Для квантовой механики вяжно обобщение спектральной теоремы на неограниченные операторы. Неограниченные операторы (за несущественным исключением) не могут быть определены на всем пространстве $\mathscr{K}$. Задание неогравиченного оператора всегда подразумевает и описание области его определения. Пусть $X$-оператор с областыо определения $\mathscr{D}(X)$. Он называется симметринным, если соответствующая полуторалинейная форма эрмитова на $\mathscr{D}(\boldsymbol{X})$ :
\[
\left(X_{\varphi} \mid \Psi\right)=(\varphi \mid X \psi) ; \quad \varphi, \Psi \in \mathscr{P}(X) .
\]
Наиболее важным, однако, является понятие самосопряженного оператора. Пусть $X$-оператор с плотной областью определення $\mathscr{D}(X)$. Обозначим через $\mathscr{V}\left(X^{*}\right)$ множество векторов $\varphi$, для которых выражение ( $\varphi \mid X \psi$ ) является непрерывным функционалом от $\psi$. Тогда по лемме Рисса — Фреше $(\varphi, X \psi)=\left(\varphi^{*} ; \psi\right)$, где $\varphi^{*}$ — некоторый вектор, определясмый однозначно, так как $\psi$ пробегает плотное подмножесі во $\mathscr{\mathscr { L }}$. Обозначим $X^{*}$ оператор $\varphi \rightarrow \varphi^{*}$ с областью определения $\mathscr{E}\left(X^{*}\right)$. Он называется сопряженным к $X$. Таким образом,
\[
\left(X^{*} \varphi \mid \psi\right)=(\varphi \mid X \psi) ; \quad \psi \in \mathscr{V}(X), \varphi \in \mathscr{D}\left(X^{*}\right) .
\]
3 частности, $X$-симметричный, если $X \subseteq X^{*}$, т. е. $D(X) \subseteq \mathscr{D}\left(X^{*}\right)$ и $X \psi=X^{*} \psi, \psi \in \mathscr{D}(X)$.

Оператор $X$ с плотной областью определения называется самосопрялсенным, если $X=X^{*}$, т. е. $\mathscr{D}\left(X^{*}\right)=\mathscr{T}(X)$ и выполняется равенство (4.1).

Иногда симметричный оператор $X$ можно расширить до самосопряженного. Если это можно сделать и притом единственным способом, то $X$ называется суцественно самосопрямсенным. Симметричный оператор, не имеющий симметричных расширений, называется максимальным.

В качестве примера рассмотрим оператор $P_{+}=i^{-1} \frac{d}{d x}$ в пространстве $\mathscr{L}^{2}(0, \infty)$ с областью определения
\[
\mathscr{D}\left(P_{+}\right)=\left\{\psi: \psi(0)=0, \int_{0}^{\infty}\left|\frac{d}{d x} \psi(x)\right|^{2} d x<\infty\right\} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left(\varphi \mid P_{+} \psi\right)=i^{-1} \int_{0}^{\infty} \bar{\varphi}(x) \frac{d}{d x} \psi(x) d x=i^{-1} \overline{\varphi(0)} \Psi(0)- \\
-i^{-1} \int_{0}^{\infty} \frac{d}{d x} \overline{\varphi(x)} \Psi(x) d x=\left(P^{*} \varphi \mid \psi\right), \quad \varphi \in \mathscr{G}\left(P_{+}^{*}\right),
\end{array}
\]

где $P_{\psi}^{*}=i^{-1} \frac{d}{d x}$ с областыо определения
\[
\mathscr{D}\left(P_{+}^{*}\right)=\left\{\psi: \int_{0}^{\infty}\left|\frac{d}{d x} \psi(x)\right|^{2} d x<\infty\right\} .
\]

Таким образом, $P_{+} \subset P_{+}^{*}, P_{+}
eq P_{+}^{*}$. Оператор $P_{+}$симметричен, но $P_{+}^{*}$ не симметричен, так как для него слагаемое $i^{-1} \overline{\varphi(0)} \psi(0)$ в формуле типа (4.2) уже будет отлично от нуля. Можно показать, что $P_{+}$максимален.

С другой стороны, оператор $P=i^{-1} \frac{d}{d x}$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$ с областью определения
\[
\mathscr{T}(P)=\left\{\psi: \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{d}{d x} \psi(x)\right|^{2} d x<\infty\right\},
\]

как будет показано ниже, является самосопряженным. Примером существенно самосопряженного оператора может служить сужение этого оператора на финитные бесконечно дифференцируемые функции.

Рассмотрим теперь интеграл типа (3.6), где $E(d \lambda)$ проиявольное ортогональное ралложение единишы на прямой. Теперь нельзя ожидать, чтобы интеграл в правой части (3.8) сходился для всех $\psi \in \mathscr{C}$, однако он заведомо сходится, если $\Psi$ принадлежит подпространству
\[
\mathscr{D}=\left\{\psi: \int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2}(\psi \mid E(d \lambda) \psi)<\infty\right\} .
\]

Можно показать, что $\mathscr{D}$ плотно в $\mathscr{Z}$ и эрмитова форма (3.7) определяет самосопряженный оператор $X$ с $\mathscr{V}(X)=$ $=\mathscr{D}$, так что
\[
\begin{aligned}
(\psi \mid X \psi)=\int \lambda\left(\psi \mid E\left(d^{\lambda}\right) \psi\right), & \psi \in \mathscr{D}, \\
\mid X \psi^{n}=\int \lambda^{2}\left(\psi \mid E\left(d^{2}\right) \psi\right), & \psi \in \mathscr{D} .
\end{aligned}
\]

Последнее равенство показывает, почему должно быть $\mathscr{D}(X)=\mathscr{V}$.

Теорема 4.1 (спектральная теорема для самосопряжевных операторов). Соотношения (4.4), (4.5) устанаяливают взаимно-однозначное соответствие между самосопряменными операторими и ортогональными разлоэсениями единицы в $\mathscr{K}$ (спектральными мерами).

Рассмотрим (неограниченный) оператор $Q$ умножения на $x$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$ с пластью определения $\left\{\psi:\left.\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} i \psi(x)\right|^{2} d x<\infty\right\}$. Для любых $\varphi, \psi \in \mathscr{D}(Q)$ выполняется $(\varphi \mid Q \psi)=\int x \overline{\varphi(x)} \Psi(x) d x=(Q \varphi \mid \psi)$, так что $Q$ симметричен. Для доказательства самосопряженности возьмем $\varphi \in \mathscr{D}\left(Q^{*}\right)$; тогда $\int x \bar{\psi} \psi d x$ является непрерывным функционалом от $\psi$ и по лемме Рисса — Фреше $\int x \Phi \psi d x=$ $=\int h \psi d x$, где $\int|h(x)|^{2} d x<\infty$. Отсюда $h=x \varphi$ и $\int|x \varphi(x)|^{2} d x<\infty$, так что $\varphi \in \mathscr{D}(Q)$ и $\mathscr{D}\left(Q^{*}\right)=\mathscr{D}(Q)$. Рассуждая как в случае конечного интервала в § 3 , находим его спектральную меру
\[
E(B)=1_{B}(x) ; \quad B \in \text { ot }(\mathrm{R}),
\]

или, формально,
\[
E(d \xi)=\mid \xi)(\xi \mid d \xi,
\]
оператора умножения, так что, в обозначениях Дирака,
\[
\left.Q=\int_{-\infty}^{\infty} \xi \mid \xi\right)(\xi \mid d \xi .
\]

В качестве следующего примера рассмотрим самосопряженный оператор $P=i^{-1} \frac{d}{d x}$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$. Этот оператор имеет континуальный набор формальных собственных векторов
\[
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i n x} ; \quad-\infty<\eta<\infty,
\]

удовлетворяющий условиям ортогональности и полноты типа (3.12). Обозначая формальные собственные векторы через $\mid \eta$ ); $-\infty<\eta<\infty$, мы можем ожидать, что $P$ имеет спектральное разложение
\[
\left.P=\int_{-\infty}^{\infty} \eta \mid \eta\right)(\eta \mid d \eta
\]

Для того чтобы придать этим рассуждениям точный смысл, рассмотрим преобразование Фурье
\[
\Psi(\eta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \eta x} \Psi(x) d x=(\eta ; \Psi),
\]
которое изометрично отображает $\mathscr{L}^{2}(-\infty ; \infty$ ) на $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$. При этом, как известно, оператор $P$ переходит в оператор умножения на $\eta$, причем $\mathscr{V}(P)$ переходит в соответствующую область определения. Отсюда вытекает, что $P$ является самосопряженным, а спектральная мера $F(d \eta)$ оператора $P$ получается обратным преобразованием Фурье спектральной меры (4.7), точнее,
\[
(\psi \mid F(B) \psi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int \overline{\psi(x)} \psi\left(x^{\prime}\right) e^{i \eta\left(x-x^{\prime}\right)} d \eta d x^{\prime} d x .
\]

Формально это можно записать как
\[
\begin{array}{r}
(\Psi \mid F(d \eta) \Psi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \overline{\Psi(x)} \psi\left(x^{\prime}\right) e^{\left\langle\eta\left(x-x^{\prime}\right)\right.} d x^{\prime} d x d \eta= \\
=(\psi \mid \eta)(\eta \mid \psi) d \eta,
\end{array}
\]

или же
\[
F(d \eta)=\mid \eta)(\eta \mid d \eta,
\]

что согласуется с полученным формальным спектральным разложением оператора $P$. Отметим, что в обозначениях Дирака преобразование Фурье соответствует переходу от сбазиса $\{\mid \xi)\}$ к єбазису» $\{\mid \eta)\}$ :
\[
(\eta \mid \psi)=\int(\eta \mid \xi)(\xi \mid \psi) d \xi \text {, }
\]

поскольку
\[
(\eta \mid \xi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{-i \eta x \delta}(\xi-x) d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-i \eta \xi} .
\]

Все сказанное в § 3 о функциях эрмитовых операторов переносится с очевидными изменениями на функции самосопряженных операторов. Рассмотрим, в частности, преобразование Фурье спектральной меры оператора $X$ :
\[
e^{n x}=\int e^{i \lambda} E(d \lambda) .
\]

Непосредственно проверяется, тто семейство $V_{t}=e^{t t x}$. $-\infty<t<\infty$, является еруппой унитарных операторов, T. e.
\[
V_{0}=\mathrm{I}, \quad V_{t+s}=V_{t} V_{s s}, \quad V t=V_{-t} .
\]

Можно также показать, тто семейство операторов $\left\{V_{t}\right\}$

сильно непрерывно по $t$, т. е. что для любого $\psi$ формула
\[
\boldsymbol{\psi}_{t}=e^{i t x} \psi, \quad-\infty<t<\infty,
\]

определяет непрерывную кривую в гильбертовом пространстве $\mathscr{K}$. Более того, кривая (4.12) дифференцируема в $\mathscr{K}$ тогда и только тогда, когда $\psi \equiv \mathscr{D}(X) ; n р и$ этом $\psi_{t} \in \mathscr{D}(X)$ и
\[
\frac{d \psi_{i}}{d t}=i X \psi_{t}
\]

Верно и обратное утверждение, известное как теорема Стоуна.

Теорема 4.2. Всякая сильно (слабо) мепрерьвкая группа унитарных операторов имеет вид $V_{t}=e^{\text {it }}$, где $X$ однозначно определенный самосопряэсенный оператор.

Оператор $X$ называется инфинитези мальным оператором группы $\left\{V_{t}\right\}$.

Найдем группу $\left\{e^{t t P}\right\}$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$. Используя (4.10), (4.9), получаем
$\left.\left(\psi \mid e^{i t P} \psi\right)=\frac{1}{2 \pi} \iiint \overline{\psi(x)} \psi\left(x^{\prime}\right) e^{l t \eta} e^{i \eta\left(x-x^{\prime}\right.}\right) d \eta d x^{\prime} d x=\left(\psi \mid \psi_{i}\right)$,
где $\boldsymbol{\psi}_{t}(x)=\boldsymbol{\psi}(x+t)$. Таким образом,
\[
e^{t t P} \boldsymbol{\Psi}(x)=\psi(x+t), \quad-\infty<t<\infty .
\]

Перейдем теперь к рассмотрению симметричных, но не обязательно самосопряженных операторов. Имеет место следующее обобщение теоремы 4.1.

Теорема 4.3. Для плотно определенного симметричного оператора $X$ сунествует, вообще говоря, ме единственное разломсение единиць (спектральная мера) $M(d \lambda)$ такое, что
\[
\begin{aligned}
\mathscr{D}(X) & \subset\left\{\psi: \int \lambda^{2}(\psi \mid M(d \lambda) \psi)<\infty\right\} ; \\
(\psi \mid X \psi) & =\int \lambda(\psi \mid M(d \lambda) \psi), \quad \psi \in \mathscr{D}(X) ; \\
\mid X \psi_{t}{ }^{2} & =\int \lambda^{2}(\psi \mid M(d \lambda) \psi), \quad \psi \in \mathscr{D}(X) .
\end{aligned}
\]

Если эсе оператор $X$ максимален и өключение в первом соотношении заменяется на равенство, то $M(d \lambda)$ определяется по $\boldsymbol{X}$ однознанно.

В качестве примера рассмотрим оператор $P_{+}$в пространстве $\mathscr{L}^{2}(0, \infty)$. Мы покажем, что его спектральная мера имеет вид
\[
\left.M(d \eta)=\mid \eta_{+}\right)\left(\eta_{+} \mid d \eta,\right.
\]

где $\left|\eta_{+}\right|$-формальные собственные векторы оператора дифференцирования $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i \eta x} ;-\infty<\eta<\infty$, которые отличаются от $|\eta\rangle$ только тем, что аргумент $x$ меняется от 0 до $\infty$. Система $\left.\left\{\mid \eta_{t}\right)\right\}$, очевидно, удовлетворяет формальному условию полноты
\[
\left.\int_{-\infty}^{\infty} \mid \eta_{+}\right)\left(\eta_{+} \mid d \eta=1\right.
\]

но не ортогонаљьна, так как
\[
\left(\eta_{+}^{\prime} \mid \eta_{+}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{i\left(\eta-\eta^{\prime}\right) x} d x=\frac{1}{2} \delta\left(\eta-\eta^{\prime}\right)+\frac{1}{2 \pi i}\left(\eta-\eta^{\prime}\right)^{-1} .
\]

Поэтому разложение единицы (4.15) не является ортогональным. Подобные системы называются в фнзнке кпереполненными».

Разложение единицы (4.15) можно аккуратно определить с помощью формулы типа (4.8):
$(\psi \mid M(B) \psi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \int_{B} \overline{\psi(x)} \psi\left(x^{\prime}\right) e^{i \eta\left(x-x^{\prime}\right)} d x^{\prime} d x d \eta$.
Продолжая функции, заданные на $(0, \infty)$, нулем на отрицательную полуось, мы получаем естественное вложение $\mathscr{L}^{2}(0, \infty)$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$. При этом $M(d \eta)$ является ограничением на $\mathscr{L}^{\mathfrak{3}}(0, \infty)$ спектральной меры $F(d \eta)$ oneparopa $P$, т. е.
\[
(\psi \mid M(d \eta) \Psi)=(\boldsymbol{\phi} \mid F(d \eta) \Psi),
\]

где $\boldsymbol{\psi}$-указанное продолжение функции $\boldsymbol{\psi}$. Если $\boldsymbol{\psi} \in$ $\in \mathscr{V}\left(P_{+}\right)$, то $\tilde{\psi} \in \mathscr{V}(P)$, причем $P_{+\psi}=P \tilde{\psi}$. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
(\psi \mid P+\psi)=(\tilde{\psi} \mid P \tilde{\psi})=\int \eta(\tilde{\psi} \mid F(d \eta) \tilde{\psi})=\int \eta(\psi \mid M(d \eta) \psi), \\
\left|P_{+} \psi\right|^{2}=|P \Phi|^{2}=\int \eta^{2}(\Psi \mid F(d \eta) \Psi)=\int \eta^{2}(\psi: M(d \eta) \Psi), \\
\end{array}
\]

откуда видно, что $M(d \eta)$ удовлетворяет соотношениям (4.14), характеризующим спектральную меру оператора $P_{+}$.