Все рассматривавшиеся нами группы симметрий являются параметрическими группами преобразований. Это означает, что задано некоторое параметрическое множество $\boldsymbol{\theta}=\{\theta\}$, т. е. непрерывное многообразие в конечномерном пространстве, и элементы группы $G=\{g\}$ действуют как непрерывные взаимно-однозначные отображения множества $\theta$ на себя, $g: \theta \rightarrow g \theta$. Более того, группа $G$ также предполагается параметризованной так, что групповое произведение $g_{1} g_{2}$ (композиция преобразований) является непрерывным в этой параметризации.

Таковы группа сдвигов вещественной прямой $\mathbb{R}$, группа сдвигов интервала $[0,2 \pi$ ) по модулю $2 \pi$, изоморфная группе поворотов единичной окружности $T$, а также группа вращений трехмерного евклидова пространства $\mathbb{R}^{3}$. В последнем примере естественно рассматривать действие группы лишь на единичные векторы (направления) в $\mathbb{R}^{3}$. Таким образом, группу вращений можно рассматривать также как группу преобразований (движений) единичной сферы $\mathbb{S}^{2}$ в $\mathbb{R}^{3}$.

Пусть $G$-параметрическая группа преобразований множества $\boldsymbol{\theta}$ и $g \rightarrow V_{g}$ — непрерывное проективное унитарное представление группы $G$ в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}^{\circ}$. Пусть $M(d \theta)$ — измерение со значениями в $\boldsymbol{B}$, т. е. разложение единицы в $\mathscr{K}$ на борелевских подмножествах $\boldsymbol{\theta}$. Измерение $M(d \theta)$ назовем ковариантным по отношению к представлению $g \rightarrow V_{g}$, если
\[
V_{g}^{*} M(B) V_{g}=M\left(B_{g-1}\right)
\]

для любого борелевского $B \subset \Theta$, где
\[
B_{g}=\left\{\theta: \theta=g \theta^{\prime}, \theta^{\prime} \in B\right\}
\]

— сдвиг подмножества $B$ под действием преобразования $g$. В предыдущей главе мы не раз встречались с этим понятием рассматривая конкретные группы симметрий. Его значение для квантовой теории состоит в том, что оно позволяет установить связь между физическими параметрами микрообъекта и разложениями единицы в гильбертовом пространстве.

Чтобы еще раз пояснить это, рассмотрим следующий пример. Пусть состояние микрообъекта $S$ приготовляется установкой, с которой мы свяжем фиксированный репер (систему координат) $\theta_{0}$. Затем установка поворачивается как целое вокруг начала координат, так что ее новая ориентация задается репером $\theta=g \theta_{0}$, где $g$-элемент группы вращений. Тогда состояние микрообъекта описывается новым оператором плотности $S_{\theta}=V_{g} S V_{g}^{*}$. Предположим, что над приготовленным таким образом микрообъектом производится измерение, описываемое разложением единицы $M(\hat{d})$. Это означает просто, что распределение вероятностей результатов измерения $\hat{\theta}$ дается формулой
\[
\operatorname{Pr}\{\hat{\theta} \in B \mid \theta\}=\operatorname{Tr} S_{\theta} M(B), \quad B \in \operatorname{et}(\theta),
\]

где $\mathscr{A}(\theta)-\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $\boldsymbol{\theta}$. Если $M(d \hat{\theta})$ обладает свойством ковариантности (1.1), то $\operatorname{Tr} S_{\theta} M(B)=\operatorname{Tr} S V_{g}^{*} M(B) V_{g}=\operatorname{Tr} S M\left(B_{g-1}\right)$, откуда $\operatorname{Pr}\{\hat{\theta} \in B \mid \theta\}=\operatorname{Pr}\left\{\hat{\theta} \in B_{g-1} \mid \theta_{0}\right\}$, или, заменяя $B$ на $B_{g}$,
\[
\operatorname{Pr}\left\{\hat{\theta} \in B_{g} \mid g \theta_{0}\right\}=\operatorname{Pr}\left\{\hat{\theta} \in B \mid \theta_{0}\right\} .
\]

Это означает, что изменение ориентации установки находит адекватное отражение в изменении распределения вероятностей результатов ковариантного измерения.

Подобные рассуждения применимы к любому (вообще говоря, многомерному) параметру $\theta$, с которым связана определенная группа симметрий $G$. Таким образом, всякое разложение единицы $M(d \theta)$, обладающее свойством ковариантности (1.1), дает статистическое описание результатов некоторого теоретически допустимого измерения параметра $\theta$. Для любого параметра существует бесчисленное множество измерений, различающихся хотя бы своей точностью. Естественно возникают вопросы описания всех теоретических измерений, ковариантных по отношению к данному представлению, и выделения среди них таких, которые можно было бы назвать «наиболее точными», или коптимальными».

Последняя задача оказывается тесно связанной с нахождением крайних точек выпуклого множества ковариантных измерений. Чтобы это пояснить, заметим, что типичная мера точности $\mathscr{R}\{\boldsymbol{M}\}$, такая как среднеквадратичное отклонение, является аффинным функционалом измерения $M$. Это означает, что для любой смеси измерений $\boldsymbol{M}=\sum_{\alpha} p_{\alpha} M_{\alpha}$ выполняется
\[
\mathscr{R}\{M\}=\sum_{\alpha} p_{\alpha} \mathscr{R}\left\{M_{\alpha}\right\}
\]

Известная теорема выпуклого анализа утверждает, что при определенных условиях регулярности (см. комментарии) аффинный функционал достигает минимума в крайней точке выпуклого множества. Поэтому оптимальные измерения следует искать среди крайних точек множества измерений. На этом пути проясняется роль кканонических» наблюдаемых координаты, времени, угла и других физических параметров — они оказываются типичными представителями в семействе оптимальных измерений этих параметров. Отметим, что ситуация, когда существуют простые ковариантные измерения, является скорее исключением, хотя и охватывает некоторые важные случаи.

С этой главы изложение приобретает более математический характер. В следующем параграфе мы докажем несколько общих теорем об измерениях, относящихся к произвольной группе симметрий, а затем применим их в конкретных примерах.