Выше были получены две существенно различные границы для среднеквадратичного отклонения. В этом разделе мы постараемся раскрыть механизм ситуации и полуqим общее неравенство, из которого эти границы вытекают как частные случаи.

Рассмотрим семейство состояний $\left\{S_{0}\right\}$, где $\theta=\left[\theta_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, \theta_{n}\right]$-многомерный параметр. Мы будем предполагать, что это семейство удовлетворяет условиям 1), 2) из § 5 . Все наши рассмотрения будут носить локальный характер, т. е. относиться к фиксированной точке $\theta_{0}$. Поэтому мы условимся всюду опускать индекс $\theta_{0}$; например, будем писать $S$ вместо $S_{\theta_{0}}$, будем также писать $\langle\cdot, \cdot\rangle_{s}$ вместо $\langle\cdot, \cdot\rangle_{s_{0}}$, и т. п. В частности, симметричные логарифмические производные в точке $\theta_{0}$ будут обозначаться $L_{j} ; j=1, \ldots, n$.

Мы будем рассматривать измерения $M\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ параметра ө с конечным вторым моментом относительно состояния $S$, удовлетворяющие условию локальной несмещенности.
Полагая
\[
X_{j}=\int\left(\hat{\theta}_{j}-\theta_{0 j}\right) M\left(d \hat{\theta}_{1} \ldots d \hat{\theta}_{n}\right) \equiv X_{M}^{\prime}-\theta_{0 j},
\]

запишем условие локальной несмещенности в виде (5.6):
\[
\left\langle L_{f}, X_{k}\right\rangle_{s}=\delta_{j k} ; \quad j, k=1, \ldots, n .
\]

Мы будем существенно использовать одно общее неравенство для измерений с конечными вторыми моментами. Пусть $\boldsymbol{B}\{M\}=\left[b_{j k}\{M\}\right]$ — матрица ковариаций такого измерения. Тогда
\[
B\{M\} \geqslant\left[\left\langle X_{f}, X_{k}\right\rangle_{s}^{+}\right] \equiv\left[\left\langle X_{f}, X_{k}\right\rangle_{s}\right] \pm \frac{i}{2}\left[\left[X_{j}, X_{k}\right]_{s}\right] .
\]

Это неравенство вытекает из (II.9.7), если положить $f(\theta)=\sum_{j} c_{j} \theta_{j}$, где $c_{j}$ — произвольные комплексные числа. Положим
\[
x_{j k}=b_{j k}\{M\}-\left\langle X_{j}, X_{k}\right\rangle_{s} .
\]

Тогда неравенство (7.3) примет вид
\[
\left[x_{j k}\right] \geqslant \pm \frac{i}{2}\left[\left[X_{j}, X_{k}\right]_{s}\right] .
\]

Среднеквадратичное отклонение в этих обозначения х равно
\[
\Sigma\{M\}=\sum_{j, k} g_{j k} b_{j k}\{M\}=\sum_{j, k} g_{j k}\left[x_{j k}+\left\langle X_{j}, X_{k}\right\rangle_{s}\right] .
\]

Характеризующие измерение переменные $X_{j} \in \mathscr{L}_{h}^{2}(S)$ и вещественная симметричная матрица $\mathbf{K}=\left[x_{j k}\right]$ подчинены двум ограничениям (7.2) и (7.5). Мы получим нижнюю границу для среднеквадратичного отклонения, найдя минимум өыражсения (7.6) по всевозможным $X_{j} ; j=1, \ldots$ $\ldots, n, u \mathbf{K}=\left[x_{j k}\right]$, удовлетворяющим ограничениям (7.2), (7.5). Эrа граница будет достижимой, если минимизирующие ее значения $X_{j}^{*} ; j=1, \ldots, n,\left[x_{j n}^{*}\right]$ соответствуют некоторому измерению по формулам (7.1), (7.4).

Наши дальнейшие рассуждения опираются на следующую лемму.

Лемма 7.1. Элементы $X_{j} \in \mathscr{L}_{h}(S) ; j=1, \ldots, n$, и симметричная вещєственная матрица $\left[x_{j k}\right.$ ] удовлетворяют условию (7.5) тогда и только тогда, когда существуют элементы $Y_{j} \in \mathscr{L}_{h}^{2}(S) ; j=1, \ldots, n$, и симметричный̈) оператор $₹$ в $\mathscr{L}_{h}^{*}(S)$ такие, что
1) $X_{j}=8 Y_{j} ; j=1, \ldots, n$;
2) $x_{j k}=\left\langle Y_{j}, \delta(I-8) Y_{k}\right\rangle_{s} ; j, k=1, \ldots, n$;
3) $\mathcal{F} \geqslant \mathcal{F}\left(I \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) \xi$ в $\mathscr{L}^{2}(S)$, где $\mathcal{F}$-комплекснолинейное продолжение исходного оператора из $\mathscr{L} h(S)$ в $\mathscr{L}^{2}(S)$.

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть $\mathscr{L}$ — подпространство $\mathscr{L}_{h}(\mathcal{S})$, порождаемое элементами $X_{i}$ $j=1, \ldots, n$. Введем симметричный оператор $\Re$ в $\mathscr{L}$ операторы в вещественном гильбертовом пространстве $\mathscr{L}_{h}(S)$. Всякий такой оператор $\mathfrak{A}$ продолжается до эрмитова оператора в комплексном гильбертовом пространстве $\mathscr{L}^{2}(S)$ по формуле $\mathfrak{A}\left(X_{1}+i X_{2}\right)=\mathfrak{x} X_{1}+$ $+i * X_{2} ; X_{1}, X_{2} \in \mathscr{L}_{h}(S)$.

—————————————————————-
0015ru_fiz_kvan_book29_no_photo_page-0294.jpg.txt

57] ГРАНИЦА ДЛЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ
293
по формуле
\[
\left\langle X_{j}, \Re X_{k}\right\rangle_{S}=x_{j k} .
\]

Тогда неравенство (7.4) можно записать в форме
\[
\langle Y, \mathfrak{R} Y\rangle_{s} \geqslant \pm \frac{i}{2}\langle Y, \mathfrak{D} Y\rangle_{s}, \quad Y \in \mathscr{L} \oplus i \mathscr{L} .
\]

Определим симметричный оператор 8 в $\mathscr{L}_{h}(S)$, полагая
\[
\mathcal{F}=\left\{\begin{array}{cl}
(\mathrm{I}+\Re)^{-1} & \text { на } \mathscr{L}, \\
0 & \text { на } \mathscr{L}_{h}^{2}(S) \ominus \mathscr{L} .
\end{array}\right.
\]

Полагая $Y_{j}=(I+\Omega) X_{j}$, имеем $X_{j}=8 Y_{j}$ и
\[
x_{j k}=\left\langle X_{j}, \Re X_{k}\right\rangle_{s}=\left\langle Y_{j}, 8 \Re ₹ Y_{k}\right\rangle_{S}=\left\langle Y_{j}, 8(I-8) Y_{k}\right\rangle_{s},
\]

так что условия 1), 2) выполнены и остается проверить 3).
Учитывая, что для построенного выше оператора і вектор $\mathfrak{\delta} X, X \in \mathscr{L}_{h}(S)$, всегда лежит в $\mathscr{L}$, подставим в (7.7) $Y=₹ X, X \in \mathscr{L}^{2}(S)$. Используя получающееся неравенство, имеем

что и требовалось.
Докажем достаточность. Пусть 8 и $Y_{j} ; j=1, \ldots, n$, удовлетворяют условиям леммы. Соотношение (7.5), которое надо доказать, запишется в виде
\[
\begin{array}{l}
{\left[\left\langle Y_{j}, \mathcal{8}(I-8) Y_{k}\right\rangle_{S}\right] \geqslant \pm \frac{i}{2}\left[\left[\delta Y_{j}, 8 Y_{k}\right]_{s}\right] }= \\
= \\
= \pm \frac{i}{2}\left[\left\langle Y_{j}, \mathcal{f D} Y_{h}\right\rangle_{S}\right] .
\end{array}
\]

Достаточно доказать, что
\[
8(I-8) \geqslant \pm \frac{i}{2} 8 D 8,
\]

но это равносильно условию 3). Лемма доказана.
Подставляя теперь соотношения 1), 2) в (7.6), получаем
\[
\Sigma\{M\}=\sum_{j, k} g_{j k}\left\langle Y_{j}, 8 Y_{k}\right\rangle_{s} .
\]

Остается минимизировать это выражение по всем $Y_{i} \in$ $\in \mathscr{L}_{h}^{*}(S) ; j=1, \ldots, n$, удовлетворяющим условию
\[
\left\langle L_{j}, \delta Y_{h}\right\rangle=\delta_{j h}
\]

которое равносильно условию локальной несмещенности, и по всем симметричным $₹$ в $\mathscr{L} h(S)$, удовлетворяющим условию 3).
Заметим, что оператор 8 положителен, точнее,
\[
0 \leqslant 8 \leqslant I \text {. }
\]

В самом деле, складывая соотношение 3), отвечающее знаку + , с соотношением, отвечающим знаку -, получаем $8 \geqslant 8^{2}$ или $8(I-8) \geqslant 0$, что равносильно (7.10). Поэтому симметричная билинейная форма $\langle X, 8 Y\rangle_{S}$ на $\mathscr{L}_{h}(S)$ является положительно определенной и определяет псевдоскалярное произведение (т. е. произведение, скалярный квадрат которого может обращаться в нуль для ненулевого вектора $X$ ).

Найдем сначала минимум выражения (7.8) по всем $Y_{f}$; $j=1, \ldots, n$, удовлетворяющим условию (7.9). Прежде всего заметим, что для данного 8 хотя бы один набор $Y_{j} ; j=1, \ldots, n$, удовлетворяющий (7.9), существует тогда и только тогда, когда матрица
\[
\boldsymbol{F}=\left[\left\langle L_{l}, 8 L_{k}\right\rangle_{s}\right]
\]

невырождена; это есть просто необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов $L_{j} ; j=1, \ldots, n$, относительно псевдоскалярного произведения $\langle X, \ddot{8} Y\rangle_{s}$. Поэтому мы должны предположить, что 8 удовлетворяет этому условию. Тогда по лемме 5.1
\[
\left[\left\langle Y_{l}, 8 Y_{k}\right\rangle_{s}\right] \geqslant\left[\left\langle L_{l}, 8 L_{k}\right\rangle_{s}\right]^{-1}=F^{-1},
\]

причем равенство достигается при

Таким образом,
\[
\left[\begin{array}{c}
Y_{1} \\
\vdots \\
Y_{n}
\end{array}\right]=F^{-1}\left[\begin{array}{c}
L_{1} \\
\vdots \\
L_{n}
\end{array}\right] .
\]
\[
\boldsymbol{\Sigma}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \inf \operatorname{Tr} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{F}^{-1},
\]

где нияняя грань берется по симметричным операторам ₹ в $\mathscr{L}{ }_{2}(S)$, удовлетворяющим условию 3) леммы 7.1.

Если эта нижняя грань достигается на операторе 8 *, то соответствующие оптимальные векторы $X_{f}^{f} ; j=1, \ldots$…

$\ldots, n$, и матрица $\mathbf{K}_{*}=\left[x_{j k}^{*}\right]$ в (7.6) даются выражениями
\[
\left[\begin{array}{c}
X_{*}^{*} \\
\vdots \\
X_{n}^{*}
\end{array}\right]=F_{*}^{-1}\left[\begin{array}{c}
8_{*} L_{1} \\
\vdots \\
\delta_{*} L_{n}
\end{array}\right], \mathrm{K}_{*}=F_{*}^{-1}\left[\left\langle L_{j}, \mathcal{F}_{*}\left(I-\mathcal{B}_{*}\right) L_{k}\right\rangle_{s}\right] F_{*}^{-1},
\]

где $F_{*}=\left[\left\langle L_{j}, \xi_{*} L_{k}\right\rangle s\right]$. Ниже мы сможем найти оптимальный оператор $\mathfrak{F}_{*}$ в одном частном случае, а сейчас выясним, в каком отношении к неравенству (7.11) находятся границы (5.7) и (6.16).
Из второго неравенства (7.10) вытекает, что
\[
F=\left[\left\langle L_{j}, \hat{\imath} L_{k}\right\rangle s\right] \leqslant\left[\left\langle L_{j}, L_{k}\right\rangle_{s}\right]=J .
\]

Отсюда $F^{-1} \geqslant J^{-1}$ и мы получаем неравенство (5.7), отвечающее симметричной логарифмической производной.

Чтобы получить неравенство (6.16), заметим, что условие 3) леммы 7.1 может быть записано в виде
\[
0 \leqslant\left(I \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) \mathfrak{F}\left(\mathrm{I} \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) \leqslant\left(\mathrm{I} \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) .
\]

В самом деле, умножая неравенство 3) справа и слева на $\sqrt{1 \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}}$, получаем
\[
\left(\sqrt{\mathrm{I} \pm \frac{i}{2}} \mathfrak{D} F \sqrt{\mathrm{I} \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}}\right)^{2} \leqslant \sqrt{\mathrm{I} \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}} 8 \sqrt{\mathrm{I} \pm \frac{l}{2} \mathfrak{D}}
\]

откуда $0 \leqslant \sqrt{\mathrm{I} \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}} 8 \sqrt{\mathrm{I} \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}} \leqslant \mathrm{I}$. Вновь умножая справа и слева на $\sqrt{\mathrm{I} \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}}$, получаем (7.12).
Вспоминая формулу (6.5), имеем
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{F}=\left[\left\langle\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) \tilde{L}_{j}, \mathcal{E}\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) \tilde{L}_{k}\right\rangle_{s}\right] \leqslant \\
\leqslant\left[\left\langle\tilde{L}_{j},\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) \tilde{L}_{k}\right\rangle_{s}\right]=\boldsymbol{J},
\end{array}
\]

так что $\boldsymbol{F}^{-1} \geqslant \tilde{\boldsymbol{F}}^{\mathbf{1}}$, и мы получаем неравенство, отвечающее правой логарифмической производной.

Покажем, что в случае, когда пространство $\mathscr{L}$, порожденне симметричными логарифмическими производными $L_{f}$; $j=1, \ldots, n$, инвариантно относительно коммутационного оператора $\mathfrak{D}$ состояния $S$, неравенство (7.11) совпадает с границей (6.17). Для этого мы докажем утверждение, которое понадобится и в дальнейшем.

Предложение 7.1. Пусть $\mathfrak{2}$-замкнутое инвариантное подпространство оператора $\mathfrak{D}$, содержащее симметричные логарифмические производные $L_{j} ; j=1, \ldots, n$. Тогда ниэняя грань в (7.11) не изменится, если считать операторы $\mathfrak{F}$, D действующими не в $\mathscr{L}_{h}^{2}(\mathcal{S})$, а в $\mathfrak{P}$.

Доказательство. Достаточно показать, что всякому оператору 8 , удовлетворяющему условию 3) леммы 7.1, отвечает оператор $\mathfrak{F}_{\mathfrak{N}}$ в $\mathfrak{M}$, удовлетворяющий условию
\[
\mathfrak{F}_{\mathfrak{M}}\left(I \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}_{\mathfrak{M}}\right) \mathfrak{F}_{\mathfrak{M}} \leqslant \wp_{\mathfrak{M}}
\]

где $\mathfrak{D}_{\mathfrak{M}}$ — ограничение оператора $\mathfrak{D}$ на $\mathfrak{M}$ (т. е. $\mathfrak{I}_{\mathfrak{M}}=$ $=E D E$, где $E$-проектор на $\mathfrak{M}$ ), и такой, что
\[
\left\langle L_{j}, \mho L_{k}\right\rangle_{s}=\left\langle L_{j}, \mho_{m} L_{k}\right\rangle_{s},
\]

и, обратно, такому $\mathfrak{F}_{\mathfrak{M}}$ соответствует $₹$.
Пусть 8 удовлетворяет условию 3), которое нам удобно записать в виде (7.14). Пусть $E$ — проектор на $\mathfrak{M}$; тогда $E$ коммутирует с $\mathfrak{D}$. Умножая (7.14) справа и слева на $E$ и полагая $\mathfrak{F}_{\mathfrak{R}}=E \mathfrak{F} E$, получаем
\[
0 \leqslant\left(I \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}_{\mathfrak{M}}\right) \mathscr{F}_{\mathfrak{N}}\left(I \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}_{\mathfrak{N}}\right) \leqslant I \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}_{\mathfrak{N}},
\]

что равносильно (7.14). Условие (7.15) при этом выполняется, так как $E L_{j}=L_{j} ; j=1, \ldots, n$.

Обратно, если $\delta \mathfrak{R}$ — оператор в $\mathfrak{M}$, удовлетворяющий условию (7.14), которое можно записать в виде (7.16), то, продолжая его нулем на ортогональное дополнение к $\mathfrak{M}$, получаем оператор $\mathfrak{F}$, удовлетворяющий всем необходимым условиям.

Если теперь $\mathscr{L}$ является инвариантным подпространством $\mathfrak{D}$, то можно считать, что оператор $\bar{\delta}$ действует в $\mathscr{L}$. В базисе $L_{j} ; j=1, \ldots, n$, операторам $\mathfrak{F}, I \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}$ отвечают матрицы $J^{-1} F, J^{-1}\left(J \pm \frac{i}{2} D\right)$, поэтому условие (7.14) в матричной форме принимает вид
\[
F^{-1}\left(J \pm \frac{i}{2} D\right) J^{-1} F \leqslant F
\]

или, учитывая невырожденность матрицы $\boldsymbol{F}$,
\[
F^{-1} \geqslant J^{-1} \pm \frac{i}{2} J^{-1} D J^{-1}
\]

Тогда (7.11) равносильно неравенству
$\boldsymbol{\Sigma}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \min \left\{\boldsymbol{T r} \boldsymbol{G} \boldsymbol{F}^{-1}: \boldsymbol{F}^{-\mathbf{1}}\right.$ вещественная симметричная и
\[
\left.F^{-1} \geqslant J^{-1} \pm \frac{i}{2} J^{-1} D J^{-1}\right\} .
\]

Учитывая лемму 6.1, получаем, что правая часть совпадает с границей (6.17). Оптимальная матрица $\boldsymbol{F}_{*}$ дается формулой
\[
F_{*}^{-1}=J^{-1}+\frac{1}{2} G^{-1} \text { abs }\left(i G J^{-1} D J^{-1}\right) .
\]

Используя (7.12) и учитывая, что
\[
\left[\wp_{*} L_{1}, \ldots, \delta_{*} L_{n}\right]=\left[L_{1}, \ldots, L_{n}\right]^{J^{-1} F_{*}},
\]

получаем
\[
\left[\begin{array}{c}
X_{1}^{*} \\
\vdots \\
X_{n}^{*}
\end{array}\right]=J^{-1}\left[\begin{array}{c}
L_{1} \\
\vdots \\
L_{n}
\end{array}\right], \quad \mathbf{K}_{*}=\frac{1}{2} G^{-1} \text { abs }\left(i G J^{-1} D J^{-1}\right) .
\]

Если найдется измерение $M_{*}\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$, отвечающее таким $X_{j} ; j=1, \ldots, n$, и $\mathbf{K}_{*}=\left[x_{j k}^{*}\right]$ по формулам (7.1) и (7.4), то оно является наилучшим локально несмещенным измерением параметра $\theta$ в точке $\theta_{0}$. Такая ситуация имеет место в гауссовском случае, к рассмотрению которого мы переходим.