Главная > ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (А.С. Холево)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим преобразование Fz[T] для эрмитова ядерного оператора T. Если T0, то Fz[T] обладает следующим свойством Δ-положительной определенности: для любого n, любых z1,,znZ и c1,,cnC
i,k=1ncjckFzjsk[T]expi2Δ(zj,zk)0.

В самом деле, в силу (2.1) и (3.4) эта сумма есть не что иное, как TrT(hckV(zk))(lcjV(zj)), что, очевидно, всегда неотрицательно.

Преобразование Fz[S] оператора плотности S назовем характеристической функцией S по аналогии с характеристическими функциями распределений вероятностей. Следующая теорема является некоммутативным аналогом известной теоремы Бохнера — Хинчина.

Теорема 4.1. Дяя того чтобы функция F(z) была характеристической функцией квантового состояния, необходимо и достатонно выполнение условий:
1) F(0)=1,F(z) непрерьвна в нуле;
2) F(z) является Δ-положительно определенной.
Доказательство. Пусть S-оператор плотности; тогда F0[S]=TrS=1; условие 2) следует из положительности S. Для доказательства непрерывности заметим, что
F[S]=fsj(ejV(z)ej),

где sf-собственные значения, ej-собственные векторы оператора S. В силу непрерывности представления zV(z) каждое слагаемое ряда является непрерывной функцией по z; кроме того, ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, так как |(ejV(z)ej)|1 и jsj<. Таким образом, Fz[S] непрерывна при всех zZ.

Докажем достаточность. Прежде всего покажем, что непрерывность в нуле и Δ-положительная определенность влекут равномерную непрерывность функции F(z) при всех z (аналогичный факт имеет место в теории вероятностей для характеристических функций). Для этого рассмотрим условие (4.1) для n=3 и значений z, равных 0 , z1,z2. Тогда условие (4.1) означает положительную определенность эрмитовой формы от переменных c1,c2,c3 с матрицей
[1F(z1)F(z2)F(z1)1F(z1z2)e12Δ(z1,z2)F(z2)F(z2z1)ei2Δ(z2,z2)1].

По критерию Сильвестра получаем
1F(z1)F(z1)0,1+2ReF(z1)F(z2)F(z2z1)el2Δ(z1,z2)|F(z2)|2|F(z1)|2|F(z2z1)|20.

Из первого неравенства следует, что

и
F(z)=F(z)
|F(z)|21.

Преобразуя второе неравенство, получаем
|F(z2)F(z1)|21|F(z2z1)|22ReF(z1)F(z2)[1F(z2z1)e12Δ(z2,z1)].

Учитывая (4.2), (4,3), находим окончательно
|F(z2)F(z1)|24|1F(z3z1)ei2Δ(z2,z2)|,

откуда и следует высказаннов утверждение.

Мы построим некоторое гильбертово пространство и состояние в нем, для которого F(z) является характеристической функцией. Рассмотрим оператор V^0(z), действующий на функцию ψ(w),wZ, по формуле
V^0(z)ψ(w)=exp[i2Δ(z,w)]ψ(z+w).

Непосредственно проверяется, что операторы {V^0(z);zZ} удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению (2.1). Теперь мы выделим такое гильбертово пространство H, в котором операторы V^0(z) унитарны. Рассмотрим линейное пространство H^0 функций вида
Ψ(w)=[kckV(zk)]1(w)kckexp[i2Δ(zk,w)],

где 1 (w)-функция, тождественно равная единице. Введем в H0 полуторалинейную форму
(ψ(1)ψ(2))=j,kcj(2)ck(1)F(zj(2)zk(1))exp[i2Δ(zj(1),zk(1))],

если ψ(α)=[jcj(α)V(zj(α))]1,α=1,2. В силу Δ-положительной определенности
(ψψ)0,ψC^0.

Кроме того, непосредственно проверяется, что
(V^0(z)ψ1V^0(z)ψ2)=(ψ1ψ2),ψ1,ψ2H^0,

для любого zZ.
Обозначим через H^ пополкение фактор-пространства H0/O, где O={ψ:(ψψ)=0}. В силу (4.4) операторы V^0(z) продолжаются до унитарных операторов V^(z) в H. Таким образом, zV^(z) является проективным унитарным представлением канонического коммутационного соотношения в K. Установим его непрерывность.

Для этого достаточно проверить непрерывность функций (ψ(1)V^()ψ(1))=(ψ(1)V^0()ψ(2)), когда ψ(α) пробегают плотное множество Rdr. Но тогда
(ψ(1)V^0(z)ψ(z))==j,kC(ck(1)exp[i2Δ(zj(s)+z,zk(1)z)]FF(zl(1)+zzk(1))

и непрерывность вытекает из непрерывности функции F(z). Отметим еще, что
(1V^(z)1)=F(z).

По теореме 3.1 построенное представление увитарно эквивалентно прямой дискретной сумме копий некоторого неприводимого представления zV(z) в пространстве K :

Оператор U изометрически отображает K на KK Положим
U1=ψ1ψ2

и S=jψj)(ψj. Очевидно, что S0 и
TrS=j(ψjψj)=(U1U1)=(11)=1.

Таким образом, S-оператор плотности. Из (4.5) и (4.6) получаем
F(z)=(1V^(z)1)=j(ψjV(z)ψj)=TrSV(z),

так что F(z) является характеристической функцией S. Теорема доказана.

Отметим интересный факт, не имеющий аналога в классической теории вероятностей. Так как всякий оператор плотности является оператором Гильберта-Шмидта, то по теореме 3.2F(z) квадратично-интегрируема. В сочетании с доказанной теоремой это означает, что непрерывность и Δ-положительная определенность функции F(z) влекут квадратичную интегрируемость. Заметим, что если сразу наложить условие квадратичной интегрируемости, то доказательство теоремы 4.1 значительно упрощается. Пользуясь теоремой 3.2, введем оператор Гильберта Шмидта S=V(F). Из условий 1),2 вытекает, что S0 и TrS=1, т. е. S-оператор плотности, и по формуле обращения F(z)=Jz[S].

В теории вероятностей известны соотношения, связывающие моменты распределения с производными его характеристической функции. Аналогичные соотношения имеют место и здесь. Пусть
R(z)=λEz(dλ)
— спектральное разложение самосопряженного оператора R(z). Рассмотрим распределение вероятностей на прямой
μS2(B)=TrSEz(B);Bet(R).

Функция Ftz[S],<t<, является классической характеристической функцией распределения μS(dλ), так кав
Ftε[S]=TrSeltR(z)=etiλμS2(dλ).

Предположим, что n-й абсолютный момент распределения μSz конечен; тогда, как известно из теории вероятностей, Fts[S]n раз дифференцируема и n-й момент распределения вероятностей μS2 равен
mn(z)=indndtnFtz[S]|t0.

Если n четно, то, обратно, из существования производной n-го порядка в нуле следует конечность n-го момента.

Из (4.7) видно, что mn(z) является однородным полиномом от z степени n. Для нас наибольший интерес представляет среднее эмаченив
m1(z)=m(z)=ES(R(z)),

которое является линейной функцией от 2 , и второй момент m8(z), который является квадратичной формой от 2. Вводя симметричную билинейную форму
m2(z,z)=2tsFtz+sz[S]|ts=n,

определим коррєляционную фуккцию состояния форйулой

так что
α(z,z)=m2(z,z)m(z)m(z),
α(z,z)=m2(z)m(z)2=Ds(R(z)).

Рассмотрим гильбертово пространство квадратичносуммируемых операторов L2(S) (см. § II.8). Так как m2(z)=λ2μS2(dλ), то, согласно (II.9.9), m2(z)< тогда и только тогда, когда R(z)L2(S). Мы скажем, что S-состояние с конечными вторыми моментами, если m2(z)< для всех zZ. Для такого состояния, согласно (II.9.1), (II.9.2),
m(z)=I,R(z)s,mz(z,z)=R(z),R(z)s.

Корреляционная функция записывается в виде
α(z,z)=R(z)m(z),R(z)m(z)s,

где для краткости полагается m(z)Im(z).
Установим строгую версию соотношения (2.5):
[R(z),R(z)]s=Δ(z,z);z,zZ.

Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 4.1. Пусть M(dλ)-измерение c комечныии вторыми моментами относительно состояния SuXM= =λM(dλ). Рассмотрим семейстоо ограниченных опера. торов
Vt=eitλM(dλ)

Тогда XM=i1ddtVt|t=0 в смысле сходимости в L±2(S).
Доказательство. Нужно показать, что
Vt1itXM в L±z(S) при t0.

В силу неравенства (II.9.7) для этого достаточно установить, тто
ein1itλ в L2(μs).

Очевидно, что имеет место поточечная сходимость; кроме тoro,
|λeiλt1it|34λ2,

так как |eλλt1it|=|sinλt/2t/2|λ. Так как λ2μS(dλ)<, то по теореме Лебега о мажорированной сходимости
|λeλ1it|2μS(dλ)0 при t0,

что и требовалось установить.
Из этой леммы вытекает, что если m2(z)<, то
R(z)=i1ddtV(tz)|t0 В L±z(S).

Беря след обеих частей равенства (2.4) с оператором плотности S в учитьвая, что V(z)=V(z), получаем
V(tz),V(sz)s¯=eltsΔ(z,z)V(tz),V(sz)s.

Отсюда, в силу (4.11),
R(z),R(z)s¯=iΔ(z,z)R(z),R(z).

Учитывая (I1.8.13), получаем (4.10). Принимая во внимание (II.8.9), можно также написать
Δ(z,z)=[R(z)m(z),R(z)m(z)]s.

Из формул (4.9), (4.12) и предложения II.9.1 вытекает, тто корреляционная функция состояния с конечными вторыми моментами удовлетворяет эквивалентным неравенствам
α(z,z)α(z,z)14Δ(z,z)2,α(z,z)+α(z,z)Δ(z,z).

Первое из этих неравенств есть, конечно, соотношение неопределенностей для наблюдаемых R(z),R(z).

โл. abla
Кроме того, для любых zjZ
[α(zj,zk)±i2Δ(zj,zk)]0.

Лемма 4.2. Если S-оператор плотности состояния с конеиными вторыми моментами, то
Fz[SR(z1)]=[12Δ(z,z1)lablas1]FzS]Fz[R(z1)S]=[12Δ(z,z1)lablas1]Fz[S]Fz[SR(z1)]=iablas1Fz[S]Fz[[R(z1),S]]=Δ(z,z1)Fz[S]
=ddt(z+tx1)|t0.

Доказательство. Так как R(z1)L(S), то по предложению II.8.1 операторы SR(z1), в левой части доказываемых равенств являются ядерными и имекот квадратично-интегрируемые преобразования Fz[SR(z1)], Достаточно проверить первую формулу. Имеем
Fs[SR(z1)]=Tr(SR(z1))V(z)=V(z),R(z1)s¯.

Согласно (4.11)
Jx[SR(z1)]=i1ddtV(z),V(tz1)s¯|t0==i1ddtTrSV(tz1)V(z)|,n.

Используя каноническое коммутационное соотношение, получаем
Fz[SR(z1)]=i1ddtFz+tz1[S]el2tΔ(z1,z)|t0,

что и требовалось.
Было бы нетрудно распространить эти формулы на более широкий класс операторов S, однако это нам не понадобится.

1
Оглавление
email@scask.ru