Одна из известных трудностей интерпретации квантовой механики связана с невозможностью сопоставить ряду физических величин самосопряженный оператор, т. е. наблюдаемую в том смысле, который вкладывает в это понятие традиционная концепция измеревия. К таким величинам относится, в частности, время. Временнь́е измерения столь же обычны в экспериментальной практике, как и измерения координаты, импульса, эергии, и отсутствие их математического эквивалента означало бы серьезный дефект теории. Мы покажем здесь, что измерения времени находят естественное место в квантовой механике, если воспользоваться неортогональными разложениями единицы. Таким образом, упомянутая трудность не является органическим недостатком квантовой теории, а обусловлена узостью традициовной концепции наблюдаемой.
Рассмотрим время $t$ как параметр семейства состояний
\[
S_{t}=V S V t,
\]

характеризующий временнбй отсчет в процедуре приготовления состояния. Напомним, что для любого несмещенного иямерения $M(d \hat{t})$ параметра $t$ имеет место соотношение
\[
\mathrm{D}_{t}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \frac{\boldsymbol{h}^{\mathbf{n}}}{4 \mathrm{D}_{t}(E)},
\]

где $E=\hbar H$. Несмеденное иэмерение можно рассматривать как более или менее точное измерение времени $t$, а (9.1)
является «соотношением неопределенностей», ограничивающим точность такого измерения. Однако существуют ли вообще несмещенные измерения параметра времени $t$ ? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим условие ковариантности измерения $M(d \hat{t})$ по отношению к группе временнь́х сдвигов
\[
V t M(B) V_{t}=M\left(B_{-}\right) ; \quad-\infty<t<\infty,
\]

аналогичное условию (4.3) для измерений координаты. Эло условие означает, что перенос во времени процедуры приготовления отражается в соотвелствующем сдвиге распределения вероятностей измерения
\[
\mu_{s_{t}}^{M}(B)=\mu_{s}^{M}\left(B_{-}\right) ; \quad-\infty<t<\infty .
\]

Отсюда при условии конечности первого момента вытекает несмещенность с точностью до постоянной
\[
\mathrm{E}_{t}\{\boldsymbol{M}\}=\mathrm{E}_{0}\{\boldsymbol{M}\}+\boldsymbol{t} .
\]

Поэтому вопрос сводится к построению разложения единицы, удовлетворяющего условию ковариантности (9.2).

Типичным для квантовой механики является случай, когда энергия $E$ ограничена снизу, $E \geqslant 8_{0}$. I; это можно усмотреть из формулы (8.4), определяющей общий вид гамильтониана, и из того, что потенциал $\mathrm{v}(\cdot)$ обычно ограничен снизу. При этом условии не суцестеует ковариантных иямерений, которые яадавались бы ортогональньми разломсенияни единицы. В этом и заключается математическая формулировка утверждения, что времени $t$ ве соответствует наблюдаемая в традиционном смысле.

Чтобы это доказать, предположим противное и рассмотрим унитарную группу
\[
V_{B}=\int e^{f e \tau / h} M(d \tau),
\]

где $M(d \tau)$-ковариантное простое измерение. В терминах этой группы условие ковариантности (9.2) принимает вид

или
\[
V_{t} V_{\mathrm{s}} V_{t}=e^{t e t / n} V_{B}
\]
\[
V_{t} V_{t} V_{E}=e^{-i s t / n} V_{A}
\]

Дифференцируя по $t$ при $t=0$ и учитывая, что $V_{t}=e^{-t E / \hbar}$, получаем
\[
V_{8}^{*} E V_{\mathrm{B}}=E+\varepsilon, \quad-\infty<8<\infty .
\]

Отсюда следует, что оператор $E+\varepsilon$ имеет ту же нижнюю границу, что и $E$, т. е. $E+8 I \geqslant \varepsilon_{0} I$, где в произвольно. Устремляя в х $-\infty$, мы тогда получили бы, что $\mathscr{D}(E)=$ $=[0]$, так как $(\psi \mid E \psi)=\infty$ для любого $\psi
eq 0$.

Мы укажем неортогональное разложение единицы, удовлетворяющее условио ковариантности (9.2).

Соотношение (9.2) удобно рассматривать в кэнергетическом» представлении, которое диагонализует оператор энергии $E$. Для определенности мы подробно рассмотрим случай свободной частицы в одном измерении. Так как энергия и импульс свободной частиды массы $m$ связаны соотношением $E=\frac{p^{\varrho}}{2 m}$, то в импульсном представлении,
\[
\Psi(\eta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int e^{-i \xi \eta / m} \Psi(\xi) d \xi,
\]

оператор энергии будет задаваться умножением на $\eta^{3} / 2 \mathrm{~m}$. Полагая $\varepsilon=\eta^{2} / 2 m$, имеем
\[
\begin{array}{l}
(\phi \mid \oiint)=\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(\eta)|^{2} d \eta= \\
=\sqrt{\frac{m}{2}}\left[\int_{0}^{\infty}|\psi(\sqrt{2 m \varepsilon})|^{2} \frac{d \varepsilon}{\sqrt{8}}+\int_{0}^{\infty}|\Psi(-\sqrt{2 m \varepsilon})|^{2} \frac{d \varepsilon}{\sqrt{8}}\right]= \\
=\int_{0}^{\infty} \mid \psi_{B} P d \varepsilon,
\end{array}
\]
rде
\[
\phi_{s}=\sqrt[4]{\frac{m}{28}}[\tilde{\psi}(\sqrt{2 m B})], \quad B \geqslant 0,
\]
$a \mid \psi_{k} \beta=\psi_{k}^{*} \psi_{s}$ – евклидова норма двумерного вектора $\psi_{8} \in$ $\in \mathbb{C}^{2}$. Формула (9.4) определяет изометрический переход от импульсного представления $\boldsymbol{\psi}(\eta) \quad \boldsymbol{\kappa}$ внергетическому представлению $\psi_{e}$, в котором гамильтониан задается умножением на переменную в, а группа временнь́х сдвигов $\left\{V_{t}\right\}$ – умножением на $\{\exp$ (一iвt/h)\}. Пространство энергетического представления есть, такам образом, простравство $\mathscr{L}_{\mathrm{K}}(0, \infty)$ функций на $(0, \infty)$ со значениями в $\mathrm{K}=\mathbb{C}^{2}$ и с интегрируемым квадратом нормы (9.3).

Рассмотрим в этом пространстве оператор $T=i \hbar \frac{d}{d \varepsilon}$ с областью определения
\[
\mathscr{D}(T)=\left\{\psi_{\mathrm{s}}: \boldsymbol{\psi}_{0}=0, \quad \int_{0}^{\infty}\left|\frac{d}{d s} \psi_{\mathrm{B}}\right| d \varepsilon<\infty\right\} .
\]

Как и оператор $P_{+}$в $\mathscr{L}(0, \infty) \cdot($ см. § II.4), он является симметричным. На соответствующем подпространстве имеет место аналог коммутационного соотношения Гейзенберга
\[
[T, H]=i \hbar .
\]

Неортогональная спектральная мера $M(d \tau)$ оператора $T$ строится аналогично спектральной мере $P_{+}$(см. (II.4.18)), так что
\[
(\Psi \mid M(d \tau) \Psi)=\left(\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \psi_{E^{*}} \psi_{\mathrm{e}^{\prime}} e^{\left(\varepsilon^{\prime}-\varepsilon\right) \tau / n} d \mathrm{E} d \mathrm{E}^{\prime}\right) \frac{d \tau}{2 \pi \hbar} .
\]

Отсюда непосредственно вытекает выполнение своћства ковариантности (9.2) для $M(d \tau)$.

Пусть $\psi \in \mathscr{V}(T)$; тогда среднее и дисперсия наблодаемои $T$ в состоянии $S_{\phi}$, согласно (II.6.2), равны
\[
\begin{array}{l}
E_{s_{\phi}}(T)=\hbar i \int_{0}^{\infty} \psi_{\varepsilon}^{*} \frac{d}{d \varepsilon} \psi_{\varepsilon} d \varepsilon, \\
D_{S_{\phi}}(T)=\hbar^{2} \int_{0}^{\infty}\left|\frac{d}{d \varepsilon} \psi_{e}\right|^{p} d \varepsilon-E_{s_{\psi}}(T)^{\varepsilon} .
\end{array}
\]

Переходя по формуле (9.3) обратно к импульсному представлению, находим
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{E}_{S_{\psi}}(T)=m \hbar i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\tilde{\tilde{\phi}(\eta)}}{\sqrt{|\eta|}} \operatorname{sgn} \eta \frac{d}{d \eta} \frac{\tilde{\phi}(\eta)}{\sqrt{|\eta|}} d \eta, \\
D_{S_{\psi}}(T)=(m h)^{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{d}{d \eta} \frac{\tilde{\phi}(\eta)}{\sqrt{|\eta|}}\right|^{2} \frac{d \eta}{|\eta|}-E_{S_{\phi}}(T)^{s} \text {, } \\
\end{array}
\]

откуда видно, что в импульсном представлении
\[
T=\frac{m \hbar i}{\sqrt{|\eta|}} \operatorname{sgn} \eta \frac{d}{d \eta} \frac{1}{\sqrt{|\eta|}}=m|p|^{-1 / 2} \operatorname{sgn} p q|p|^{-1 / 2},
\]

причем
\[
\mathscr{V}(T)=\left\{\tilde{\psi}(\eta): \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{d}{d \eta} \frac{\tilde{\psi}(\eta)}{\sqrt{|\eta|}}\right|^{2} \frac{d \eta}{|\eta|}<\infty\right\} .
\]

По аналогии с наблюдаемыми координаты и импульса, оператор $T$ можно назвать канонической наблюдаемой времени. Впрочем, мы увидим в следующей главе, что и в этом случае существует бесконечно много ковариантных измерений параметра $t$; еще более широким является класс несмеценных измерений. Чтобы это показать, заметим, что область определения оператора $T$ состоит из векторов состояний, для которых конечна дисперсия $\mathrm{D}_{s_{\phi}}(T)$. Необходимым условием для этого является равенство $\tilde{\psi}(0)=0$ (в представлении Шредингера эго соответствует тому, что $\int_{-\infty}^{\infty}(x \mid \psi) d x=0$ ). Это условие не выполняется, например, для вектора состояния
\[
\mathcal{\psi}(\eta) \sim \exp \left[-\frac{(\eta-p)^{2}}{4 \sigma_{p}^{2}}\right],
\]

которое описывает волновой пакет со средним импульсом $p$, для которого $D_{S_{\psi}}(T)=\infty$. Однако отсюда не следует делать вывод, что параметр $t$ (квремя прохождения волнового пакетаж) не может быть измерен с конечнои дисперсией; существуют несмещенные измерения с конечной дисперсией, не удовлетворяющие условию ковариантности. Предполагая, что $\bar{p}
eq 0$, рассмотрим наблюдаемую $\hat{T}=\frac{m}{p} q=\frac{m \hbar d}{p} \frac{d}{d \eta}$. По формуле (8.7) имеем
\[
\frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(\hat{T})=\frac{m}{p} \frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(q)=\frac{1}{p} \mathrm{E}_{t}(p)=1,
\]
т. е. $\hat{T}$ дает несмещенное, с точностью до постоянной, измерение параметра $t$. Это соответствует измерению «вемени прохождения» посредством измерения координаты волнового пакета (при условии, что известна средняя скорость $p / m$ ). Дисперсня этого измерения для волнового пакета (9.6) конечна, однако возрастает как $\sigma_{p}^{2} t^{2} / p^{2}$ при $t \rightarrow \infty$, тогда как для ковариантного ивмерения дисперсия не зависела бы от $t$.

Обращаясь к общему случаю, предположим, что гамильтониан задается оператором умножения на независимую переменную в некотором пространстве $\mathscr{L}_{k}(0, \infty)$, где $\mathrm{K}$ – некоторое конечно- или бесконечномерное гильбертово пространство; таким образом, пространство представления
Pre. 11.

состоит из $К$-значных функций $\boldsymbol{\psi}_{\mathrm{в}}$ на $(0, \infty)$, удовлетворяющих условию $\int_{0}^{\infty}\left|\psi_{\mathrm{e}}\right|^{2} d \varepsilon<\infty$, где $|\cdot|$ – норма вектора в K. Torда оператор
\[
T=h i \frac{d}{d B} ; \mathscr{D}(T)=\left\{\boldsymbol{\psi}_{\mathrm{B}}: \boldsymbol{\psi}_{0}=0 ; \int_{0}^{\infty}\left|\frac{d}{d \mathrm{~B}} \boldsymbol{\psi}_{\mathrm{B}}\right|^{2} d \mathrm{\varepsilon}<\infty\right\},
\]

является максимальным симметричным в $\mathscr{L}_{\mathrm{K}}(0, \infty)$. Соответствующее разложение единицы является ковариантным и несмещенным измерением параметра времени $t$.

Время и энергия, подобно координате и импульсу, являются в механике «сопряженными величинами». В квантовой теории сопряженность координаты и импульса находит выражение в канонических соотношениях Вейля (4.1), (4.2) (и в вытекающем ив них соотношении неопределенностей Гейзенберга). Рассмотрим, что соответствует соотношениям Веиля в случае пары ввремя – янергия». Невозможность ввести самосопряженный оператор времени тесно связана с тем обстоятельством, что сдвиги на полупрямой
$(0, \infty)$ образуют не группу, как в случае прямой, а п ол угруппу. Рассмотрим операторы сдвига в $\mathscr{L}_{\mathbf{k}}(0, \infty)$
\[
P_{e} \psi_{e}=\left\{\begin{array}{cc}
\psi_{s-e}, & \varepsilon \geqslant e, \\
0, & \varepsilon<e
\end{array}\right.
\]
(рис. 11). Семейство $\left\{P_{\text {s }} \boldsymbol{e} \geqslant 0\right\}$ образует полугруппу изометрических операторов в $\mathscr{L}_{\mathrm{K}}(0, \infty)$. Операторы $P_{e}$ необратимы, хотя $P_{e}^{*} P_{e}=\mathrm{I}, e \geqslant 0$. Легко убедиться непосредственно, что
\[
P_{e}=\int e^{i e \tau / \hbar} M(d \tau),
\]

где $M(d \tau)$ – разложение единицы (9.5), отвечающее оператору $T=i \hbar \frac{d}{d e}$. В этом смысле $P_{e}=\exp ($ ie $T / \hbar)$, хотя $T$ ве является самосопряженным оператором. Полугруппа $\left\{P_{e}\right\}$ связана с динамической группой $\left\{V_{t}\right\}$ соотношениями
\[
\begin{array}{c}
V_{t}^{t} P_{e} V_{t}=e^{t e t / M} P_{e}, P_{t}^{*} V V_{t} P_{e}=e^{-t / t / n} V_{t} ; \\
-\infty<t<\infty, 0 \leqslant e,
\end{array}
\]

формально совпадающими с соотношениями Вейля (4.1), (4.2).

Как и с любой наблюдаемой, с наблодаемой времени можно связать свое, «временно́е представление, в котором оператор времени диагонален; подобно тому как импульсное представление является преобразованием Фурье представления Шредингера, временно́ представление определяется как преобразованне Фурье энергетического представления:
\[
\tilde{\Psi}(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{0}^{\infty} e^{k e t / \hbar} \Psi_{B} d e .
\]

Таким образом, пространство временно́го представления оказывается связанным с известным в математике клас. сом Xарди $\mathscr{K}^{2}$ для полуплоскости.