Предположение о полной наблюдаемости, на котором основывается классическая статистическая модель, является определенной идеализацией, и выводы, к которым приводит это предположение, разумеется, должны сопоставляться с данными опыта. Фактически далеко не всякий воображаемый эксперимент является реально выполнимым, и возможность неограниченно увеличивать точность измерений представляется не столь безусловной. Не вдаваясь здесь в обсуждение природы ограничений на множество возможных измерений, изучим с общих позиций последствия для статистической модели, к которым приводит наличие таких ограничений.

Рассмотрим произвольную статистическую модель с множеством состояний $\mathbb{C}$ и множеством измерений $\mathfrak{M}$. Два состояния $S_{1}, S_{2}$ назовем неразличимыми, если для любого измерения $S \rightarrow \mu_{S}$ из класса $\mathfrak{M}$ распределения вероятностей совпадают: $\mu_{s_{1}}=\mu_{s_{2}}$. Статистическую модель ( $\bigodot, \mathfrak{M}$ ) назовем отделимой, если в ней нет неразличимых состояний $S_{1}
eq S_{2}$. Допустим, что экспериментатор, проводящий измерения, не знает, в каком из состояний $S_{1}$, $S_{2}$ действительно приготовлен данный объект. С точки зрения такого экспериментатора, располагсюцего лишь статистикой всевозможных измерений, неразличимые состояния будут абсолютно идентичными, что и оправдывает этот термин.

Можно объединить неразличимые состояния $S$ в классы эквивалентности [S]. Отображение $S \rightarrow[S]$ аффинно, и множество классов эквивалентности будет некоторым
เгл. เ
новым выпуклым множеством $\mathscr{O}^{\prime}$. Полагая $\mu_{[S]}=\mu_{S}$, где $S$-какой-либо представитель из класса [ $S$ ], получаем новую статистическую модель с множеством состояний $\mathcal{O}^{\prime}$ и измерений $\mathfrak{M}$. Эта модель совершенно эквивалентна исходной с точки зрения описания статистики результатов измерения, однако она уже является отделимой. Описанный переход от исходной модели к отделимой мы назовем редукцией. Фактически мы уже встретились с таким переходом в § 1; проведенные там рассуждения показывают, что именно отделимая статистическая модель является конечным продуктом анализа статистики измерений.

Интересным в этой тривиальной конструкции является то, что редуцированное множество состояний $\mathscr{O}^{\prime}$ может радикально отличаться от исходного множества ( . В частности, если исходным множеством является классический симплекс $\mathfrak{P}(\Omega)$, то, подбирая соответствующим образом множество измерений $\mathfrak{M}$, в качестве $\mathcal{O}^{\prime}$ можно получить практически любое выпуклое множество. В частности, свойство однозначности представления по крайним точкам уже может не иметь места для редуцированных состояний из $\mathcal{O}^{\prime}$. Чтобы проиллюстрировать это положение, приведем простейший пример.

Рассмотрим некоторый условный объект, для которого имеются четыре различных варианта приготовления чистого состояния, т. е. $\Omega=\Omega_{4}$, так что всякое состояние задается вектором $\left[P_{1}, \ldots, P_{4}\right]$ из трехмерного симплекса $P_{4}$. В качестве измерений мы будем рассматривать только тесты. Рассмотрим 4-мерный гиперкуб $\mathfrak{Q}_{1}=\left\{\left[X_{1}, \ldots, X_{1}\right]\right.$ : $\left.0 \leqslant X_{j} \leqslant 1, j=1, \ldots, 4\right\}$ и подмножество тестов $\mathfrak{N} i$, получающееся от пересечения куба с гиперплоскостью
\[
X_{1}+X_{2}=X_{3}+X_{4} \text {. }
\]

Состояния $P=\left\{P_{j}\right\}$ и $Q=\left\{Q_{j}\right\}$ неразличимы относительно множества тестов $\mathfrak{M}$, если из (5.1) следует
\[
\sum_{i} P_{j} X_{j}=\sum_{j} Q_{j} X_{j}
\]
т. е. если вектор $\left[P_{j}-Q_{j}\right]$ перпендикулярен гиперплоскости (5.1). Ортогональное дополнение к (5.1) является одномерным подпространством, натянутым на вектор $e=$ $=[1,1,-1,-1]$, поэтому состояния $P=\left\{P_{j}\right\}$ и $Q=$
$=\left\{Q_{j}\right\}$ неразличимы тогда и только тогда, когда соответствующие векторы лежат на одной прямой с направляющим вектором $e$, для некоторого $t$
\[
\begin{array}{ll}
P_{1}=Q_{1}+t, & P_{3}=Q_{3}-t, \\
P_{2}=Q_{2}+t, & P_{4}=Q_{4}-t .
\end{array}
\]

Если изобразить $\mathfrak{P}_{4}$ в виде тетраэдра, погруженного в трехмерное пространство (рис. 3), то числа $P_{j}$ будут барицентрическими координатами точки внутри тетраэдра ( $P_{f}$ есть расстояние от точки до грани, противоположной вершине $j$ ), а уравнения (5.2) задают прямые, проходящие в направлении, соединяющем середины ребер $[1,2]$ и $[3,4]$. Класс неразличимых состояний образуют точки тетраэдра, лежащие на любой такой прямой. Поэтому множество состояний можно отождествить с проекцией тетраэдра вдоль указанного направления на лобую

Рис. 3. подходящую плоскость (см. рис. 3). Множество состояний является в этом случае выпуклым qетырехугольником на плоскости.

На этом примере уже видно, каким образом ограничения на множество тестов приводят к «склеиванию» состояний и возникновению новых выпуклых множеств, в которых нет однозначности представления по крайним точкам. Не входя пока в более подробное обсуждение этого вопроса, заметим, что ограничения на множество измерений могут возникнуть как отражение тех или иных эмпирических «законов симметрии» В нашем примере роль такого єзакона» играет равенство (5.1); в статистических моделях квантовой механики, где существенную роль играет пространственно-временно́ описание объекта, на первый план выходят законы симметрии относительно групп кинематических и динамических преобразований (пространственных и временныіх сдвигов, поворотов, отражений).

Рассмотрим теперь пример, относящийся к квантовой механике, а именно к описанию квантовой частицы со спином 1/2. Мы увидим далее, что состояния такого обекта описываются двумерными матрицами вида (2.9). Как было показано в § 2, множество всех таких матриц $\mathscr{\bigodot}_{8}$ можно представить как шар в трехмерном вещественном пространстве. Полезно проследить, какого рода ограничения могут привести к отображению классического симплекса на выпуклое множество, которбе в смысле однозначности разложения по крайним точкам «противоположно» симплексу: вся граница его состоит из крайних точек и разложение является в высшей степени неоднозначным.
Рис. 4.
Рассмотрим схему эксперимента ШШтерна Герлаха, который в свое время и привел к открытию спина. Пучок частиц (в опытах Штерна-Герлаха это были атомы серебра) пропускался между полюсами магнита, который создавал неоднородное магнитное поле $\boldsymbol{B}$. Частицы, прошедшие через поле, оседали на пластинке $\mathscr{E}$, так. что по распределению плотности вещества, осевшего на пластинке, можно было судить об отклонении частии под действием неоднородного магнитного поля $B$ (рис. 4).

Тогда как классическая теория предсказывала всевозможные отклонения, т. е. более или менее равномерное осаждение вещества на пластинке, в эксперименте наблодалось четкое разделение отклонившихся частиц на два симметричных пучка Используя атомы других веществ, можно было получить расщепление исходного пучка на другое число компонент $2 j+1$, где $j$-целое или полу. целое число, называемое спином данного сорта атомов (при расщеплении на два пучка спин равен $1 / 2$ ).
Рассмотрим модифицированный эксперимент Штерна Герлаха, в котором вместо пластинки находится экран с отверстием, пропускающий верхний пучок и поглощающий нижний. Такого рода прибор можно назвать фильтром Штерна – Герлаха. Отфильтрованный пучок, который называется поляризованным в направлении $B$, не распадается далее при повторном пропускании через поле с тем же направлением $\boldsymbol{B}$, однако распадается, если направление $\boldsymbol{B}$ будет другое. При пропускании через второй фильтр с противоположным направлением $\boldsymbol{B}$ отфильтрованный пучок полностью поглощается.
Рис. 5.
Схематизированное молное описание фильтра определяется заданием единичного вектора $\theta=\left[\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{2}\right]$ в трехмерном пространстве, указывающего ориентацию фильтра, т. е. направление $\boldsymbol{B}$ (все остальные параметры остаются фиксированными и поэтому могут быть исключены из описания). Рассмотрим следующий эксперимент: пучок частиц определенной интенсивности пропускается через фильтр $\theta_{\text {in }}$ (приготовление), затем выходящий пучок пропускается через фильтр $\boldsymbol{\theta}_{\text {out, }}$, после чего с помощью того или иного детектора определяется интенсивность прошедшего пучка (измерение) (рис. 5). Отношение ввыходвоф\” интенсивности к половине «входной» интенсивности дает для индивидуальной частицы вероятность того, что частица, кприготовленная» фильтром $\theta_{\text {in }}$, пройдет через $\boldsymbol{\theta}_{\text {out }}$ (предполагается, что пучок, входящий в $\boldsymbol{\theta}_{\text {in }}$, является ехаотическим», так что проходит через $\theta_{\text {in }}$ ).

Пространством $\Omega$ в этом случае будет множество всевозможных направлений $\theta_{\text {in }}$, т. е. единичная сфера $\mathbb{S}^{\mathfrak{a}}$ в трехмерном вещественном пространстве. Классическое
состояние $P(d \theta)$ на $\boldsymbol{S}^{2}$ описывает «частично поляризованныйэ пучок, чистое состояние $\delta_{0}$ соответствует полностью поляризованному, а равномерное распределение – хаотическому пучку.

Обозначим $P_{\theta_{\text {out }}}\left(\theta_{\text {in }}\right)$ вероятность прохождения частицы в эксперименте на рис. 5. Из соображений симметрии естественно ожидать, что эта вероятность зависит только от величины угла $\varphi$ между направлениями $\theta_{\text {in }}$ и $\theta_{\text {out }}$, или от его косинуса, $\cos \varphi=t$. Итак, $P_{\theta_{\text {out }}}\left(\theta_{\text {in }}\right)=F(t)$, $-1 \leqslant t \leqslant 1$.

Если направление $\theta_{\text {out }}$ совпадает с $\theta_{\text {in }}$, то весь пучок, выходящий из первого фильтра, пройдет через второй. Если направление $\theta_{\text {out }}$ противоположно $\boldsymbol{\theta}_{\text {in }}$, то весь пучок поглотится втоғым фильтром. Отсюда
\[
F(1)=1, \quad F(-1)=0 .
\]

Вообще, для любого направления $\theta_{\text {oul }}$ отклонившиеся частицы пойдут либо в направлении $\theta_{\text {out }}$, либо в противоположном, откуда $F(t)+F(-t)=1$, или $\frac{1}{2}-F(t)=$ $=-\frac{1}{2}+F(-t)$. Таким образом, $\frac{1}{2}-F(t)$ является нечетной функцией $t$. Простейшей непрерывной функцией, удовлетворяющей этим условиям, является линейная функция
\[
F(t)=\frac{1+t}{2}, \text { откуда } P_{\text {out }}\left(\theta_{\text {in }}\right)=\frac{1+\theta_{\text {out }} \cdot \theta_{\text {In }}}{2}=\cos ^{2} \frac{\varphi}{2},
\]

где $\boldsymbol{\theta}_{1} \cdot \boldsymbol{\theta}_{2}$-скалярное произведение векторов в $\mathbb{R}^{8}$. Как мы увидим далее, именно такое выражение дает для вероятности $P_{\text {out }_{\text {out }}}\left(\theta_{\text {in }}\right)$ квантовомеханическая модель в двумерном комплексном пространстве. Это распределение подтверждается и экспериментальными данными.

Таким образом, в нашем случае пространством $\Omega$ является сфера $\mathbb{S}^{2}$, а множество тестов $\mathfrak{M}$ является семейством функций вида $X(\theta)=\frac{1+0 \cdot \theta_{\text {out }}}{2} ; \theta_{\text {out }} \in S^{2}$. Условие неразличимости двух классических состояний $P_{1}, P_{2}$ сводится к следующему:
\[
\int \theta \cdot \theta_{0} P_{\perp}(d \theta)=\int \theta \cdot \theta_{0} P_{z}(d \theta), \quad \theta_{0} \in \mathbb{S}^{\&},
\]
или $\int \theta P_{1}(d \theta)=\int \theta P_{2}(d \theta)$. Следовательно, состояния находятся во взаимно-однозначном аффинном соответствии с векторами, представимыми в виде $\int \theta P(d \theta)$, где $P$ – распределение вероятностей на $\mathbb{S}$, т. е. с точками единичного шара в трехмерном пространстве, который изоморфен $\mathcal{S}_{2}$. Соответствие $P \rightarrow S$, аффинно переводящее классические состояния $P$ в квантовые $S$, дается формулой
\[
S=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}
1+\int \theta_{3} P(d \theta) & \int\left(\theta_{1}-i \theta_{2}\right) P(d \theta) \\
\int\left(\theta_{1}+i \theta_{2}\right) P(d \theta) & 1-\int \theta_{3} P(d \theta)
\end{array}\right],
\]

где $\theta=\left[\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}\right]$. Сопоставляя тесту, который характеризуется направлением $\theta_{\text {out }}=\left[\theta_{1}^{\prime}, \theta_{9}^{\prime}, \theta_{3}^{\prime}\right]$, матрицу
\[
X=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}
1+\theta_{8}^{\prime} & \theta_{1}^{\prime}-i \theta_{2}^{\prime} \\
\theta_{1}^{\prime}+i \theta_{2}^{\prime} & 1-\theta_{8}^{\prime}
\end{array}\right],
\]

получаем два выражения для условной вероятности получить результат $u=1$ для теста $X(\cdot)$ в состоянии $S$ :
\[
\operatorname{Pr}\{1 \mid S\}=\operatorname{Tr} S X=\int X(\theta) P(d \theta) .
\]

Если угодно, мы дали явное построение модели со ескрытыми переменными для частицы со спином $1 / 2$. Мы продолжим обсуждение этого вопроса в §7, а сейчас рассмотрим общую статистическую модель квантовой механики.