Главная > ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (А.С. Холево)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Для квантовой механики вяжно обобщение спектральной теоремы на неограниченные операторы. Неограниченные операторы (за несущественным исключением) не могут быть определены на всем пространстве $\mathscr{K}$. Задание неогравиченного оператора всегда подразумевает и описание области его определения. Пусть $X$-оператор с областыо определения $\mathscr{D}(X)$. Он называется симметринным, если соответствующая полуторалинейная форма эрмитова на $\mathscr{D}(\boldsymbol{X})$ :
\[
\left(X_{\varphi} \mid \Psi\right)=(\varphi \mid X \psi) ; \quad \varphi, \Psi \in \mathscr{P}(X) .
\]
Наиболее важным, однако, является понятие самосопряженного оператора. Пусть $X$-оператор с плотной областью определення $\mathscr{D}(X)$. Обозначим через $\mathscr{V}\left(X^{*}\right)$ множество векторов $\varphi$, для которых выражение ( $\varphi \mid X \psi$ ) является непрерывным функционалом от $\psi$. Тогда по лемме Рисса – Фреше $(\varphi, X \psi)=\left(\varphi^{*} ; \psi\right)$, где $\varphi^{*}$ – некоторый вектор, определясмый однозначно, так как $\psi$ пробегает плотное подмножесі во $\mathscr{\mathscr { L }}$. Обозначим $X^{*}$ оператор $\varphi \rightarrow \varphi^{*}$ с областью определения $\mathscr{E}\left(X^{*}\right)$. Он называется сопряженным к $X$. Таким образом,
\[
\left(X^{*} \varphi \mid \psi\right)=(\varphi \mid X \psi) ; \quad \psi \in \mathscr{V}(X), \varphi \in \mathscr{D}\left(X^{*}\right) .
\]
3 частности, $X$-симметричный, если $X \subseteq X^{*}$, т. е. $D(X) \subseteq \mathscr{D}\left(X^{*}\right)$ и $X \psi=X^{*} \psi, \psi \in \mathscr{D}(X)$.

Оператор $X$ с плотной областью определения называется самосопрялсенным, если $X=X^{*}$, т. е. $\mathscr{D}\left(X^{*}\right)=\mathscr{T}(X)$ и выполняется равенство (4.1).

Иногда симметричный оператор $X$ можно расширить до самосопряженного. Если это можно сделать и притом единственным способом, то $X$ называется суцественно самосопрямсенным. Симметричный оператор, не имеющий симметричных расширений, называется максимальным.

В качестве примера рассмотрим оператор $P_{+}=i^{-1} \frac{d}{d x}$ в пространстве $\mathscr{L}^{2}(0, \infty)$ с областью определения
\[
\mathscr{D}\left(P_{+}\right)=\left\{\psi: \psi(0)=0, \int_{0}^{\infty}\left|\frac{d}{d x} \psi(x)\right|^{2} d x<\infty\right\} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left(\varphi \mid P_{+} \psi\right)=i^{-1} \int_{0}^{\infty} \bar{\varphi}(x) \frac{d}{d x} \psi(x) d x=i^{-1} \overline{\varphi(0)} \Psi(0)- \\
-i^{-1} \int_{0}^{\infty} \frac{d}{d x} \overline{\varphi(x)} \Psi(x) d x=\left(P^{*} \varphi \mid \psi\right), \quad \varphi \in \mathscr{G}\left(P_{+}^{*}\right),
\end{array}
\]

где $P_{\psi}^{*}=i^{-1} \frac{d}{d x}$ с областыо определения
\[
\mathscr{D}\left(P_{+}^{*}\right)=\left\{\psi: \int_{0}^{\infty}\left|\frac{d}{d x} \psi(x)\right|^{2} d x<\infty\right\} .
\]

Таким образом, $P_{+} \subset P_{+}^{*}, P_{+}
eq P_{+}^{*}$. Оператор $P_{+}$симметричен, но $P_{+}^{*}$ не симметричен, так как для него слагаемое $i^{-1} \overline{\varphi(0)} \psi(0)$ в формуле типа (4.2) уже будет отлично от нуля. Можно показать, что $P_{+}$максимален.

С другой стороны, оператор $P=i^{-1} \frac{d}{d x}$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$ с областью определения
\[
\mathscr{T}(P)=\left\{\psi: \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{d}{d x} \psi(x)\right|^{2} d x<\infty\right\},
\]

как будет показано ниже, является самосопряженным. Примером существенно самосопряженного оператора может служить сужение этого оператора на финитные бесконечно дифференцируемые функции.

Рассмотрим теперь интеграл типа (3.6), где $E(d \lambda)$ проиявольное ортогональное ралложение единишы на прямой. Теперь нельзя ожидать, чтобы интеграл в правой части (3.8) сходился для всех $\psi \in \mathscr{C}$, однако он заведомо сходится, если $\Psi$ принадлежит подпространству
\[
\mathscr{D}=\left\{\psi: \int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2}(\psi \mid E(d \lambda) \psi)<\infty\right\} .
\]

Можно показать, что $\mathscr{D}$ плотно в $\mathscr{Z}$ и эрмитова форма (3.7) определяет самосопряженный оператор $X$ с $\mathscr{V}(X)=$ $=\mathscr{D}$, так что
\[
\begin{aligned}
(\psi \mid X \psi)=\int \lambda\left(\psi \mid E\left(d^{\lambda}\right) \psi\right), & \psi \in \mathscr{D}, \\
\mid X \psi^{n}=\int \lambda^{2}\left(\psi \mid E\left(d^{2}\right) \psi\right), & \psi \in \mathscr{D} .
\end{aligned}
\]

Последнее равенство показывает, почему должно быть $\mathscr{D}(X)=\mathscr{V}$.

Теорема 4.1 (спектральная теорема для самосопряжевных операторов). Соотношения (4.4), (4.5) устанаяливают взаимно-однозначное соответствие между самосопряменными операторими и ортогональными разлоэсениями единицы в $\mathscr{K}$ (спектральными мерами).

Рассмотрим (неограниченный) оператор $Q$ умножения на $x$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$ с пластью определения $\left\{\psi:\left.\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} i \psi(x)\right|^{2} d x<\infty\right\}$. Для любых $\varphi, \psi \in \mathscr{D}(Q)$ выполняется $(\varphi \mid Q \psi)=\int x \overline{\varphi(x)} \Psi(x) d x=(Q \varphi \mid \psi)$, так что $Q$ симметричен. Для доказательства самосопряженности возьмем $\varphi \in \mathscr{D}\left(Q^{*}\right)$; тогда $\int x \bar{\psi} \psi d x$ является непрерывным функционалом от $\psi$ и по лемме Рисса – Фреше $\int x \Phi \psi d x=$ $=\int h \psi d x$, где $\int|h(x)|^{2} d x<\infty$. Отсюда $h=x \varphi$ и $\int|x \varphi(x)|^{2} d x<\infty$, так что $\varphi \in \mathscr{D}(Q)$ и $\mathscr{D}\left(Q^{*}\right)=\mathscr{D}(Q)$. Рассуждая как в случае конечного интервала в § 3 , находим его спектральную меру
\[
E(B)=1_{B}(x) ; \quad B \in \text { ot }(\mathrm{R}),
\]

или, формально,
\[
E(d \xi)=\mid \xi)(\xi \mid d \xi,
\]
оператора умножения, так что, в обозначениях Дирака,
\[
\left.Q=\int_{-\infty}^{\infty} \xi \mid \xi\right)(\xi \mid d \xi .
\]

В качестве следующего примера рассмотрим самосопряженный оператор $P=i^{-1} \frac{d}{d x}$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$. Этот оператор имеет континуальный набор формальных собственных векторов
\[
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i n x} ; \quad-\infty<\eta<\infty,
\]

удовлетворяющий условиям ортогональности и полноты типа (3.12). Обозначая формальные собственные векторы через $\mid \eta$ ); $-\infty<\eta<\infty$, мы можем ожидать, что $P$ имеет спектральное разложение
\[
\left.P=\int_{-\infty}^{\infty} \eta \mid \eta\right)(\eta \mid d \eta
\]

Для того чтобы придать этим рассуждениям точный смысл, рассмотрим преобразование Фурье
\[
\Psi(\eta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \eta x} \Psi(x) d x=(\eta ; \Psi),
\]
которое изометрично отображает $\mathscr{L}^{2}(-\infty ; \infty$ ) на $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$. При этом, как известно, оператор $P$ переходит в оператор умножения на $\eta$, причем $\mathscr{V}(P)$ переходит в соответствующую область определения. Отсюда вытекает, что $P$ является самосопряженным, а спектральная мера $F(d \eta)$ оператора $P$ получается обратным преобразованием Фурье спектральной меры (4.7), точнее,
\[
(\psi \mid F(B) \psi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int \overline{\psi(x)} \psi\left(x^{\prime}\right) e^{i \eta\left(x-x^{\prime}\right)} d \eta d x^{\prime} d x .
\]

Формально это можно записать как
\[
\begin{array}{r}
(\Psi \mid F(d \eta) \Psi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \overline{\Psi(x)} \psi\left(x^{\prime}\right) e^{\left\langle\eta\left(x-x^{\prime}\right)\right.} d x^{\prime} d x d \eta= \\
=(\psi \mid \eta)(\eta \mid \psi) d \eta,
\end{array}
\]

или же
\[
F(d \eta)=\mid \eta)(\eta \mid d \eta,
\]

что согласуется с полученным формальным спектральным разложением оператора $P$. Отметим, что в обозначениях Дирака преобразование Фурье соответствует переходу от сбазиса $\{\mid \xi)\}$ к єбазису» $\{\mid \eta)\}$ :
\[
(\eta \mid \psi)=\int(\eta \mid \xi)(\xi \mid \psi) d \xi \text {, }
\]

поскольку
\[
(\eta \mid \xi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{-i \eta x \delta}(\xi-x) d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-i \eta \xi} .
\]

Все сказанное в § 3 о функциях эрмитовых операторов переносится с очевидными изменениями на функции самосопряженных операторов. Рассмотрим, в частности, преобразование Фурье спектральной меры оператора $X$ :
\[
e^{n x}=\int e^{i \lambda} E(d \lambda) .
\]

Непосредственно проверяется, тто семейство $V_{t}=e^{t t x}$. $-\infty<t<\infty$, является еруппой унитарных операторов, T. e.
\[
V_{0}=\mathrm{I}, \quad V_{t+s}=V_{t} V_{s s}, \quad V t=V_{-t} .
\]

Можно также показать, тто семейство операторов $\left\{V_{t}\right\}$

сильно непрерывно по $t$, т. е. что для любого $\psi$ формула
\[
\boldsymbol{\psi}_{t}=e^{i t x} \psi, \quad-\infty<t<\infty,
\]

определяет непрерывную кривую в гильбертовом пространстве $\mathscr{K}$. Более того, кривая (4.12) дифференцируема в $\mathscr{K}$ тогда и только тогда, когда $\psi \equiv \mathscr{D}(X) ; n р и$ этом $\psi_{t} \in \mathscr{D}(X)$ и
\[
\frac{d \psi_{i}}{d t}=i X \psi_{t}
\]

Верно и обратное утверждение, известное как теорема Стоуна.

Теорема 4.2. Всякая сильно (слабо) мепрерьвкая группа унитарных операторов имеет вид $V_{t}=e^{\text {it }}$, где $X$ однозначно определенный самосопряэсенный оператор.

Оператор $X$ называется инфинитези мальным оператором группы $\left\{V_{t}\right\}$.

Найдем группу $\left\{e^{t t P}\right\}$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$. Используя (4.10), (4.9), получаем
$\left.\left(\psi \mid e^{i t P} \psi\right)=\frac{1}{2 \pi} \iiint \overline{\psi(x)} \psi\left(x^{\prime}\right) e^{l t \eta} e^{i \eta\left(x-x^{\prime}\right.}\right) d \eta d x^{\prime} d x=\left(\psi \mid \psi_{i}\right)$,
где $\boldsymbol{\psi}_{t}(x)=\boldsymbol{\psi}(x+t)$. Таким образом,
\[
e^{t t P} \boldsymbol{\Psi}(x)=\psi(x+t), \quad-\infty<t<\infty .
\]

Перейдем теперь к рассмотрению симметричных, но не обязательно самосопряженных операторов. Имеет место следующее обобщение теоремы 4.1.

Теорема 4.3. Для плотно определенного симметричного оператора $X$ сунествует, вообще говоря, ме единственное разломсение единиць (спектральная мера) $M(d \lambda)$ такое, что
\[
\begin{aligned}
\mathscr{D}(X) & \subset\left\{\psi: \int \lambda^{2}(\psi \mid M(d \lambda) \psi)<\infty\right\} ; \\
(\psi \mid X \psi) & =\int \lambda(\psi \mid M(d \lambda) \psi), \quad \psi \in \mathscr{D}(X) ; \\
\mid X \psi_{t}{ }^{2} & =\int \lambda^{2}(\psi \mid M(d \lambda) \psi), \quad \psi \in \mathscr{D}(X) .
\end{aligned}
\]

Если эсе оператор $X$ максимален и өключение в первом соотношении заменяется на равенство, то $M(d \lambda)$ определяется по $\boldsymbol{X}$ однознанно.

В качестве примера рассмотрим оператор $P_{+}$в пространстве $\mathscr{L}^{2}(0, \infty)$. Мы покажем, что его спектральная мера имеет вид
\[
\left.M(d \eta)=\mid \eta_{+}\right)\left(\eta_{+} \mid d \eta,\right.
\]

где $\left|\eta_{+}\right|$-формальные собственные векторы оператора дифференцирования $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i \eta x} ;-\infty<\eta<\infty$, которые отличаются от $|\eta\rangle$ только тем, что аргумент $x$ меняется от 0 до $\infty$. Система $\left.\left\{\mid \eta_{t}\right)\right\}$, очевидно, удовлетворяет формальному условию полноты
\[
\left.\int_{-\infty}^{\infty} \mid \eta_{+}\right)\left(\eta_{+} \mid d \eta=1\right.
\]

но не ортогонаљьна, так как
\[
\left(\eta_{+}^{\prime} \mid \eta_{+}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{i\left(\eta-\eta^{\prime}\right) x} d x=\frac{1}{2} \delta\left(\eta-\eta^{\prime}\right)+\frac{1}{2 \pi i}\left(\eta-\eta^{\prime}\right)^{-1} .
\]

Поэтому разложение единицы (4.15) не является ортогональным. Подобные системы называются в фнзнке кпереполненными».

Разложение единицы (4.15) можно аккуратно определить с помощью формулы типа (4.8):
$(\psi \mid M(B) \psi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \int_{B} \overline{\psi(x)} \psi\left(x^{\prime}\right) e^{i \eta\left(x-x^{\prime}\right)} d x^{\prime} d x d \eta$.
Продолжая функции, заданные на $(0, \infty)$, нулем на отрицательную полуось, мы получаем естественное вложение $\mathscr{L}^{2}(0, \infty)$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$. При этом $M(d \eta)$ является ограничением на $\mathscr{L}^{\mathfrak{3}}(0, \infty)$ спектральной меры $F(d \eta)$ oneparopa $P$, т. е.
\[
(\psi \mid M(d \eta) \Psi)=(\boldsymbol{\phi} \mid F(d \eta) \Psi),
\]

где $\boldsymbol{\psi}$-указанное продолжение функции $\boldsymbol{\psi}$. Если $\boldsymbol{\psi} \in$ $\in \mathscr{V}\left(P_{+}\right)$, то $\tilde{\psi} \in \mathscr{V}(P)$, причем $P_{+\psi}=P \tilde{\psi}$. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
(\psi \mid P+\psi)=(\tilde{\psi} \mid P \tilde{\psi})=\int \eta(\tilde{\psi} \mid F(d \eta) \tilde{\psi})=\int \eta(\psi \mid M(d \eta) \psi), \\
\left|P_{+} \psi\right|^{2}=|P \Phi|^{2}=\int \eta^{2}(\Psi \mid F(d \eta) \Psi)=\int \eta^{2}(\psi: M(d \eta) \Psi), \\
\end{array}
\]

откуда видно, что $M(d \eta)$ удовлетворяет соотношениям (4.14), характеризующим спектральную меру оператора $P_{+}$.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru