Рассмотрим преобразование ${\mathcal{F}}_z[T]$ для эрмитова ядерного оператора $T$. Если $T⩾0$, то ${\mathcal{F}}_z[T]$ обладает следующим свойством $\mathrm{\Delta }$-положительной определенности: для любого $n$, любых $z_1,\dots ,z_n\in Z$ и $c_1,\dots ,c_n\in \mathbb{C}$
$$\sum _{i,k=1}^n{c}_j{c}_k{F}_{z_j-s_k}[T]\exp \frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z_j,z_k)⩾0.$$

В самом деле, в силу (2.1) и (3.4) эта сумма есть не что иное, как $\mathrm{Tr}T{\left(\sum _h{c}_{k}V\left(z_k\right)\right)}^{\ast }\left(\sum _l{c}_{j}V\left(z_j\right)\right)$, что, очевидно, всегда неотрицательно.

Преобразование ${\mathcal{F}}_z[S]$ оператора плотности $S$ назовем характеристической функцией $S$ по аналогии с характеристическими функциями распределений вероятностей. Следующая теорема является некоммутативным аналогом известной теоремы Бохнера — Хинчина.

Теорема 4.1. Дяя того чтобы функция $\mathcal{F}(z)$ была характеристической функцией квантового состояния, необходимо и достатонно выполнение условий:
1) $\mathcal{F}(0)=1,\mathcal{F}(z)$ непрерьвна в нуле;
2) $\mathcal{F}(z)$ является $\mathrm{\Delta }$-положительно определенной.
Доказательство. Пусть $S$-оператор плотности; тогда ${\mathcal{F}}_0[S]=\mathrm{Tr}S=1$; условие 2) следует из положительности $S$. Для доказательства непрерывности заметим, что
$${\mathcal{F}}_{\ast }[S]=\sum _f{s}_j(e_j\mid V(z)e_j),$$

где $s_f$-собственные значения, $e_j$-собственные векторы оператора $S$. В силу непрерывности представления $z\to V(z)$ каждое слагаемое ряда является непрерывной функцией по $z$; кроме того, ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, так как $\left|(e_j\mid V(z)e_j)\right|⩽1$ и $\sum _j{s}_j<\mathrm{\infty }$. Таким образом, ${\mathcal{F}}_z[S]$ непрерывна при всех $z\in Z$.

Докажем достаточность. Прежде всего покажем, что непрерывность в нуле и $\mathrm{\Delta }$-положительная определенность влекут равномерную непрерывность функции $\mathcal{F}(z)$ при всех $z$ (аналогичный факт имеет место в теории вероятностей для характеристических функций). Для этого рассмотрим условие (4.1) для $n=3$ и значений $z$, равных 0 , $z_1,z_2$. Тогда условие (4.1) означает положительную определенность эрмитовой формы от переменных $c_1,c_2,c_3$ с матрицей
$$\left[\begin{array}{ccc}1& \mathcal{F}(-z_1)& \mathcal{F}(-z_2)\\ \mathcal{F}\left(z_1\right)& 1& \mathcal{F}(z_1-z_2)e^{\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }(z_1,z_2)}\\ \mathcal{F}\left(z_2\right)& \mathcal{F}(z_2-z_1)e^{\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z_2,z_2)}& 1\end{array}\right].$$

По критерию Сильвестра получаем
$$\begin{array}{c}1-\mathcal{F}\left(z_1\right)\mathcal{F}(-z_1)⩾0,\\ 1+2\mathrm{Re}\overline{\mathcal{F}\left(z_1\right)}\mathcal{F}\left(z_2\right)\overline{\mathcal{F}(z_2-z_1)}{e}^{\frac{l}{2}\mathrm{\Delta }(z_1,z_2)}-\\ -{\left|\mathcal{F}\left(z_2\right)\right|}^2-{\left|\mathcal{F}\left(z_1\right)\right|}^2-{\left|\mathcal{F}(z_2-z_1)\right|}^2⩾0.\end{array}$$

Из первого неравенства следует, что

и
$$\mathcal{F}(-z)=\overline{\mathcal{F}(z)}$$
$$|\mathcal{F}(z){|}^2⩽1.$$

Преобразуя второе неравенство, получаем
$$\begin{array}{rl}{|\mathcal{F}\left(z_2\right)-\mathcal{F}\left(z_1\right)|}^2& ⩽1-{\left|\mathcal{F}(z_2-z_1)\right|}^2-\\ -2& \mathrm{Re}\overline{\mathcal{F}\left(z_1\right)}\mathcal{F}\left(z_2\right)[1-\overline{F(z_2-z_1)}{e}^{\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }(z_2,z_1)}].\end{array}$$

Учитывая (4.2), (4,3), находим окончательно
$${|\mathcal{F}\left(z_2\right)-\mathcal{F}\left(z_1\right)|}^2⩽4|1-\overline{\mathcal{F}(z_3-z_1)}{e}^{\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z_2,z_2)}|,$$

откуда и следует высказаннов утверждение.

Мы построим некоторое гильбертово пространство и состояние в нем, для которого $\mathcal{F}(z)$ является характеристической функцией. Рассмотрим оператор ${\hat{V}}_0(z)$, действующий на функцию $\psi (w),w\in Z$, по формуле
$${\hat{V}}_0(z)\psi (w)=\exp [-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z,w)]\psi (z+w).$$

Непосредственно проверяется, что операторы $\{{\hat{V}}_0(z);z\in Z\}$ удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению (2.1). Теперь мы выделим такое гильбертово пространство $\mathcal{H}$, в котором операторы ${\hat{V}}_0(z)$ унитарны. Рассмотрим линейное пространство ${\hat{\mathcal{H}}}_0$ функций вида
$$\mathrm{\Psi }(w)=\left[\sum _k{c}_{k}V\left(z_k\right)\right]1(w)\equiv \sum _k{c}_k\exp [-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z_k,w)],$$

где 1 (w)-функция, тождественно равная единице. Введем в ${\mathcal{H}}_0$ полуторалинейную форму
$$({\psi }^{(1)}\mid {\psi }^{(2)})=\sum _{j,k}{c}_j^{(2)}{c}_k^{(1)}\mathcal{F}(z_j^{(2)}-z_k^{(1)})\exp \left[\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z_j^{(1)},z_k^{(1)})\right],$$

если ${\psi }^{(\alpha )}=\left[\sum _j{c}_j^{(\alpha )}V\left(z_j^{(\alpha )}\right)\right]1,\alpha =1,2$. В силу $\mathrm{\Delta }$-положительной определенности
$$(\psi \mid \psi )⩾0,\psi \in {\hat{\mathcal{C}}}_0.$$

Кроме того, непосредственно проверяется, что
$$({\hat{V}}_0(z){\psi }_1\mid {\hat{V}}_0(z){\psi }_2)=({\psi }_1\mid {\psi }_2),{\psi }_1,{\psi }_2\in {\hat{\mathcal{H}}}_0,$$

для любого $z\in Z$.
Обозначим через $\hat{\mathcal{H}}$ пополкение фактор-пространства ${\mathcal{H}}_0/\mathcal{O}$, где $\mathcal{O}=\{\psi :(\psi \mid \psi )=0\}$. В силу (4.4) операторы ${\hat{V}}_0(z)$ продолжаются до унитарных операторов $\hat{V}(z)$ в $\mathcal{H}$. Таким образом, $z\to \hat{V}(z)$ является проективным унитарным представлением канонического коммутационного соотношения в $\mathcal{K}$. Установим его непрерывность.

Для этого достаточно проверить непрерывность функций $({\psi }^{(1)}\mid \hat{V}(\cdot ){\psi }^{(1)})=({\psi }^{(1)}\mid {\hat{V}}_0(\cdot ){\psi }^{(2)})$, когда ${\psi }^{(\alpha )}$ пробегают плотное множество $\mathcal{R}d\mathcal{r}$. Но тогда
$$\begin{array}{l}({\psi }^{(1)}\mid {\hat{V}}_0(z){\psi }^{(z)})=\\ =\sum _{j,k}C(c_k^{(1)}\exp \left[\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z_j^{(s)}+z,z_k^{(1)}-z)\right]{\mathcal{F}}^{\mathcal{F}}(z_l^{(1)}+z-z_k^{(1)})\end{array}$$

и непрерывность вытекает из непрерывности функции $\mathcal{F}(z)$. Отметим еще, что
$$(1\mid \hat{V}(z)1)=\mathcal{F}(z).$$

По теореме 3.1 построенное представление увитарно эквивалентно прямой дискретной сумме копий некоторого неприводимого представления $z\to V(z)$ в пространстве $\mathcal{K}$ :

Оператор $U$ изометрически отображает $\mathcal{K}$ на $\mathcal{K}\oplus \mathcal{K}\oplus \dots$ Положим
$$U1={\psi }_1\oplus {\psi }_2\oplus \dots$$

и $S=\sum _j\mid {\psi }_j)({\psi }_j\mid$. Очевидно, что $S⩾0$ и
$$\mathrm{Tr}S=\sum _j({\psi }_j\mid {\psi }_j)=(U1\mid U1)=(1\mid 1)=1.$$

Таким образом, $S$-оператор плотности. Из (4.5) и (4.6) получаем
$$\mathcal{F}(z)=(1\mid \hat{V}(z)1)=\sum _j({\psi }_j\mid V(z){\psi }_j)=\mathrm{Tr}SV(z),$$

так что $\mathcal{F}(z)$ является характеристической функцией $S$. Теорема доказана.

Отметим интересный факт, не имеющий аналога в классической теории вероятностей. Так как всякий оператор плотности является оператором Гильберта-Шмидта, то по теореме $3.2\mathcal{F}(z)$ квадратично-интегрируема. В сочетании с доказанной теоремой это означает, что непрерывность и $\mathrm{\Delta }$-положительная определенность функции $\mathcal{F}(z)$ влекут квадратичную интегрируемость. Заметим, что если сразу наложить условие квадратичной интегрируемости, то доказательство теоремы 4.1 значительно упрощается. Пользуясь теоремой 3.2, введем оператор Гильберта Шмидта $S=V(\mathcal{F})$. Из условий 1$),2$ вытекает, что $S⩾0$ и $\mathrm{Tr}S=1$, т. е. $S$-оператор плотности, и по формуле обращения $\mathcal{F}(z)={\mathcal{J}}_z[S]$.

В теории вероятностей известны соотношения, связывающие моменты распределения с производными его характеристической функции. Аналогичные соотношения имеют место и здесь. Пусть
$$R(z)=\int \lambda E_z(d\lambda )$$
— спектральное разложение самосопряженного оператора $R(z)$. Рассмотрим распределение вероятностей на прямой
$${\mu }_S^2(B)=\mathrm{Tr}S{E}_z(B);B\in \mathrm{et}(\mathrm{R}).$$

Функция ${\mathcal{F}}_{tz}[S],-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$, является классической характеристической функцией распределения ${\mu }_S(d\lambda )$, так кав
$${\mathcal{F}}_{t\epsilon }[S]=\mathrm{Tr}S{e}^{ltR(z)}=\int e^{ti\lambda }{\mu }_S^2(d\lambda ).$$

Предположим, что $n$-й абсолютный момент распределения ${\mu }_S^z$ конечен; тогда, как известно из теории вероятностей, ${\mathcal{F}}_{ts}[\mathcal{S}]\mathit{n}$ раз дифференцируема и $n$-й момент распределения вероятностей ${\mu }_S^2$ равен
$$m_n(z)={i^n\frac{d^n}{d{t}^n}{\mathcal{F}}_{tz}[S]|}_{t\to 0}.$$

Если $n$ четно, то, обратно, из существования производной n-го порядка в нуле следует конечность $n$-го момента.

Из (4.7) видно, что $m_n(z)$ является однородным полиномом от $z$ степени $n$. Для нас наибольший интерес представляет среднее эмаченив
$$m_1(z)=m(z)=E_S(R(z)),$$

которое является линейной функцией от 2 , и второй момент $m_8(z)$, который является квадратичной формой от 2. Вводя симметричную билинейную форму
$$m_2(z,z^{\prime })=-{\frac{{\partial }^2}{\partial t\partial s}{\mathcal{F}}_{tz+s{z}^{\prime }}[S]|}_{t-s=n},$$

определим коррєляционную фуккцию состояния форйулой

так что
$$\alpha (z,z^{\prime })=m_2(z,z^{\prime })-m(z)m\left(z^{\prime }\right),$$
$$\alpha (z,z)=m_2(z)-m(z{)}^2=D_s(R(z)).$$

Рассмотрим гильбертово пространство квадратичносуммируемых операторов ${\mathcal{L}}^2(S)$ (см. § II.8). Так как $m_2(z)=\int {\lambda }^2{\mu }_S^2(d\lambda )$, то, согласно (II.9.9), $m_2(z)<\mathrm{\infty }$ тогда и только тогда, когда $R(z)\in {\mathcal{L}}^2(S)$. Мы скажем, что $S$-состояние с конечными вторыми моментами, если $m_2(z)<\mathrm{\infty }$ для всех $z\in Z$. Для такого состояния, согласно (II.9.1), (II.9.2),
$$m(z)=⟨I,R(z){⟩}_s,m_z(z,z^{\prime })={⟨R(z),R\left(z^{\prime }\right)⟩}_s.$$

Корреляционная функция записывается в виде
$$\alpha (z,z^{\prime })={⟨R(z)-m(z),R\left(z^{\prime }\right)-m\left(z^{\prime }\right)⟩}_s,$$

где для краткости полагается $m(z)\cdot I\equiv m(z)$.
Установим строгую версию соотношения (2.5):
$${[R(z),R\left(z^{\prime }\right)]}_s=\mathrm{\Delta }(z,z^{\prime });z,z^{\prime }\in Z.$$

Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 4.1. Пусть $M(d\lambda )$-измерение $c$ комечныии вторыми моментами относительно состояния $S\mathit{u}{\mathit{X}}_{\mathit{M}}=$ $=\int \lambda M(d\lambda )$. Рассмотрим семейстоо ограниченных опера. торов
$$V_t=\int e^{it\lambda }M(d\lambda )$$

Тогда $X_M={i^{-1}\frac{d}{dt}{V}_t|}_{t=0}$ в смысле сходимости в ${\mathcal{L}}_{\pm }^2(S)$.
Доказательство. Нужно показать, что
$$\frac{V_t-1}{it}\to X_M\text{ в }{\mathcal{L}}_{\pm }^z(S)\text{ при }t\to 0.$$

В силу неравенства (II.9.7) для этого достаточно установить, тто
$$\frac{e^{in}-1}{it}\to \lambda \text{ в }{\mathcal{L}}^2\left({\mu }_s\right).$$

Очевидно, что имеет место поточечная сходимость; кроме тoro,
$${|\lambda -\frac{e^{i\lambda t}-1}{it}|}^3⩽4{\lambda }^2,$$

так как $\left|\frac{e^{\lambda \lambda t}-1}{it}\right|=\left|\frac{\sin \lambda t/2}{t/2}\right|⩽\lambda$. Так как $\int {\lambda }^2{\mu }_S(d\lambda )<\mathrm{\infty }$, то по теореме Лебега о мажорированной сходимости
$$\int {|\lambda -\frac{e^{\lambda }-1}{it}|}^2{\mu }_S(d\lambda )\to 0\text{ при }t\to 0,$$

что и требовалось установить.
Из этой леммы вытекает, что если $m_2(z)<\mathrm{\infty }$, то
$$R(z)={i^{-1}\frac{d}{dt}V(tz)|}_{t-0}\text{ В }{\mathcal{L}}_{\pm }^z(S).$$

Беря след обеих частей равенства (2.4) с оператором плотности $S$ в учитьвая, что $V(z{)}^{\ast }=V(-z)$, получаем
$$⟨V(-tz),V\left(s{z}^{\prime }\right)⟩\overline{s}=e^{lts\mathrm{\Delta }(z,z^{\prime })}⟨V(-tz),V\left(s{z}^{\prime }\right)⟩s.$$

Отсюда, в силу (4.11),
$$-⟨R(z),R\left(z^{\prime }\right)⟩\overline{s}=i\mathrm{\Delta }(z,z^{\prime })-⟨R(z),R\left(z^{\prime }\right)⟩\hslash .$$

Учитывая (I1.8.13), получаем (4.10). Принимая во внимание (II.8.9), можно также написать
$$\mathrm{\Delta }(z,z^{\prime })=[R(z)-m(z),R\left(z^{\prime }\right)-m\left(z^{\prime }\right)]s.$$

Из формул (4.9), (4.12) и предложения II.9.1 вытекает, тто корреляционная функция состояния с конечными вторыми моментами удовлетворяет эквивалентным неравенствам
$$\begin{array}{rl}\alpha (z,z)\alpha (z^{\prime },z^{\prime })& ⩾\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{(z,z^{\prime })}^2,\\ \alpha (z,z)+\alpha (z^{\prime },z^{\prime })& ⩾\mathrm{\Delta }(z,z^{\prime }).\end{array}$$

Первое из этих неравенств есть, конечно, соотношение неопределенностей для наблюдаемых $R(z),R\left(z^{\prime }\right)$.

โл. $\mathbf{abla}$
Кроме того, для любых $z_j\in Z$
$$[\alpha (z_j,z_k)\pm \frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z_j,z_k)]⩾0.$$

Лемма 4.2. Если $S$-оператор плотности состояния с конеиными вторыми моментами, то
$$\begin{array}{c}{\mathcal{F}}_z\left[SR\left(z_1\right)\right]=[-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }(z,z_1)-labl{a}_{s_1}]{\mathcal{F}}_{z}S]\\ {\mathcal{F}}_z\left[R\left(z_1\right)S\right]=[\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }(z,z_1)-labl{a}_{s_1}]{\mathcal{F}}_z[S]\\ {\mathcal{F}}_z[S\cdot R\left(z_1\right)]=-iabl{a}_{s_1}{\mathcal{F}}_z[S]\\ {\mathcal{F}}_z\left[[R\left(z_1\right),S]\right]=\mathrm{\Delta }(z,z_1){\mathcal{F}}_z[S]\end{array}$$
$={\frac{d}{dt}\cdot (z+t{x}_1)|}_{t-0}$.

Доказательство. Так как $R\left(z_1\right)\in \mathcal{L}(S)$, то по предложению II.8.1 операторы $SR\left(z_1\right),\dots$ в левой части доказываемых равенств являются ядерными и имекот квадратично-интегрируемые преобразования ${\mathcal{F}}_z\left[SR\left(z_1\right)\right],\dots$ Достаточно проверить первую формулу. Имеем
$${\mathcal{F}}_s\left[SR\left(z_1\right)\right]=\mathrm{Tr}\left(SR\left(z_1\right)\right)V(z)=⟨V(-z),R\left(z_1\right)⟩\overline{s}.$$

Согласно (4.11)
$$\begin{array}{l}{\mathcal{J}}_x\left[SR\left(z_1\right)\right]={i^{-1}\frac{d}{dt}⟨V(-z),V\left(t{z}_1\right)⟩\overline{s}|}_{t-0}=\\ ={i^{-1}\frac{d}{dt}\mathrm{Tr}SV\left(t{z}_1\right)V(z)|}_{,-n}.\end{array}$$

Используя каноническое коммутационное соотношение, получаем
$${\mathcal{F}}_z\left[SR\left(z_1\right)\right]={i^{-1}\frac{d}{dt}{\mathcal{F}}_{z+t{z}_1}[S]e^{\frac{l}{2}t\mathrm{\Delta }(z_1,z)}|}_{t-0},$$

что и требовалось.
Было бы нетрудно распространить эти формулы на более широкий класс операторов $S$, однако это нам не понадобится.