Предположение о полной наблюдаемости, на котором основывается классическая статистическая модель, является определенной идеализацией, и выводы, к которым приводит это предположение, разумеется, должны сопоставляться с данными опыта. Фактически далеко не всякий воображаемый эксперимент является реально выполнимым, и возможность неограниченно увеличивать точность измерений представляется не столь безусловной. Не вдаваясь здесь в обсуждение природы ограничений на множество возможных измерений, изучим с общих позиций последствия для статистической модели, к которым приводит наличие таких ограничений.
Рассмотрим произвольную статистическую модель с множеством состояний и множеством измерений . Два состояния назовем неразличимыми, если для любого измерения из класса распределения вероятностей совпадают: . Статистическую модель ( ) назовем отделимой, если в ней нет неразличимых состояний . Допустим, что экспериментатор, проводящий измерения, не знает, в каком из состояний , действительно приготовлен данный объект. С точки зрения такого экспериментатора, располагсюцего лишь статистикой всевозможных измерений, неразличимые состояния будут абсолютно идентичными, что и оправдывает этот термин.
Можно объединить неразличимые состояния в классы эквивалентности [S]. Отображение аффинно, и множество классов эквивалентности будет некоторым
เгл. เ
новым выпуклым множеством . Полагая , где -какой-либо представитель из класса [ ], получаем новую статистическую модель с множеством состояний и измерений . Эта модель совершенно эквивалентна исходной с точки зрения описания статистики результатов измерения, однако она уже является отделимой. Описанный переход от исходной модели к отделимой мы назовем редукцией. Фактически мы уже встретились с таким переходом в § 1; проведенные там рассуждения показывают, что именно отделимая статистическая модель является конечным продуктом анализа статистики измерений.
Интересным в этой тривиальной конструкции является то, что редуцированное множество состояний может радикально отличаться от исходного множества ( . В частности, если исходным множеством является классический симплекс , то, подбирая соответствующим образом множество измерений , в качестве можно получить практически любое выпуклое множество. В частности, свойство однозначности представления по крайним точкам уже может не иметь места для редуцированных состояний из . Чтобы проиллюстрировать это положение, приведем простейший пример.
Рассмотрим некоторый условный объект, для которого имеются четыре различных варианта приготовления чистого состояния, т. е. , так что всякое состояние задается вектором из трехмерного симплекса . В качестве измерений мы будем рассматривать только тесты. Рассмотрим 4-мерный гиперкуб : и подмножество тестов , получающееся от пересечения куба с гиперплоскостью
Состояния и неразличимы относительно множества тестов , если из (5.1) следует
т. е. если вектор перпендикулярен гиперплоскости (5.1). Ортогональное дополнение к (5.1) является одномерным подпространством, натянутым на вектор , поэтому состояния и
неразличимы тогда и только тогда, когда соответствующие векторы лежат на одной прямой с направляющим вектором , для некоторого
Если изобразить в виде тетраэдра, погруженного в трехмерное пространство (рис. 3), то числа будут барицентрическими координатами точки внутри тетраэдра ( есть расстояние от точки до грани, противоположной вершине ), а уравнения (5.2) задают прямые, проходящие в направлении, соединяющем середины ребер и . Класс неразличимых состояний образуют точки тетраэдра, лежащие на любой такой прямой. Поэтому множество состояний можно отождествить с проекцией тетраэдра вдоль указанного направления на лобую
Рис. 3. подходящую плоскость (см. рис. 3). Множество состояний является в этом случае выпуклым qетырехугольником на плоскости.
На этом примере уже видно, каким образом ограничения на множество тестов приводят к «склеиванию» состояний и возникновению новых выпуклых множеств, в которых нет однозначности представления по крайним точкам. Не входя пока в более подробное обсуждение этого вопроса, заметим, что ограничения на множество измерений могут возникнуть как отражение тех или иных эмпирических «законов симметрии» В нашем примере роль такого єзакона» играет равенство (5.1); в статистических моделях квантовой механики, где существенную роль играет пространственно-временно́ описание объекта, на первый план выходят законы симметрии относительно групп кинематических и динамических преобразований (пространственных и временныіх сдвигов, поворотов, отражений).
Рассмотрим теперь пример, относящийся к квантовой механике, а именно к описанию квантовой частицы со спином 1/2. Мы увидим далее, что состояния такого обекта описываются двумерными матрицами вида (2.9). Как было показано в § 2, множество всех таких матриц можно представить как шар в трехмерном вещественном пространстве. Полезно проследить, какого рода ограничения могут привести к отображению классического симплекса на выпуклое множество, которбе в смысле однозначности разложения по крайним точкам «противоположно» симплексу: вся граница его состоит из крайних точек и разложение является в высшей степени неоднозначным.
Рис. 4.
Рассмотрим схему эксперимента ШШтерна Герлаха, который в свое время и привел к открытию спина. Пучок частиц (в опытах Штерна-Герлаха это были атомы серебра) пропускался между полюсами магнита, который создавал неоднородное магнитное поле . Частицы, прошедшие через поле, оседали на пластинке , так. что по распределению плотности вещества, осевшего на пластинке, можно было судить об отклонении частии под действием неоднородного магнитного поля (рис. 4).
Тогда как классическая теория предсказывала всевозможные отклонения, т. е. более или менее равномерное осаждение вещества на пластинке, в эксперименте наблодалось четкое разделение отклонившихся частиц на два симметричных пучка Используя атомы других веществ, можно было получить расщепление исходного пучка на другое число компонент , где -целое или полу. целое число, называемое спином данного сорта атомов (при расщеплении на два пучка спин равен ).
Рассмотрим модифицированный эксперимент Штерна Герлаха, в котором вместо пластинки находится экран с отверстием, пропускающий верхний пучок и поглощающий нижний. Такого рода прибор можно назвать фильтром Штерна — Герлаха. Отфильтрованный пучок, который называется поляризованным в направлении , не распадается далее при повторном пропускании через поле с тем же направлением , однако распадается, если направление будет другое. При пропускании через второй фильтр с противоположным направлением отфильтрованный пучок полностью поглощается.
Рис. 5.
Схематизированное молное описание фильтра определяется заданием единичного вектора в трехмерном пространстве, указывающего ориентацию фильтра, т. е. направление (все остальные параметры остаются фиксированными и поэтому могут быть исключены из описания). Рассмотрим следующий эксперимент: пучок частиц определенной интенсивности пропускается через фильтр (приготовление), затем выходящий пучок пропускается через фильтр , после чего с помощью того или иного детектора определяется интенсивность прошедшего пучка (измерение) (рис. 5). Отношение ввыходвоф\» интенсивности к половине «входной» интенсивности дает для индивидуальной частицы вероятность того, что частица, кприготовленная» фильтром , пройдет через (предполагается, что пучок, входящий в , является ехаотическим», так что проходит через ).
Пространством в этом случае будет множество всевозможных направлений , т. е. единичная сфера в трехмерном вещественном пространстве. Классическое
состояние на описывает «частично поляризованныйэ пучок, чистое состояние соответствует полностью поляризованному, а равномерное распределение — хаотическому пучку.
Обозначим вероятность прохождения частицы в эксперименте на рис. 5. Из соображений симметрии естественно ожидать, что эта вероятность зависит только от величины угла между направлениями и , или от его косинуса, . Итак, , .
Если направление совпадает с , то весь пучок, выходящий из первого фильтра, пройдет через второй. Если направление противоположно , то весь пучок поглотится втоғым фильтром. Отсюда
Вообще, для любого направления отклонившиеся частицы пойдут либо в направлении , либо в противоположном, откуда , или . Таким образом, является нечетной функцией . Простейшей непрерывной функцией, удовлетворяющей этим условиям, является линейная функция
где -скалярное произведение векторов в . Как мы увидим далее, именно такое выражение дает для вероятности квантовомеханическая модель в двумерном комплексном пространстве. Это распределение подтверждается и экспериментальными данными.
Таким образом, в нашем случае пространством является сфера , а множество тестов является семейством функций вида . Условие неразличимости двух классических состояний сводится к следующему:
или . Следовательно, состояния находятся во взаимно-однозначном аффинном соответствии с векторами, представимыми в виде , где — распределение вероятностей на , т. е. с точками единичного шара в трехмерном пространстве, который изоморфен . Соответствие , аффинно переводящее классические состояния в квантовые , дается формулой
где . Сопоставляя тесту, который характеризуется направлением , матрицу
получаем два выражения для условной вероятности получить результат для теста в состоянии :
Если угодно, мы дали явное построение модели со ескрытыми переменными для частицы со спином . Мы продолжим обсуждение этого вопроса в §7, а сейчас рассмотрим общую статистическую модель квантовой механики.