Рассмотрим преобразование $\mathscr{F}_{z}[T]$ для эрмитова ядерного оператора $T$. Если $T \geqslant 0$, то $\mathscr{F}_{z}[T]$ обладает следующим свойством $\Delta$-положительной определенности: для любого $n$, любых $z_{1}, \ldots, z_{n} \in Z$ и $c_{1}, \ldots, c_{n} \in \mathbb{C}$
\[
\sum_{i, k=1}^{n} c_{j} c_{k} F_{z_{j}-s_{k}}[T] \exp \frac{i}{2} \Delta\left(z_{j}, z_{k}\right) \geqslant 0 .
\]

В самом деле, в силу (2.1) и (3.4) эта сумма есть не что иное, как $\operatorname{Tr} T\left(\sum_{h} c_{k} V\left(z_{k}\right)\right)^{*}\left(\sum_{l} c_{j} V\left(z_{j}\right)\right)$, что, очевидно, всегда неотрицательно.

Преобразование $\mathscr{F}_{z}[S]$ оператора плотности $S$ назовем характеристической функцией $S$ по аналогии с характеристическими функциями распределений вероятностей. Следующая теорема является некоммутативным аналогом известной теоремы Бохнера – Хинчина.

Теорема 4.1. Дяя того чтобы функция $\mathscr{F}(z)$ была характеристической функцией квантового состояния, необходимо и достатонно выполнение условий:
1) $\mathscr{F}(0)=1, \mathscr{F}(z)$ непрерьвна в нуле;
2) $\mathscr{F}(z)$ является $\Delta$-положительно определенной.
Доказательство. Пусть $S$-оператор плотности; тогда $\mathscr{F}_{0}[S]=\operatorname{Tr} S=1$; условие 2) следует из положительности $S$. Для доказательства непрерывности заметим, что
\[
\mathscr{F}_{*}[S]=\sum_{f} s_{j}\left(e_{j} \mid V(z) e_{j}\right),
\]

где $s_{f}$-собственные значения, $e_{j}$-собственные векторы оператора $S$. В силу непрерывности представления $z \rightarrow V(z)$ каждое слагаемое ряда является непрерывной функцией по $z$; кроме того, ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, так как $\left|\left(e_{j} \mid V(z) e_{j}\right)\right| \leqslant 1$ и $\sum_{j} s_{j}<\infty$. Таким образом, $\mathscr{F}_{z}[S]$ непрерывна при всех $z \in Z$.

Докажем достаточность. Прежде всего покажем, что непрерывность в нуле и $\Delta$-положительная определенность влекут равномерную непрерывность функции $\mathscr{F}(z)$ при всех $z$ (аналогичный факт имеет место в теории вероятностей для характеристических функций). Для этого рассмотрим условие (4.1) для $n=3$ и значений $z$, равных 0 , $z_{1}, z_{2}$. Тогда условие (4.1) означает положительную определенность эрмитовой формы от переменных $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ с матрицей
\[
\left[\begin{array}{ccc}
1 & \mathscr{F}\left(-z_{1}\right) & \mathscr{F}\left(-z_{2}\right) \\
\mathscr{F}\left(z_{1}\right) & 1 & \mathscr{F}\left(z_{1}-z_{2}\right) e^{\frac{1}{2} \Delta\left(z_{1}, z_{2}\right)} \\
\mathscr{F}\left(z_{2}\right) & \mathscr{F}\left(z_{2}-z_{1}\right) e^{\frac{i}{2} \Delta\left(z_{2}, z_{2}\right)} & 1
\end{array}\right] .
\]

По критерию Сильвестра получаем
\[
\begin{array}{c}
1-\mathscr{F}\left(z_{1}\right) \mathscr{F}\left(-z_{1}\right) \geqslant 0, \\
1+2 \operatorname{Re} \overline{\mathscr{F}\left(z_{1}\right)} \mathscr{F}\left(z_{2}\right) \overline{\mathscr{F}\left(z_{2}-z_{1}\right)} e^{\frac{l}{2} \Delta\left(z_{1}, z_{2}\right)}- \\
-\left|\mathscr{F}\left(z_{2}\right)\right|^{2}-\left|\mathscr{F}\left(z_{1}\right)\right|^{2}-\left|\mathscr{F}\left(z_{2}-z_{1}\right)\right|^{2} \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Из первого неравенства следует, что

и
\[
\mathscr{F}(-z)=\overline{\mathscr{F}(z)}
\]
\[
|\mathscr{F}(z)|^{2} \leqslant 1 .
\]

Преобразуя второе неравенство, получаем
\[
\begin{aligned}
\left|\mathscr{F}\left(z_{2}\right)-\mathscr{F}\left(z_{1}\right)\right|^{2} & \leqslant 1-\left|\mathscr{F}\left(z_{2}-z_{1}\right)\right|^{2}- \\
-2 & \operatorname{Re} \overline{\mathscr{F}\left(z_{1}\right)} \mathscr{F}\left(z_{2}\right)\left[1-\overline{F\left(z_{2}-z_{1}\right)} e^{\frac{1}{2} \Delta\left(z_{2}, z_{1}\right)}\right] .
\end{aligned}
\]

Учитывая (4.2), (4,3), находим окончательно
\[
\left|\mathscr{F}\left(z_{2}\right)-\mathscr{F}\left(z_{1}\right)\right|^{2} \leqslant 4\left|1-\overline{\mathscr{F}\left(z_{3}-z_{1}\right)} e^{\frac{i}{2} \Delta\left(z_{2}, z_{2}\right)}\right|,
\]

откуда и следует высказаннов утверждение.

Мы построим некоторое гильбертово пространство и состояние в нем, для которого $\mathscr{F}(z)$ является характеристической функцией. Рассмотрим оператор $\hat{V}_{0}(z)$, действующий на функцию $\psi(w), w \in Z$, по формуле
\[
\hat{V}_{0}(z) \psi(w)=\exp \left[-\frac{i}{2} \Delta(z, w)\right] \psi(z+w) .
\]

Непосредственно проверяется, что операторы $\left\{\hat{V}_{0}(z) ; z \in Z\right\}$ удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению (2.1). Теперь мы выделим такое гильбертово пространство $\mathscr{H}$, в котором операторы $\hat{V}_{0}(z)$ унитарны. Рассмотрим линейное пространство $\hat{\mathscr{H}}_{0}$ функций вида
\[
\Psi(w)=\left[\sum_{k} c_{k} V\left(z_{k}\right)\right] 1(w) \equiv \sum_{k} c_{k} \exp \left[-\frac{i}{2} \Delta\left(z_{k}, w\right)\right],
\]

где 1 (w)-функция, тождественно равная единице. Введем в $\mathscr{H}_{0}$ полуторалинейную форму
\[
\left(\psi^{(1)} \mid \psi^{(2)}\right)=\sum_{j, k} c_{j}^{(2)} c_{k}^{(1)} \mathscr{F}\left(z_{j}^{(2)}-z_{k}^{(1)}\right) \exp \left[\frac{i}{2} \Delta\left(z_{j}^{(1)}, z_{k}^{(1)}\right)\right],
\]

если $\psi^{(\alpha)}=\left[\sum_{j} c_{j}^{(\alpha)} V\left(z_{j}^{(\alpha)}\right)\right] 1, \alpha=1,2$. В силу $\Delta$-положительной определенности
\[
(\psi \mid \psi) \geqslant 0, \quad \psi \in \hat{\mathscr{C}}_{0} .
\]

Кроме того, непосредственно проверяется, что
\[
\left(\hat{V}_{0}(z) \psi_{1} \mid \hat{V}_{0}(z) \psi_{2}\right)=\left(\psi_{1} \mid \psi_{2}\right), \quad \psi_{1}, \psi_{2} \in \hat{\mathscr{H}}_{0},
\]

для любого $z \in Z$.
Обозначим через $\hat{\mathscr{H}}$ пополкение фактор-пространства $\mathscr{\mathscr { H }}_{0} / \mathscr{O}$, где $\mathscr{O}=\{\psi:(\psi \mid \psi)=0\}$. В силу (4.4) операторы $\hat{V}_{0}(z)$ продолжаются до унитарных операторов $\hat{V}(z)$ в $\mathscr{H}$. Таким образом, $z \rightarrow \hat{V}(z)$ является проективным унитарным представлением канонического коммутационного соотношения в $\mathscr{K}$. Установим его непрерывность.

Для этого достаточно проверить непрерывность функций $\left(\psi^{(1)} \mid \hat{V}(\cdot) \psi^{(1)}\right)=\left(\psi^{(1)} \mid \hat{V}_{0}(\cdot) \psi^{(2)}\right)$, когда $\psi^{(\alpha)}$ пробегают плотное множество $\mathscr{R} d \mathscr{r}$. Но тогда
\[
\begin{array}{l}
\left(\psi^{(1)} \mid \hat{V}_{0}(z) \psi^{(z)}\right)= \\
\quad=\sum_{j, k} C\left(c_{k}^{(1)} \exp \left[\frac{i}{2} \Delta\left(z_{j}^{(s)}+z, z_{k}^{(1)}-z\right)\right] \mathscr{F}^{\mathcal{F}}\left(z_{l}^{(1)}+z-z_{k}^{(1)}\right)\right.
\end{array}
\]

и непрерывность вытекает из непрерывности функции $\mathscr{F}(z)$. Отметим еще, что
\[
(1 \mid \hat{V}(z) 1)=\mathcal{F}(z) .
\]

По теореме 3.1 построенное представление увитарно эквивалентно прямой дискретной сумме копий некоторого неприводимого представления $z \rightarrow V(z)$ в пространстве $\mathscr{K}$ :

Оператор $U$ изометрически отображает $\mathscr{K}$ на $\mathscr{K} \oplus \mathscr{K} \oplus \ldots$ Положим
\[
U 1=\psi_{1} \oplus \psi_{2} \oplus \ldots
\]

и $\left.S=\sum_{j} \mid \psi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid\right.$. Очевидно, что $S \geqslant 0$ и
\[
\operatorname{Tr} S=\sum_{j}\left(\psi_{j} \mid \psi_{j}\right)=(U 1 \mid U 1)=(1 \mid 1)=1 .
\]

Таким образом, $S$-оператор плотности. Из (4.5) и (4.6) получаем
\[
\mathscr{F}(z)=(1 \mid \hat{V}(z) 1)=\sum_{j}\left(\psi_{j} \mid V(z) \psi_{j}\right)=\operatorname{Tr} S V(z),
\]

так что $\mathscr{F}(z)$ является характеристической функцией $S$. Теорема доказана.

Отметим интересный факт, не имеющий аналога в классической теории вероятностей. Так как всякий оператор плотности является оператором Гильберта-Шмидта, то по теореме $3.2 \mathscr{F}(z)$ квадратично-интегрируема. В сочетании с доказанной теоремой это означает, что непрерывность и $\Delta$-положительная определенность функции $\mathscr{F}(z)$ влекут квадратичную интегрируемость. Заметим, что если сразу наложить условие квадратичной интегрируемости, то доказательство теоремы 4.1 значительно упрощается. Пользуясь теоремой 3.2, введем оператор Гильберта Шмидта $S=V(\mathscr{F})$. Из условий 1$), 2$ вытекает, что $S \geqslant 0$ и $\operatorname{Tr} S=1$, т. е. $S$-оператор плотности, и по формуле обращения $\mathscr{F}(z)=\mathscr{J}_{z}[S]$.

В теории вероятностей известны соотношения, связывающие моменты распределения с производными его характеристической функции. Аналогичные соотношения имеют место и здесь. Пусть
\[
R(z)=\int \lambda E_{z}(d \lambda)
\]
– спектральное разложение самосопряженного оператора $R(z)$. Рассмотрим распределение вероятностей на прямой
\[
\mu_{S}^{2}(B)=\operatorname{Tr} S E_{z}(B) ; \quad B \in \operatorname{et}(\mathrm{R}) .
\]

Функция $\mathscr{F}_{t z}[S],-\infty<t<\infty$, является классической характеристической функцией распределения $\mu_{S}(d \lambda)$, так кав
\[
\mathcal{F}_{t \varepsilon}[S]=\operatorname{Tr} S e^{l t R(z)}=\int e^{t i \lambda} \mu_{S}^{2}(d \lambda) .
\]

Предположим, что $n$-й абсолютный момент распределения $\mu_{S}^{z}$ конечен; тогда, как известно из теории вероятностей, $\mathscr{F}_{t s}[\mathcal{S}] \boldsymbol{n}$ раз дифференцируема и $n$-й момент распределения вероятностей $\mu_{S}^{2}$ равен
\[
m_{n}(z)=\left.i^{n} \frac{d^{n}}{d t^{n}} \mathcal{F}_{t z}[S]\right|_{t \rightarrow 0} .
\]

Если $n$ четно, то, обратно, из существования производной n-го порядка в нуле следует конечность $n$-го момента.

Из (4.7) видно, что $m_{n}(z)$ является однородным полиномом от $z$ степени $n$. Для нас наибольший интерес представляет среднее эмаченив
\[
m_{1}(z)=m(z)=E_{S}(R(z)),
\]

которое является линейной функцией от 2 , и второй момент $m_{8}(z)$, который является квадратичной формой от 2. Вводя симметричную билинейную форму
\[
m_{2}\left(z, z^{\prime}\right)=-\left.\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial s} \mathscr{F}_{t z+s z^{\prime}}[S]\right|_{t-s=n},
\]

определим коррєляционную фуккцию состояния форйулой

так что
\[
\alpha\left(z, z^{\prime}\right)=m_{2}\left(z, z^{\prime}\right)-m(z) m\left(z^{\prime}\right),
\]
\[
\alpha(z, z)=m_{2}(z)-m(z)^{2}=D_{s}(R(z)) .
\]

Рассмотрим гильбертово пространство квадратичносуммируемых операторов $\mathscr{L}^{2}(S)$ (см. § II.8). Так как $m_{2}(z)=\int \lambda^{2} \mu_{S}^{2}(d \lambda)$, то, согласно (II.9.9), $m_{2}(z)<\infty$ тогда и только тогда, когда $R(z) \in \mathscr{L}^{2}(S)$. Мы скажем, что $S$-состояние с конечными вторыми моментами, если $m_{2}(z)<\infty$ для всех $z \in Z$. Для такого состояния, согласно (II.9.1), (II.9.2),
\[
m(z)=\langle I, R(z)\rangle_{s}, \quad m_{z}\left(z, z^{\prime}\right)=\left\langle R(z), R\left(z^{\prime}\right)\right\rangle_{s} .
\]

Корреляционная функция записывается в виде
\[
\alpha\left(z, z^{\prime}\right)=\left\langle R(z)-m(z), R\left(z^{\prime}\right)-m\left(z^{\prime}\right)\right\rangle_{s},
\]

где для краткости полагается $m(z) \cdot I \equiv m(z)$.
Установим строгую версию соотношения (2.5):
\[
\left[R(z), R\left(z^{\prime}\right)\right]_{s}=\Delta\left(z, z^{\prime}\right) ; \quad z, z^{\prime} \in Z .
\]

Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 4.1. Пусть $M(d \lambda)$-измерение $c$ комечныии вторыми моментами относительно состояния $S \boldsymbol{u} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{M}}=$ $=\int \lambda M(d \lambda)$. Рассмотрим семейстоо ограниченных опера. торов
\[
V_{t}=\int e^{i t \lambda} M(d \lambda)
\]

Тогда $X_{M}=\left.i^{-1} \frac{d}{d t} V_{t}\right|_{t=0}$ в смысле сходимости в $\mathscr{L}_{ \pm}^{2}(S)$.
Доказательство. Нужно показать, что
\[
\frac{V_{t}-1}{i t} \rightarrow X_{M} \text { в } \mathscr{L}_{ \pm}^{z}(S) \text { при } t \rightarrow 0 .
\]

В силу неравенства (II.9.7) для этого достаточно установить, тто
\[
\frac{e^{i n}-1}{i t} \rightarrow \lambda \text { в } \mathscr{L}^{2}\left(\mu_{s}\right) .
\]

Очевидно, что имеет место поточечная сходимость; кроме тoro,
\[
\left|\lambda-\frac{e^{i \lambda t}-1}{i t}\right|^{3} \leqslant 4 \lambda^{2},
\]

так как $\left|\frac{e^{\lambda \lambda t}-1}{i t}\right|=\left|\frac{\sin \lambda t / 2}{t / 2}\right| \leqslant \lambda$. Так как $\int \lambda^{2} \mu_{S}(d \lambda)<\infty$, то по теореме Лебега о мажорированной сходимости
\[
\int\left|\lambda-\frac{e^{\lambda}-1}{i t}\right|^{2} \mu_{S}(d \lambda) \rightarrow 0 \text { при } t \rightarrow 0,
\]

что и требовалось установить.
Из этой леммы вытекает, что если $m_{2}(z)<\infty$, то
\[
R(z)=\left.i^{-1} \frac{d}{d t} V(t z)\right|_{t-0} \text { В } \mathscr{L}_{ \pm}^{z}(S) .
\]

Беря след обеих частей равенства (2.4) с оператором плотности $S$ в учитьвая, что $V(z)^{*}=V(-z)$, получаем
\[
\left\langle V(-t z), V\left(s z^{\prime}\right)\right\rangle \bar{s}=e^{l t s \Delta\left(z, z^{\prime}\right)}\left\langle V(-t z), V\left(s z^{\prime}\right)\right\rangle s .
\]

Отсюда, в силу (4.11),
\[
-\left\langle R(z), R\left(z^{\prime}\right)\right\rangle \bar{s}=i \Delta\left(z, z^{\prime}\right)-\left\langle R(z), R\left(z^{\prime}\right)\right\rangle \hbar .
\]

Учитывая (I1.8.13), получаем (4.10). Принимая во внимание (II.8.9), можно также написать
\[
\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=\left[R(z)-m(z), R\left(z^{\prime}\right)-m\left(z^{\prime}\right)\right] s .
\]

Из формул (4.9), (4.12) и предложения II.9.1 вытекает, тто корреляционная функция состояния с конечными вторыми моментами удовлетворяет эквивалентным неравенствам
\[
\begin{aligned}
\alpha(z, z) \alpha\left(z^{\prime}, z^{\prime}\right) & \geqslant \frac{1}{4} \Delta\left(z, z^{\prime}\right)^{2}, \\
\alpha(z, z)+\alpha\left(z^{\prime}, z^{\prime}\right) & \geqslant \Delta\left(z, z^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Первое из этих неравенств есть, конечно, соотношение неопределенностей для наблюдаемых $R(z), R\left(z^{\prime}\right)$.

โл. $\mathbf{
abla}$
Кроме того, для любых $z_{j} \in Z$
\[
\left[\alpha\left(z_{j}, z_{k}\right) \pm \frac{i}{2} \Delta\left(z_{j}, z_{k}\right)\right] \geqslant 0 .
\]

Лемма 4.2. Если $S$-оператор плотности состояния с конеиными вторыми моментами, то
\[
\begin{array}{c}
\left.\mathcal{F}_{z}\left[S R\left(z_{1}\right)\right]=\left[-\frac{1}{2} \Delta\left(z, z_{1}\right)-l
abla_{s_{1}}\right] \mathscr{F}_{z} S\right] \\
\mathcal{F}_{z}\left[R\left(z_{1}\right) S\right]=\left[\frac{1}{2} \Delta\left(z, z_{1}\right)-l
abla_{s_{1}}\right] \mathscr{F}_{z}[S] \\
\mathcal{F}_{z}\left[S \cdot R\left(z_{1}\right)\right]=-i
abla_{s_{1}} \mathscr{F}_{z}[S] \\
\mathcal{F}_{z}\left[\left[R\left(z_{1}\right), S\right]\right]=\Delta\left(z, z_{1}\right) \mathcal{F}_{z}[S]
\end{array}
\]
$=\left.\frac{d}{d t} \cdot\left(z+t x_{1}\right)\right|_{t-0}$.

Доказательство. Так как $R\left(z_{1}\right) \in \mathscr{L}(S)$, то по предложению II.8.1 операторы $S R\left(z_{1}\right), \ldots$ в левой части доказываемых равенств являются ядерными и имекот квадратично-интегрируемые преобразования $\mathscr{F}_{z}\left[S R\left(z_{1}\right)\right], \ldots$ Достаточно проверить первую формулу. Имеем
\[
\mathscr{F}_{s}\left[S R\left(z_{1}\right)\right]=\operatorname{Tr}\left(S R\left(z_{1}\right)\right) V(z)=\left\langle V(-z), R\left(z_{1}\right)\right\rangle \bar{s} .
\]

Согласно (4.11)
\[
\begin{array}{l}
\mathcal{J}_{x}\left[S R\left(z_{1}\right)\right]=\left.i^{-1} \frac{d}{d t}\left\langle V(-z), V\left(t z_{1}\right)\right\rangle \bar{s}\right|_{t-0}= \\
=\left.i^{-1} \frac{d}{d t} \operatorname{Tr} S V\left(t z_{1}\right) V(z)\right|_{,-n} .
\end{array}
\]

Используя каноническое коммутационное соотношение, получаем
\[
\mathscr{F}_{z}\left[S R\left(z_{1}\right)\right]=\left.i^{-1} \frac{d}{d t} \mathscr{F}_{z+t z_{1}}[S] e^{\frac{l}{2} t \Delta\left(z_{1}, z\right)}\right|_{t-0},
\]

что и требовалось.
Было бы нетрудно распространить эти формулы на более широкий класс операторов $S$, однако это нам не понадобится.