Математическим аппаратом современной квантовой механики служит теория операторов в гильбертовом пространстве. Операторы играют здесь такую же основополагающую роль, что и функции в классической механике, теории вероятностей и етатистике. Однако если в классических теориях использование математического аппарата функций базируется на интуитивно ясных предпосылках (которые кажутся настолько очевидными, что классическая механика как бы сливается с лежащей в основе ее математикой), то в квантовой теории ситуация носит иной характер.

Исторически кматричная механика» Гейзенберга и кволновая механика» Шредингера, непосредственно предшествовавшие современной квантовой теории, возникли как результат ряда удачных догадок, в ходе подбора математических объектов, способных отразить непонятные особенности, в частности, своеобразное сочетание дискретности и непрерывности в поведении микрообъектов. Разработанная позднее Борном и другими «вероятностная интерпретация» прояснила зиачение элементов операторного формализма, установив правила, по которым они должны связываться с реально наблюдаемыми величинами, однако и в этих постулатах оставалась, по видимости, значительная доля кпроизвола теоретиков». Основным доводом в пользу непривычного формализма продолжало оставаться поразительное соответствие построенных на его основе предсказаний с экспериментальными данными. Такая ситуация породила множество попыток, с одной стороны, найти классическую альтернативу квантовой механики, которая столь же удовлетворительно описывала бы существующий массив экспериментальных данных, с другой стороны, наоборот, обосновать с физических и философских позиций неизбежность новой механики в области явлений микромира. Появилась и продолжает пополняться обширная физико-философская литература, посвященная основаниям квантовой теории.

Наряду с этим ощущается потребность и в математически более определенном рассмотрении структуры квантовой теории и ксловаря», устанавливающего соответствие между элементами формализма и фнзической реальности. Из работ такого характера в первую очередь следует упомянуть имеющиеся в русском переводе монографии фон Неймана Математические основы квантовой механики» и Макки «Лекции по математическим основам квантовой механики». Настоящая книга примыкает к ним по направленности, но значительно отличается по содержанию и методологическим предпосылкам, учитывая недавний прогресс в математической теории квантового измерения.

Первые три главы книги образуют введение в основания квантовой механики, адресованное читателю, когорый интересуется структурой квантовой теории и ее связями с классической теорией вероятностей. Несмотря на математический характер изложения, оно не является чисто «аксиоматическим». Erо цель – выявить происхождение основных элементов квантовомеханического формализма, оставаясь в рамках общепринятой вероятностной интерпретации и базируясь, насколько это возможно, на классических вероятностных концепциях.

Обращение к этим вопросам не было для автора самоцелью- разобраться в них оказалось необходимым для решения конкретных задач о границах точности квантовых измерений, возникших в приложениях. До недавнего времени к ним не было сколько-нибудь единого и четкого подхода. Методы математической статистики, приспособленные для решения аналогичных задач в классической вероятностной постановке, нуждались в радикальной переработке с позиций квантовой теории. Вторая часть книги – главы IV-VI – содержащая в основном новые результаты, посвящена квантовой теории оценивания – аналогу соответствующего раздела математической статистики.

Перейдем к изложению краткого содержания глав. В главе I вводятся основные понятия состояния и измерения. В отличие от традиционного способа изложения, когда это делается постулативно, здесь эти понятия выводятся из анализа статистического описания экспериментальной ситуации. Помимо чисто методических преимуществ, такой подход уже на начальной стадии приводит к содержательному расширению традиционной концепции квантового измерения, идущей от Дирака и фон Неймана. В математическом плане это приводит $\mathbf{x}$ произвольным (вообще говоря, неортогональным) разложениям единицы в гильбертовом пространстве вместо прежних ортогональных (спектральных мер) и к отказу от самосопряженности как необходимого атрибута наблюдаемой. Надо сказать, что неортогональные разложения единицы не являются какой-то кэкзотикой» в физике; пример дают «переполненные» системы векторов типа «когерентных состояний», играющие все большую роль в теоретической физике и приложениях. Новая концепция измерения является стержнем всего дальнейшего изложения.

Цель первой главы состоит также в том, чтобы привлечь внимание $\mathbf{x}$ общему понятию статистической модели, которое может оказаться полезным и за пределами квантовой теории. Благодаря ему получает новое освещение проблема скрытых переменных *) (во всяком случае, тот ее аспект, который поддается математическому анализу).

Во второй главе вводится аппарат квантовой механики – элементы теории операторов в гильбертовом пространстве. Наряду с изложением традиционного материала (ядерные операторы, спектральная теория) много внимания уделено неортогональным разложениям единицы. Новым моментом здесь также является введение пространств $\mathscr{L}^{2}$, связанных с квантовым состоянием и играющих ту же роль, что гильбертовы пространства случайных величин с конечным вторым моментом в теории вероятностей. В этих пространствах получают про-
*) Мы предпочвтаем говорить $о$ кскрытых переменных, а не 0 кскрытых параметрах», чтобы взбежать ненужных ассоциацин с параметрамн в статистической теория оценивания. Такой перевод английского термина khidden variables: представляется также более точным.

стое и естественное обоснование некоторые деңствия над неограниченными операторами.

Фундаментальную роль в квантовой теории играет понятие симметрии. В главе III на простейших квантовых моделях показано, каким образом свойства симметрии позволяют установить связь между физическими параметрами и вполне определенными разложениями единицы в гильбертовом пространстве. В частности, строятся разложения единицы, канонически отвечающие таким величинам, как угол поворота, фаза гармонического осциллятора, время достижения, а также паре величин координата – скорость. Измерения этих величин не имели определенного статута в квантовой механике, поскольку самосопряженных операторов (ортогональных разложений единицы) с необходимыми свойствами симметрии вообще не существует.

Квантовомеханическая природа объекта находит выражение в принципиальных ограничениях на возможности производимых над ним измерений. Прогресс физического эксперимента заставляет задуматься о необходимости правильного учета квантовомеханических ограничений на точность измерений. Важным типом таких ограничений являются известные соотношения неопределенностей для пар канонически сопряженных величин. Однако, если рассматривать соотношение неопределенностей не как априорный физический принцип, дающий порядковую оценку, а как строгое неравенство, являющееся математическим следствием основных положений квантовой теории, то ситуация оказывается простой только в случае канонической пары ккоордината – импульс». В главе IV строго устанавливаются соотношения неопределенностей кугол-угловой момент», «фаза число квантов» и другие неравенства. Они оказываются тесно связанными с квантовым аналогом теоремы Ханта – Стейна, известной в математической статистике.

Высокая точность характерна, в частности, для измерений в квантовой оптике. Примером ситуации, в которой может оказаться необходимым учет квантовых ограничений, является передача сигнала по оптическому каналу связи, в котором уровень кквантового шума» сравним с уровнем классического теплового шума или превосходит его. Здесь возникают те же задачи, что и в обычной статистической теории связи, однако они уже не могут быть решены и даже правильно поставлены в рамках математической статистики в силу квантовомеханической природы носителя информации.

Глава V посвящена так называемым гауссовским состояниям, которые, в частности, возникают при описании оптического сигнала на фоне «квантового шума». Изложение построено так, чтобы проследить и в максимальной мере использовать замечательную аналогию с гауссовскими распределениями теории вероятностей. Важную роль здесь играет понятие квантовой характеристической функции. В главе VI рассматривается задача измерения среднего значения гауссовского состояния, которую можно интерпретировать как выделение сигнала из аддитивного квантового гауссовского шума. Дается вывод общих неравенств, подобных неравенству Рао-Крамера в математической статистике. С их помощью удается охарактеризовать наиболее точное измерение среднего значения.

Настоящая книга, конечно, не может и не ставит цель заменить стандартное руководство по квантовой механике; целый ряд важнейших вопросов, составляющих основное содержание таких курсов, в ней рассматривается фрагментарно, либо вообще не затрагивается (например, теория возмущений). Автор не стремился также охватить все, что относится к квантовым измерениям. Освещены только те вопросы, которые касаются статистики результатов измерения и не требуют рассмотревия изменения квантового состояния после измерений; в частности, отсутствует обсуждение последовательных измерений, квантовых случайных процессов и динамики коткрытых» систем, в математической теории которых за последнее время достигнут определенный прогресс. Краткий обзор современного состояния этих и других вопросов, имеющих непосредственное отношение к излагаемому материалу, читатель найдет в комментариях.

Желание совместить строгость рассуждений с доступностью заставило автора отказаться от наиболее общего и, быть может, математнчески наиболее «экономного» способа изложения. Было сочтено возможным не углубляться в вопросы, связанные с измеримостью и интегрированием; подробное и общее рассмотрение этих вопросов интересующийся читатель найдет в других работах, на которые даются ссылки в комментариях. Необходимым для понимания всего материала является владение основными понятиями теории вероятностей, а для глав IV и VI – и математической статистики.

Наиболее элементарной в техническом отношении является глава I, использующая лишь аппарат линейной алгебрн. В главе II дается неформальный обзор сведений из теории операторов, причем теоремы, как правило, не доказываются, а сопровождаются пояснениями и примерами. Материал, необходимый для физических приложений в гл. III, излагается в $\$ 1-6$ гл. II; читателю, знакомому с функциональным анализом, будет достаточно бегло их просмотреть. С другой стороны, читатель, знающий квантовую механику, может опустить в гл. III подробное математическое рассмотрение таких вопросов, как гармонический осциллятор, угловой момент, спин, включенное для замкнутости изложения, и сосредоточиться на менее известных ему вещах.

В книге активно используется символика Дирака, но для обозначения скалярного произведения употребляются не угловые, а круглые скобки, как это принято в математической литературе. Угловые скобки, ассоциирующиеся с символом усреднения в статистической физике, обозначают другое скалярное произведение, задающее корреляционную функцию двух наблюдаемых. Для квантового состояния (оператора плотности) используется символ $S$ (а не $\rho$ ), родственный символу $P$ для классического состояния (распределения вероятностей). В остальном обозначения стандартны. Внутри каждой главы принята двойная нумерация формул; ссылка на параграф или формулу из другой главы содержит дополнительно номер этой главы.

Автор благодарен Д. П. Желобенко и Ю. М. Широкову, которые прочли рукопись книги и сделали ряд полезных замечаний.