В основе теоретической модели реального явления или объекта лежат в конечном счете данные опыта; совокупность всевозможных экспериментов вместе с полным описанием их результатов образует костов» всякой теоретической модели. Рассмотрим схематизированное
Рис. 1.

описание произвольного эксперимента и проследим, как отсюда возникают основные элементы теоретической модели.

Во всяком эксперименте можно выделить две основные стадии. В первой стадии, стадии приготовления, фиксируется определенная экспериментальная ситуация, т. е. устававливаются исходные условия, задаются «водные данные» эксперимента. В следующей стадии измерения о определенным образом кприготовлевный объект воздействует на тот или иной измерительный прибор, результатом чего в каждом индивиду. альном эксперименте являются те или иные квыходные данные (рис. 1).

Важнейшим условием, которому должен удовлетворять всякий ваучный эксперимент, является условие воспроизводимости, возможности неограниченного повторения данного измерения в данной экспериментальной ситуации. Рассмотрим последовательность одинаковых и независимых повторений некоторого эксперимента. Результаты подобных индивидуальных экспериментов, как правило, не будут строго одинаковы. Практически всегда получаемые результаты подвержены случайному разбросу, амплитуда которого варьируется в зависимости от характера эксперимента и природы исследуемого объекта. Наличие ошибок измерения является объективным фактом, мимо которого не может пройти ни одна разумная теория эксперимента.

Существуют, однако, обширные классы явлений, для которых разброс экспериментальных результатов оказывается настолько несущественным, что его вообще можно не принимать в расчет. Это относится, например, к механическому поведению макроскопических объектов или к процессам, протекающим в электрических цепях. Соответствующие теории – классическая механика и теория электрических цепей – исходят из предпосылки, что возможно сколь угодно точное, в идеале – абсолютно точное измерение параметров, характеризующих поведение объекта. В таких случаях говорят, что объект допускает детерминированное описание. Подчеркнем, что детерминированное описание обычно является лишь некоторым приближением к реальности, справедливым лишь постольку, поскольку оно согласуется с данными опыта.

Плодотворность детерминистических представлений в классической теоретической физике $18-19$ вв. породила иллюзию универсальности детерминированного описания. Однако по мере проникновения экспериментальной физики в область явлений микромира становилась все более ясной неприменимость в этой области детерминированного описания, заимствованного из классической механики, и необходимость привлечения статистических концепций. Характерный пример ситуации, в которой приходится существенно учитывать разброс результатов измерения, дают эксперименты по рассеянию частиц. В подобных экспериментах невозможно точно предсказать, в каком направлении рассеется данная частица,-можно лишь говорить о вероятности рассеяния в том или ином направлении. Можно было бы привести целый ряд других примеров, однако заинтересованный читатель легко найдет их в курсах квантовой физики. В настоящее время необходимость статистического описания микромира можно считать общепризнанной.

Говоря о возможности статистического описания, мы подразумеваем, что рассматриваемое явление удовлетворяет следующему фундаментальному требованию, включающему в себя условие воспроизводимости, которое для удобства ссылок мы будем называть статистиqеским постулатом: всякий эксперимент допускает в принциле кеограниченкое число повторенид; индивидуальные результаты в последовательности одинаковых, независимых экспериментов могут быть различны, однако появление того или иного результата в достаточно длинной последовательности характеризуется определенной частотой (устойчивость частот). Тогда, абстрагируясь от практической невозможности произвести неограниченную последовательность одинаковых экспериментов, можно принять, что результаты эксперимента допускают теоретическое описание в виде вероятностей тех или иных исходов. Точнее говоря, следует различать понятия индивидуального эксперимента, результатом которого являются конкретные данные, и эксперимента как совокупности всевозможных индивидуальных реализаций. Понимая эксперимент именно в этом смысле, естественно считать его конечным результатом распределение вероятностей. При этом детерминированная зависимость результатов эксперимента от входных данных уступает место статистической: функцией входных данных является распределение вероятностей peзультатов измерения.

Примером эксперимента как совокупности индивидуальных реализаций являютсх распространенные в физике наблюдения над пучками идентичных, независимых частиц. Предположим, что для регистрации частиц, рассеянных на некотором препятствии, используется экрандетектор, попадание в который индивидуальной частицы вызывает, например, почернение фотоэмульсии. Тогда в результате экспозиции достаточно интенсивного пучка частиц на экране образуется некоторое распределение темных и светлых пятен, которое по существу дает представление о плотности распределения вероятностей попадания индивидуальной частицы. Хорошо известные из оптики дифракционные картины, образующиеся при рассеянии естественного света (который есть не тто иное, как хаотический поток огромного числа фотонов), дают визуальное представление плотности распределения вероятностей для индивидуального фотона.

Разумеется, статистическое описание не является прерогативой явлений микромира. При исследовании физических объектов, состоящих из огромного числа частиц, таких как газы, жидкости или кристаллы, экспериментатор имеет возможность варьировать по своему произволу лишь весьма ограниченное число входных данных – таких как объем, давление, температура. Orромное количество переменных, характеризующих подробности поведения составных частей системы, остается вне контроля исследователя; их неконтролируемые изменения могут оказывать влияние на индивидуальные результаты измерений, вызывая флуктуации, учет которых имеет существенное значение для понимания механизма явлений, происходящих в таких больших системах. Статистика наблюдений играет важнейшую роль в вопросах передачи информации, где флуктуации параметров физического носителя информации являются источником разного рода кшумов», искажающих сообщение.

Подобная ситуация может иметь место и в биологических исследованиях. Например, проводя апробацию какого-либо метода лечения, исследователь располагает лишь ограниченным набором «входных данных», характеризующих его пациентов (возраст, пол, группа крови и т. п.). Однако эффект лечения в каждом индивидуальном случае будет определяться, вообще говоря, не только этими «интегральными» параметрами, но и целым рядом других, неучтенных либо не поддающихся учету внутренних факторов. Таким образом, эффект лечения, или, на нашем языке, «результат измерения», не является, вообще говоря, однозначной функцией известных данных пациента; в таких случаях статистический подход бывает весьма уместным и плодотворным.

На этих двух примерах мы видели, что источником случайного разброса в результатах измерения может
быть неопределенность значений некоторых «схрытых переменных», находящихся вне контроля экспериментатора. Природа статистичности поведения объектов микромира не столь ясна, хотя пятидесятилетний опыт успешного применения статистических концепций в квантовой теории несомненно свидетельствует о том, что они дают правильную картину.

Мы не будем затрагивать здесь вопроса о природе статистичности в микрофизике, хотя и коснемся некоторых математических аспектов соответствующей «проблемы скрытых переменных» в 7 . Основное внимание мы уделим здесь следствиям сформулированного выше статистического постулата для произвольного объекта, удовлетворяющего этому требованию. Мы покажем, что уже на таком общем уровне возникают фундаментальные понятия состояния и измерения, играющие, в частности, столь важную роль в квантовой теории.

Условно представим себе объект как кчерный ящик», на «входе» которого могут создаваться те или иные исходные условия $\tilde{\mathcal{S}}$. После того как объект приготовлен определенным образом, экспериментатор производит то или иное измерение и получает данные и. Выходные данные $u$ могут иметь различный характер. Они могут быть дискретными, например, в том случае, когда измерительный прибор является пороговым устройством, регистрирующим наличие или отсутствие определенной частицы, либо непрерывными, если прибор имеет шкалу или несколько шкал. Выходными данвыми могут быть показания нескольких приборов. Наконец, результатом измерения может быть целая траектория – фотография следа частицы. Чтобы дать единообразное рассмотрение всевозможных ситуаций, мы примем, что множество индивидуальных результатов изнерения образует некоторое измеримое пространство $U$ с о-алгеброй измеримых подмножеств е $\mathcal{t}(U)$. Измеримому подмножеству $B \subset U$ соответствует событие: результат измерения $и$ лежит в $B^{*}$ ).
\”) Читатель, не знакомый с вондепцией измернмости, может условно представлять себе $U$ как область в многомерном пространстве, а $B$-как ждостаточно хорошее подмножество $U$. Однако у нас $U$ может быть гораздо более сложным образованнем – например, пространством непрерывных функций.

Согласно статистическому постулату, результат индивидуального эксперимента можно рассматривать как реализацию некоторой случайной величины, принимающей значения в $U$. Пусть $\mu_{\xi}(d u)$ – распределение вероятностей этой случайной величины. Индекс $\hat{S}$ отражает зависимость статистики результатов измерения от процедуры приготовления, т. е. от исходных условий эксперимента, так что
\[
\mu_{\mathcal{S}}(B)=\operatorname{Pr}\{u \in B \mid S\}, \quad B \in \mathcal{A}(U),
\]

есть условная вероятность получить результат $u \in B$ при исходных условиях $\mathcal{S}$. Можно сказать, что полное статистическое описание результатов измерения дается отображением $\tilde{S} \rightarrow \mu_{S}(d u)$, сопоставляющим конкретным исходным условиям $\tilde{\mathcal{S}}$ распределение вероятностей $\mu_{\xi}$ на пространстве $U$ результатов измерения. При этом следует подчеркнуть, что, давая полное описание результатов измерения, отображение $\tilde{S} \rightarrow \mu_{\xi}$ не содержит никаких указаний ни о конкретном механизме измерения, ни о его последствиях для рассматриваемого объекта. С этой точки зрения измерительные процедуры не различаются, если для любых исходных условий $\tilde{S}$ они приводят к одному и тому же распределению вероятностей $\mu_{s}$, хотя практически они могут осуществляться совершенно различными приборами. Каждой конкретной измерительной процедуре отвечает отображение $\tilde{S} \rightarrow \mu_{\tilde{S}}$, однако одно такое отображение может объединять в себе целый класс измерительных процедур, не различающихся статистикой результатов.

Точно так же исходные условия $\tilde{S}_{1}$ и $\tilde{S}_{2}$ являются неразличимыми с точки зрения статистики результатов измерения, если $\mu_{\xi_{1}}=\mu_{\xi_{3}}$ для любого отображения $S \rightarrow$ $\rightarrow \mu_{s}$, описывающего измерительную процедуру. Объединим неразличимые процедуры приготовления $\tilde{\mathcal{S}}$ в классы эквивалентности $S=[\tilde{S}]$, которые назовем состоян ия ми. Пусть $\mathscr{E}=\{S\}$ – множество всевозможных состояний. Поскольку распределение вероятностей $\mu_{s}$ одинаково для всех $S$ из одного класса $S$, то его можно считать функцией состояния $\mu_{\tilde{S}}=\mu_{s}$. Отображение $S \rightarrow \mu_{s}$ из множества состояний в множество распределений вероятностей на пространстве результатов $U$ будем называть измеревием.

Статистический постулат налагает определенное ограничение на структуру множества состояний ( и описывающее измерениеотображение $S \rightarrow \mu_{s}$. Пусть $S_{\alpha}, \alpha=1, \ldots$ …, $A$, – какие-либо состояния. Предположим, что экспериментатор не знает точно, в каком из этих состояний приготовлен объект, однако ему известны вероятности $p_{\alpha}$ того, что приготовленным состоянием является $S_{\alpha} \alpha=$ $=1, \ldots, A$. Фактически это означает, что в неограниченной последовательности индивидуальных экспериментов объект приготавливается в одном из состояний $S_{\alpha}$, причем появление состояния $S_{\alpha}$ характеризуется соответствующей частотой. Физически это соответствует флуктуациям тех или иных параметров, характеризующих приготовительную процедуру. Пусть в каждом из индивидуальных экспериментов производится одно и то же измерение. Тогда согласно статистическому постулату и элементарным свойствам вероятностей появление того или иного результата $\boldsymbol{u}$ будет описываться распределением вероятностей $\mu(d u)=\sum_{\alpha} p_{\alpha} \mu s_{\alpha}(d u)$. Описанную выше ситуацию можно рассматривать как определенный способ приготовления состояния (смешивание), при котором значение некоторого параметра $\alpha$ не фиксируется точно, а выбирается согласно априорному распределению $\left\{p_{\alpha}\right\}$. Обозначим такое состояние-смесь следующим образом:
\[
S=S\left(\left\{S_{\alpha}\right\},\left\{p_{\alpha}\right\}\right),
\]

так что для любого измерения $S \rightarrow \mu_{S}$ выполняется
\[
\mu_{S}(d u)=\sum_{\alpha} p_{\alpha} \mu_{s_{\alpha}}(d u) .
\]

Таким образом, следует принять, что для каждого набора состояний $\left\{S_{\alpha}\right\} \subset \mathcal{O}$ и распределения вероятностей $\left\{p_{\alpha}\right\}$ существует однозначно определенное состояниесмесь $S\left(\left\{S_{\alpha}\right\},\left\{p_{\alpha}\right\}\right)$, характеризуемое соотношениями (1.2). Оказывается, что тогда мможсество состояний можно естественно отождествить с выпуклькм подмнохсеством некоторого линейного пространства, так ито будет выполняться
\[
S\left(\left\{S_{\alpha}\right\},\left\{p_{\alpha}\right\}\right)=\sum_{\alpha} p_{\alpha} S_{\alpha} .
\]

Для точной формулировки этого и ряда других утверждений нам потребуются сведения из теории выпуклости, изложению которых посвящается следующий параграф.