Формальное выражение дхя гамильтониана дается соотношением (8.4); однако для того, чтобы это выражение определяло динамику, т. е. унитарную группу $V_{t}=e^{-i t H}$, $t \in \mathbb{R}$, оператор $H$ должен быть существенно самосопряженным. Доказательство этого свойства для различных потенциалов $V(\cdot)$ является одной из основных математических задач квантовой механики. Другой важной задачей является спектральный анализ гамильтониана. Этим задачам посвящена обширная литература, указания на которую можно найти в комментариях. Поскольку их рассмотрение не входит в наши цели, мы ограничимся простейшим, но весьма важным и необходимым для дальнейшего примером квантового гармонического осциллятopa.
Рассмотрим гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2 m \hbar}\left(p^{2}+m^{2} \omega^{2} q^{9}\right) .
\]

В классической механике такое выражение для энергии соответствует осциллятору с массой $m$ и частотой $\boldsymbol{\omega}$. Условимся всюду далее считать $m=1$, так что $n=1 / \mu$. В представлении Шредингера оператор энергии принимает вид
\[
E=\frac{1}{2}\left(-\hbar^{2} \frac{d}{d j^{3}}+\omega^{2} \xi^{2}\right) .
\]

Поскольку $E$ представляет собои сумму неограниченных операторов, возникает вопрос, определяют ли выражения (10.1), (10.2) существенно самосопряженный оператор.

Прежде всего отметим, что выражение (10.2) опредеотносительно операторов $p$ и $q$ и любых полиномов от $p$ и $q$, в частности относительно $H$. Введем на $\mathscr{O}(\mathbb{R})$ оnераторы
\[
a=\frac{1}{\sqrt{2 \hbar \omega}}(\omega q+i p), \quad a^{*}=\frac{1}{\sqrt{2 \hbar \omega}}(\omega q-i p) .
\]
дывает обозначение $a^{*}$ для второго оператора (хотя, если считать областью определения оператора а пространство B дальнейшем мы построим расширения операторов $a$ и $a^{*}$, так что $a^{*}$ в точности будет сопряженным к $a$.

Операторы $a$ и $a^{*}$ удовлетворяют на $\mathscr{O}(\mathbb{R})$ коммутационному соотношению
\[
\left[a, a^{*}\right]=\mathrm{I} \text {. }
\]

Выражая оператор $E$ через $a$ в $a^{*}$, имеем $E=\frac{\hbar \omega}{2}\left(a a^{*}+\right.$. $\left.+a^{*} a\right)=n \omega\left(a^{*} a+\frac{1}{2}\right)$, откуда
\[
E=n \omega\left(N+\frac{1}{2}\right)
\]

где $N=a^{*} a$. Теперь, пользуясь коммутационным соотношением (10.3), мы определим собственные числа и собственные векторы операторов $N$ и $E$ и построим их самосопряженные расширения. Из (10.3) вытекает, что на $\mathscr{\mathscr { P }}(R)$ имекот место соотношения
\[
N a^{n}=a^{n}(N-n), N a^{* n}=a^{* n}(N+n) ; n=1,2, \ldots
\]

Заметим теперь, тто вектор основного состояния (0) = $=\left(0,0, \frac{\pi}{20}\right)$, определяемый в представлении Шредингера функциен
\[
(0 \mid 0)=\left(\frac{\pi k}{\omega}\right)^{-1 / h} \exp \left(-\frac{\omega \xi}{2 \hbar}\right)
\]

удовлетворяет соотношению ( $\omega q+i p) \mid 0$ ) $=0$, откуда
\[
a(0)=0, \quad N(0)=0,
\]

так что (0) является собственным вектором оператора $N$, отвечаюиим нулевому собственному значению. Применяя второе из соотношении (10.5), получаем $\left.N\left(a^{*}\right)^{n} \mid 0\right)=$ $=n\left(a^{*}\right)^{n} \mid 0$ ), так что вектор $\left.\mid \psi_{n}\right)=\left(a^{*}\right)^{n} \mid 0$ ) является собственным вектором оператора $N$, отвечающим собственному значенио $n ; n=0,1, \ldots$ Поскольку оператор $N$ симметричен, система $\left\{\mid \phi_{n}\right\}$ ортогональна. Чтобы построить ортонормированную систему, найдем $\alpha_{n}=\sqrt{\left(\psi_{n} \mid \phi_{n}\right)}$. Имеем $\quad \alpha_{0}=\sqrt{(0 \mid 0)}-1$ і $\alpha_{n}^{*}=\left(\psi_{n-1} \mid a a^{*} \psi_{n-1}\right)=$ — $\left(\psi_{n-1} \mid(N+1) \psi_{n-1}\right)=$ noth-1, откуда $\alpha_{n}=1 / \sqrt{n}$. Итак, последовательность
\[
\left.\left.|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(a^{*}\right)^{*} \right\rvert\, 0\right) ; \quad n=0,1, \ldots,
\]

является ортонормированной системой собственных векторов оператора $N$. В представлении Шредингера
\[
\begin{array}{l}
(\xi \mid n)=\frac{1}{\sqrt{n !}}\left[\frac{1}{\sqrt{2 \hbar \omega}}\right]^{n}\left(\omega \xi-\hbar \frac{d}{d \xi}\right)^{n}\left(\frac{\pi \hbar}{\omega}\right)^{-1 / 4} \exp \left(-\frac{\omega_{\xi}^{2}}{2 \hbar}\right)= \\
=\sqrt{\sqrt{\frac{\omega}{\pi \hbar} \frac{1}{2^{n} n 1}}} H_{n}\left(\sqrt{\frac{\omega}{\hbar} \xi}\right) \exp \left(-\frac{\omega \xi^{2}}{2 \hbar}\right) ; \\
n=0,1, \ldots \text {. } \\
\end{array}
\]

где $H_{n}(\cdot)$-многочлены Эрмита. Известно, что функции (10.7) образуют полную ортонормированную систему в $\mathscr{L}^{2}(R)$, так что
\[
\left.\sum_{n=0}^{\infty} \mid n\right)(n \mid=I \text {. }
\]

Таким образом, найден базис из собственных векторов оператора $N$. Поскольку $E$ выражается через $N$ по формуле (10.4), то этот же базис является базисом из собственных векторов оператора $E$, причем
\[
\left.E \mid n) \left.=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \right\rvert\, n\right) ; \quad n=0,1, \ldots
\]

Эта формула показывает, что энергия квантового осциллятора может принимать дискретный ряд значений $\frac{1}{2} \hbar \omega$, $\frac{3}{2} \hbar \omega, \ldots,\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega, \ldots$ В физике принято называть $n$ числом квантов, так что вектор $(n)$ описывает мсостоянне с $n$ квантами». В силу соотношения полноты (10.8), всякий вектор $\boldsymbol{\psi}$ разлагается по системе $\{\mid n)\}$ :
\[
\left.\mid \Psi)=\sum_{n=0}^{\infty} \mid n\right)(n \mid \psi)
\]

где $(n \mid \psi) ; n=0,1, \ldots$, — квадратично-суммируемая последовательность коэффицнентов. Поэтому состояния и наблюдаемые могут быть представлены бесконечными матрицами, действующими в пространстве $l^{2}$. Это представление называется представлением Фока, или епредставлением по числам заполнения». Изометрический переход между этим представлением и представлением Шредингера задается формулами
\[
(n \mid \psi)=\int(n \mid \xi)(\xi \mid \psi) d \xi, \quad(\xi \mid \psi)=\sum_{n}(\xi \mid n)(n \mid \psi),
\]

где ядро $(\xi \mid n)=\overline{(n \mid \xi)}$ определяется соотношением (10.7).
В представлении Фока легко строятся самосопряженные расширения операторов $N$ и $E$. Рассмотрим подпространство
\[
\mathscr{V}(N)=\left\{\psi: \sum_{n=0}^{\infty} n^{2}|(n ; \psi)|^{2}<\infty\right\}
\]

и определим на нем оператор $N$ соотношением
\[
\left.N \mid \psi)=\sum_{n=0}^{\infty} n \mid n\right)(n \mid \psi)
\]
a $E$ определим через $N$ по формуле (10.4). Согласно спектральной теореме II.4.1, определенные так операторы являются самосопряженными расширениями исходных операторов, заданных на $8(\mathbb{R})$. Можно показать, что эти распирения единственны.

Оператор $N$ называется наблюдаемой иисла квантов. В представлении Фока он имеет диагональную форму, так как
\[
N \mid n)=n(n) .
\]

Выясним, какой вид имеют в этом представлении канонические наблюдаемые. Вместо $p$ и $q$ удобнее рассматривать их линейные комбинации $a$ и $a^{*}$. Из определения базиса $\{\mid n)\}$ и коммутационного соотношения (10.3) вытекает
\[
\left.a \mid n)=\sqrt{n} \mid n-1), \quad a^{*}|n\rangle=\sqrt{n+1} \mid n+1\right) .
\]

Таким образом, оператор а уменьшает, а оператор $a^{*}$ увеличивает «число квантов на единицу. В соответствии с этим $a$ называется жоператором уничтожения», а $a^{*}$ соператором рождения» квавтов. Естественной максимальной областью определения операторов $a$ и $a^{*}$ является подпространство
\[
\mathscr{V}(a)=\mathscr{O}\left(a^{*}\right)=\left\{\psi: \sum_{n=0}^{\infty} n|(\psi \mid n)|^{\beta}<\infty\right\} .
\]

Рассматриваемые как операторы с этой областью определения, $a$ и $a^{*}$ являются взаимно сопряженными: (a)* $=$ $=a^{*},\left(a^{*}\right)^{*}=a$.

Благодаря тому, что гамильтониян $H$ в представлении Фока диагонален, динамика квантового осциллятора в этом представлении описывается особенно просто. Имеем
\[
\left.V_{t} \mid \psi\right)=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-t \omega(n+1 / q) t \mid n)(n \mid \psi) .}
\]

Чистые состояния, отвечающие векторам $\mid n$ ), являются стационарными, так как зависимость от $t$ входит в вих лишь через несущественный фазовый множитель.

Особенно наглядно динамика квантового осциллятора описывается в терминах операторов $a$ и $a^{*}$. Замечая, что $\mathscr{D}(a)$ является инвариантным подпространством $V_{t}$, положим
\[
a(t)=V^{*} a V_{t}, \quad a(t)^{*}=V^{*} a^{*} V_{t}
\]

Тогда прямой подсчет показывает, что
\[
a(t)=e^{-i \omega t} a, \quad a(t)^{*}=e^{i \cot a^{*}} .
\]

Формулы, определяющие операторы $a, a^{*}$ через $p$ и $q$. аналогичны формулам, определяющим комплексную амплитуду классического осциллятора через импульс и координату, а уравнения (10.10) аналогичны уравнениям для комплексных амплитуд классического осциллятора. Выражая p и $q$ через $a$ и $a^{*}$ по формулам (справедливым по крайней мере на $\mathscr{O}(\mathrm{R})$ )
\[
p=\frac{a-a^{*}}{2 l} \sqrt{2 \hbar_{\omega}}, \quad q=\frac{a+a^{*}}{2} \sqrt{\frac{2 \overline{2}}{\omega}} .
\]

получаем для $p(t)=V^{*} p V_{t}, q(t)=V_{t}^{t} q V_{t}$ :
\[
p(t)=p \cos \omega t-\omega q \sin \omega t, \quad q(t)=q \cos \omega t+\frac{p}{\omega} \sin \omega t,
\]

т. е. соотношения, аналогичные решениям уравнений движения классического осциллятора *).

Важную роль в теории классического осциллятора играет понятие фазы $\theta$, которая определяется из соотношения $a=|a| e^{t \theta}$, где $a$ — комплексная амплитуда. Рассмотрим вопрос об описании фазы гармонического осциллятора в квантовой теории. Для операторов рожденияуниттожения имеют место легко проверяемые формулы **)
\[
a=P|a|, \quad a^{*}=|a| P^{*},
\]

где $|a|=\sqrt{a^{*} a} \equiv \sqrt{N}$, а операторы $P, P^{*}$ определяются соотношениями
\[
\left.\left.P(0)=0, \quad P(n)=(n-1), \quad P^{*} \mid n\right)=\mid n+1\right) .
\]

Испольуя (10.8), можно получить матричное представление
\[
\left.P=\sum_{n=1}^{\infty} \mid n-1\right)\left(n\left|, \quad P^{*}=\sum_{n=1}^{\infty}\right| n\right)(n-1 \mid .
\]

Операторы $P, P^{*}$ являются ограниченными, взаимно сопряженными и удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\left.P^{*} P=\mathrm{I}-\mid 0\right)\left(0\left|, \quad P P^{*}=\mathrm{I}, \quad\left[P, P^{*}\right]=\right| 0\right)(0 \mid, \\
{[P, N]=P, \quad\left[P^{*}, N\right]=-P^{*} .}
\end{array}
\]

Используя соотношение $\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{9 \pi} e^{\left(n-n^{\prime}\right) \theta} d \theta=\delta_{n n^{\prime}}$, можно написать
\[
P=\int_{0}^{2 \pi} e^{i \theta} M(d \theta), \quad P^{*}=\int_{0}^{2 \pi} e^{-i \theta} M(d \theta),
\]

где $M(d \theta)$ — неортогональное разложение единицы, определяемое символическими матричными элементами
\[
\left(n|M(d \theta)| n^{\prime}\right)=e^{f\left(n-n^{\prime}\right) \theta} \frac{d \theta}{2 \pi},
\]
*) Способ звписи дивамических уравнений, при котором во времени меняются не состояния, а наблюдаемые, называется кхартиной (представленнем) Гейзевбергаз.
*4) Эти формулы дают так вазываемое полярное разложение одераторов $a$ घ $\mathbf{a}^{\circ}$, т. е. $\left(n|M(B)| n^{\prime}\right)=\int_{B} e^{l\left(n-n^{\prime}\right) \theta} \frac{d \theta}{2 \pi}, B \subset$ et $([0,2 \pi))$. Покажем, что $M(d \theta)$ можно ассоциировать с измерением параметра фазы гармонического осциллятора.

Параметр фазы гармонического осциллятора аналогичен параметру времени, измерения которого рассматривались в предыдущем параграфе, однако энергия осциллятора $E=\hbar \omega\left(N+\frac{1}{2}\right)$ принимает дискретный, а не непрерывный ряд значений. Рассмотрим семейство состояний
\[
S_{\theta}=e^{i N \theta} S_{e}-i N \theta,
\]

где $N$-оператор числа квантов. Параметр $\theta$ в семействе (10.14) естественно назвать параметром фазы осциллятора. Так как собственные значения оператора $N$-целые, то $e^{i N \theta}=e^{i N(\theta+q k \pi)}$, так что естественной областью значений параметра фазы является интервал $[0,2 \pi$, а о отображение $\theta \rightarrow e^{I_{N \theta} \theta}$ задает унитарное представление группы сдвигов этого интервала по модулю $2 \pi$.

Разложение единицы (10.13) по построению удовлетворяет условию ковариантности
\[
e^{-i N \theta} M(B) e^{i N \theta}=M\left(B_{-\theta}\right),
\]

где $B_{-\theta}-$ сдвиг множества $B \subset[0,2 \pi)$ по модулю $2 \pi$. Поэтому $P$ называется коператором фазы», а $M(d \theta)$ ассоциируется с измерением фазы. Назовем его каноническим измерением фазы.

Фаза и число квантов являются сопряженными величинами, подобно координате и импульсу или времени и энергии. Группа унитарных операторов $\left\{e^{N N \theta} ; 0 \leqslant \theta<2 \pi\right\}$ и дискретная полугруппа $\left\{P^{n} ; n=0,1, \ldots\right\}$ связаны коммутационными соотношениями
\[
\begin{array}{c}
e^{-i \theta N} P^{n} e^{i \theta N}=e^{i \theta n} P^{n}, \quad P^{n} e^{i N \theta}\left(P^{*}\right)^{n}=e^{i \theta n} e^{i N \theta} ; \\
0 \leqslant \theta<2 \pi, \quad n=0,1, \ldots,
\end{array}
\]

которые можно рассматривать как дискретный аналог соотношений (9.8) для времени — энергии,

Как и с наблодаемой времени, с наблюдаемой фазы можно связать свое представление; оно состоит из функций вида
\[
\Psi(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-i n \theta}(n \mid \psi) ; \quad 0 \leqslant \theta<2 \pi .
\]

Таким образом, пространство фазового представления есть класс Харди $\mathscr{\mathscr { K }}^{9}$ для единичного круга.

Мы видели, что различным квантовым физическим величинам, в том числе и таким, которые не задаются самосопряженными операторами, отвечают представления канонического коммутационного соотношения в различных функциональных пространствах. Согласно теореме Стоуна — фон Неймана, все этк представления унитарно эквивалентны; переходы между различными представлениями описываются соответствующими ядрами. В силу этого выбор представления в конечном счете не играет существенной роли; все, что можно получить в одном представлении, переводится на язкк другого и в принципе может быть получено чисто алгебраически из канонического коммутационного соотношения. Однако правильный выбор представления, адекватного конкретной задаче, часто позволяет упростить выкладки и получить результат кратчайшим и навболе естественным путем.