать внешние степени свободы, то (чистое) состояние частицы со спином $;$ будет описываться вектором $(2 j+1)$ мерного унитарного пространства $\mathbb{K}$ с действующим в нем представлением группы вращений $\boldsymbol{R} \rightarrow U(\boldsymbol{R})$. В частности, при $j=1 / 2$ мы приходим к статистической модели частицы со спином $1 / 2$, подробно рассмотренной в § 1.5.

Обратимся еще раз к эксперименту, изображенному на рис. 5 , и вычислим теоретически вероятность $P_{\text {out }}$ (in), используя теорию представлений. Пусть $S=\mid$ in) (in $\mid-$ оператор плотности в двумерном унитарном пространстве $\mathscr{\mathscr { C }}$, описывающий состояние частицы после прохождения первого фильтра, $E=$ lout) (out $\mid$-тест, описывающий второй фильтр. Если $\varphi$-угол между направлениями двух фильтров, то первый фильтр можно перевести во второй вращением $\boldsymbol{R}_{n, \varphi}$ вокруг соответствующей оси $\boldsymbol{n}$. Не ограничивая общности, можно принять, что $\mid$ in $)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]$. Из формулы (13.6) тогда следует
\[
P_{\text {out }}(\text { in })=\operatorname{Tr} S E=\mid\left.(\text { in } \mid \text { out })\right|^{2}=\cos ^{2} \varphi / 2,
\]
т. е. выражение для условной вероятности прохождения через второй фильтр, использованное в § I.5.

Остается объяснить, почему взаимодействие с внешним магнитным полем приводит к расщеплению пучка частиц в эксперименте Штерна – Герлаха. В отсутствие внешнего поля все пространственные направления равноправны, поэтому любому состоянию $\psi \in \mathscr{K}$ отвечает одно и то же значение энергии, определяемое внешними степенями свободы. Поскольку мы условились их игнорировать, то можно принять, что эта энергия равна нулю. Включение внешнего поля нарушает симметр ию; гамильтониан, описывающий поведение спина во внешнем магнитном поле $\boldsymbol{B}=\left[B_{1}, B_{2}, B_{3}\right]$, имеет вид
\[
H=-\lambda\left(\sigma_{1} B_{1}+\sigma_{2} B_{2}+\sigma_{3} B_{3}\right) .
\]

Мы не имеем здесь возможности вывести эту формулу и только заметим, что, как и должно быть, этот гамильтониан инвариантен относительно поворотов вокруг оси $\boldsymbol{B}$, т. е. $[H, U(\boldsymbol{R})]=0$ для любого поворота $\boldsymbol{R}$ вокруг $\boldsymbol{B}$. Не ограничивая общности, можно считать, что $\boldsymbol{B}=[0,0$, $B]$. Тогда $H=-\lambda B \sigma_{3}$ и мы видим, что $H$ имеет два собственных значения $\pm \lambda B$. Таким образом, вместо состояний с одинаковой энергией $\varepsilon_{0}$ получилось два состояния с энергиями $\varepsilon_{0} \pm \lambda B$. Частицы с разными энергиями поразному отклоняются неоднородным магнитным полем, что и приводит к расщеплению пучка в эксперименте Штерна – Герлаха.

Это рассуждение дает предельно упрощенное представление о том, каким образом квантовая теория может объяснить структуру энергетических уровней, опираясь по существу лишь на свойства симметрии. Рассмотрение более сложных моделей требует более детального знакомства с теорией представлений и приближенными методами квантовой механики и выходит за рамки этой книги.
Комментарии к гл. III
8 1. Значение групп симметрий для квантовой теории хорошо известно (см., например, Вейль [24], Вигнер [26]). Идея применения теории представлений для классификации квантовых частиц принадлежит Витнеру [25], который рассмотрел случай релятивистской групты Пуанкаре (неоднородной группы Лоренца); в этой связи см. также Боголюбов, Логунов, Тодоров [14], Варадарайан [23], Гельфанд, Мннлос, Шапиро [32], Широков [131]. Классификацию нерелятивистских квантовых «частиц» в терминах представлений группы Галилея осуществили Инёню и Вигнер [44] в Баргман [4], который развил общую теорию проективных представлений. Подробное обсуждение читатель найдет в книге Яуха [134]. Доступное введение в теорию симметрии элементарных частиц можно найти в лекциях Боголюбова [i3].
Особо важную роль в квантовой теории играют динамические симметрии, т. е. симметрии гамильтониана, связанные с законами сохранения. О динамических симметриях в квантовой механике см. Малкин и Манько [136].

По поводу теоремы Вигнера см. Баргман [6], Варадарайав [22], Кэдисон [58], Хунцикер [126].

Для описания нестабильных квавтовых объектав могут быть привлечены полутру п пы Пуанкаре и Галилея, содержащие только положительно-временные сдвиги (см. Цванцигер [127], Ланд и др. [59]). Введение полугруппы вместо группы можно мотивировать тем, что в общем описании эксперимента измерение следует за приготовлением и поэтому не может быть перенесено на произвольньй более ранвий момент времени.
2. Неравенство Мандельштама – Тамма получено в работе [68]. Чтобы получить из него соотношение неопределенностей ввемя энергия», авторы вводят «стандартное время $\Delta t$, определяемое соотношением $\mathrm{E}_{t+\Delta t}(X)-\mathrm{E}_{t}(X)=\frac{1}{\Delta t} \int_{i}^{t+\Delta t} \mathrm{D}_{\tau}(X) d \tau$. Интегрирование неравенства тогда дает $\Delta t \cdot \Delta H \geqslant 1 / 2$, где $\Delta H=\sqrt{\mathrm{D}_{t}(H)}$. Фох и Крылов [57] указали, однако, что такое неравенство не может рассматриватъся как аналог обычного соотношения неопределенностей «хоордината – импульс», поскольку «стандартное время» не является атрибутом какойлибо измерительной процедуры; в определении $\Delta t$ величины $\mathrm{E}_{\tau}(X), \mathrm{D}_{\tau}(X) ; t \leqslant \tau \leqslant t+\Delta t$, не могут быть получены из одного сансамбля, микрообъектов, так как измерение величнны $X$ в момент $t$ меняет состояние и делает непригодным уравненне свободной эволюции (2.2). От этих трудностей свободна интерпретадия соотношення (2.7), использующая понятие несмещенного измерения, аналогичное несмещенным оценкам в классической статистике. Эта ннтерпретация была дана Хелстромом [108], [109], который независнмо получил неравенство Мандельштама – Тамма в контексте квантовой теории оценнвания. Относительно других подходов см., например. Экстейн и Сигерт [132], Вигнер [27], Малкин, Манько [136].
§3. Предложение 3.1 является частным случаем теоремы, опнсьвающей общий вид мультипликатора $\omega\left(g_{2}, g_{1}\right)$ на адцитнвной группе $\mathbb{R}^{d}$ (см., Баргман [4], Яух [134], Варадарайан [23]).
5. 4. Обсуждение локализуемости\” квантовомехавических объектов, основанное на соотношениях типа (4.3) проводится в квиге Яуха [134], где, однако, рассматриваются только ортогональные разложения единицы (см. также комментарии к § IV. 11).
8 5. Теорема единственности была доказана в работе фон Неймана [102]. Ее можно рассматривать как частный случай ктеоремы импримитивности» Макки [64] (см. Яух [134]).
§ 6. Состояния минимальной неопределенности были введены Шредингером. Соотношение полноты получено Баргманом [5] и Глаубером [33]. См. также Каррутерс и Ннето [45], Переломов [79].
8 7. Совместные измерения обсуждались с разных точек эрення многими авторами; см. фон Нейман [101], Гордон и Люиселл [35], Ше и Хеффнер [130], Пруговецки [83], Дэвис [38]. Настоящее изонкение следует работам Холево [114], [117] в Хелстома [109].

§ 8. Уравнение, предложенное первоначально Шредингером и положившее начало современной квантовой механике, соответствует задаче на собственные значения $H \psi=\lambda \psi$. Шредингер пришел к нему, штаясь найти дифференциальное уравнение для стационарных вволн материи де Бройля.

Связь уравнения Шредингера с представлениями группы Галилея была осознана позже (Инёню и Вигнер [44], Баргман [5]). В этом параграфе мы в основном следуем книге Яуха [134]. Тот факт, что квантовый гамильтониан имеет тот же вид, что и классическая энергия с заменой классических величин на соответствующие операторы, является одной из форм єпринципа соответствия».

Наметим здесь совсем кратко еще одну линию, связывающую квантовую механику с теорией вероятностей. Формальная замена it на $t$ переводит уравнение Шредингера в параболическое уравнение теории диффузионных процессов, а унитарную группу $\left\{V_{t}\right\}$-в некоторую сжимающую полугруппу в гильбертовом пространстве. Основываясь на этом, можно установить связь между квантовой динамикой и некоторым диффузионным случайным процессом (формула Фейнмана Қаца-Нелсона). Полевой аналог этой формулы является важным аналитическим орудием конструктивной теории поля. В работах Нелсона [74], [75] делается попытка рассмотреть диффузионный процесс как дивамическую модель квантовой теории со скрытыми переменнКми
§ 9. Невозможность введения наблюдаемой времени в рамках традиционной концепции измерения обстоятельно обсуждалась Оллкоком [77]. В этой статье, в частности, рассматриваются и восходящие к Паули попытки использовать оператор iћ $\frac{d}{d \varepsilon}$, который, однако, отвергается как несамосопряженный. Матернал настоящего параграфа взят из статьи автора [124].
§ 10. По поводу математических проблем квантовой динамики см. Рид и Саймон [85], где можно найти дальнейшие ссылки. Осциллятор рассматривается почти во всех учебниках квантовой механнки. Мы следуем Дираку [37] (см. также Люиселл [63], где можно найти интересное описание формальной алгебры операторов рождения и уничтоження).

Қорректное определение оператора фазы дали Каррутерс и Нието [45] (см. также Волкин [28]). По поводу полярного разложения см., например, Рнд и Саймон [85], относительно класса $X$ арди см., например, Халмош [104].
§ 11. Представление по согерентным состоянием» для многих степеней свободы рассматривали Баргман [5], Глаубер [33], Клаудер и Сударшан [49]. Аналогичное представление для случая свободного поля рассматривал Березин [10].

Огравиченные субнормальные операторы ввел Халмош (см., например, [104]). См. также Секефальви-Надь [89].
\$ 12, 13. О применения представлений группы вращений в квантовой механике см. Вигнер [26], Яух [134], Макки [65]. Систематическое нзучение представлений группи вращений проводится в книгах Гельфанда, Минлоса, Шапиро [32] и Желобенко [42].