Главная > ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (А.С. Холево)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Предположение о полной наблюдаемости, на котором основывается классическая статистическая модель, является определенной идеализацией, и выводы, к которым приводит это предположение, разумеется, должны сопоставляться с данными опыта. Фактически далеко не всякий воображаемый эксперимент является реально выполнимым, и возможность неограниченно увеличивать точность измерений представляется не столь безусловной. Не вдаваясь здесь в обсуждение природы ограничений на множество возможных измерений, изучим с общих позиций последствия для статистической модели, к которым приводит наличие таких ограничений.

Рассмотрим произвольную статистическую модель с множеством состояний C и множеством измерений M. Два состояния S1,S2 назовем неразличимыми, если для любого измерения SμS из класса M распределения вероятностей совпадают: μs1=μs2. Статистическую модель ( ,M ) назовем отделимой, если в ней нет неразличимых состояний S1eqS2. Допустим, что экспериментатор, проводящий измерения, не знает, в каком из состояний S1, S2 действительно приготовлен данный объект. С точки зрения такого экспериментатора, располагсюцего лишь статистикой всевозможных измерений, неразличимые состояния будут абсолютно идентичными, что и оправдывает этот термин.

Можно объединить неразличимые состояния S в классы эквивалентности [S]. Отображение S[S] аффинно, и множество классов эквивалентности будет некоторым
เгл. เ
новым выпуклым множеством O. Полагая μ[S]=μS, где S-какой-либо представитель из класса [ S ], получаем новую статистическую модель с множеством состояний O и измерений M. Эта модель совершенно эквивалентна исходной с точки зрения описания статистики результатов измерения, однако она уже является отделимой. Описанный переход от исходной модели к отделимой мы назовем редукцией. Фактически мы уже встретились с таким переходом в § 1; проведенные там рассуждения показывают, что именно отделимая статистическая модель является конечным продуктом анализа статистики измерений.

Интересным в этой тривиальной конструкции является то, что редуцированное множество состояний O может радикально отличаться от исходного множества ( . В частности, если исходным множеством является классический симплекс P(Ω), то, подбирая соответствующим образом множество измерений M, в качестве O можно получить практически любое выпуклое множество. В частности, свойство однозначности представления по крайним точкам уже может не иметь места для редуцированных состояний из O. Чтобы проиллюстрировать это положение, приведем простейший пример.

Рассмотрим некоторый условный объект, для которого имеются четыре различных варианта приготовления чистого состояния, т. е. Ω=Ω4, так что всякое состояние задается вектором [P1,,P4] из трехмерного симплекса P4. В качестве измерений мы будем рассматривать только тесты. Рассмотрим 4-мерный гиперкуб Q1={[X1,,X1] : 0Xj1,j=1,,4} и подмножество тестов Ni, получающееся от пересечения куба с гиперплоскостью
X1+X2=X3+X4

Состояния P={Pj} и Q={Qj} неразличимы относительно множества тестов M, если из (5.1) следует
iPjXj=jQjXj
т. е. если вектор [PjQj] перпендикулярен гиперплоскости (5.1). Ортогональное дополнение к (5.1) является одномерным подпространством, натянутым на вектор e= =[1,1,1,1], поэтому состояния P={Pj} и Q=
={Qj} неразличимы тогда и только тогда, когда соответствующие векторы лежат на одной прямой с направляющим вектором e, для некоторого t
P1=Q1+t,P3=Q3t,P2=Q2+t,P4=Q4t.

Если изобразить P4 в виде тетраэдра, погруженного в трехмерное пространство (рис. 3), то числа Pj будут барицентрическими координатами точки внутри тетраэдра ( Pf есть расстояние от точки до грани, противоположной вершине j ), а уравнения (5.2) задают прямые, проходящие в направлении, соединяющем середины ребер [1,2] и [3,4]. Класс неразличимых состояний образуют точки тетраэдра, лежащие на любой такой прямой. Поэтому множество состояний можно отождествить с проекцией тетраэдра вдоль указанного направления на лобую

Рис. 3. подходящую плоскость (см. рис. 3). Множество состояний является в этом случае выпуклым qетырехугольником на плоскости.

На этом примере уже видно, каким образом ограничения на множество тестов приводят к «склеиванию» состояний и возникновению новых выпуклых множеств, в которых нет однозначности представления по крайним точкам. Не входя пока в более подробное обсуждение этого вопроса, заметим, что ограничения на множество измерений могут возникнуть как отражение тех или иных эмпирических «законов симметрии» В нашем примере роль такого єзакона» играет равенство (5.1); в статистических моделях квантовой механики, где существенную роль играет пространственно-временно́ описание объекта, на первый план выходят законы симметрии относительно групп кинематических и динамических преобразований (пространственных и временныіх сдвигов, поворотов, отражений).

Рассмотрим теперь пример, относящийся к квантовой механике, а именно к описанию квантовой частицы со спином 1/2. Мы увидим далее, что состояния такого обекта описываются двумерными матрицами вида (2.9). Как было показано в § 2, множество всех таких матриц 8 можно представить как шар в трехмерном вещественном пространстве. Полезно проследить, какого рода ограничения могут привести к отображению классического симплекса на выпуклое множество, которбе в смысле однозначности разложения по крайним точкам «противоположно» симплексу: вся граница его состоит из крайних точек и разложение является в высшей степени неоднозначным.
Рис. 4.
Рассмотрим схему эксперимента ШШтерна Герлаха, который в свое время и привел к открытию спина. Пучок частиц (в опытах Штерна-Герлаха это были атомы серебра) пропускался между полюсами магнита, который создавал неоднородное магнитное поле B. Частицы, прошедшие через поле, оседали на пластинке E, так. что по распределению плотности вещества, осевшего на пластинке, можно было судить об отклонении частии под действием неоднородного магнитного поля B (рис. 4).

Тогда как классическая теория предсказывала всевозможные отклонения, т. е. более или менее равномерное осаждение вещества на пластинке, в эксперименте наблодалось четкое разделение отклонившихся частиц на два симметричных пучка Используя атомы других веществ, можно было получить расщепление исходного пучка на другое число компонент 2j+1, где j-целое или полу. целое число, называемое спином данного сорта атомов (при расщеплении на два пучка спин равен 1/2 ).
Рассмотрим модифицированный эксперимент Штерна Герлаха, в котором вместо пластинки находится экран с отверстием, пропускающий верхний пучок и поглощающий нижний. Такого рода прибор можно назвать фильтром Штерна — Герлаха. Отфильтрованный пучок, который называется поляризованным в направлении B, не распадается далее при повторном пропускании через поле с тем же направлением B, однако распадается, если направление B будет другое. При пропускании через второй фильтр с противоположным направлением B отфильтрованный пучок полностью поглощается.
Рис. 5.
Схематизированное молное описание фильтра определяется заданием единичного вектора θ=[θ1,θ2,θ2] в трехмерном пространстве, указывающего ориентацию фильтра, т. е. направление B (все остальные параметры остаются фиксированными и поэтому могут быть исключены из описания). Рассмотрим следующий эксперимент: пучок частиц определенной интенсивности пропускается через фильтр θin  (приготовление), затем выходящий пучок пропускается через фильтр θout, , после чего с помощью того или иного детектора определяется интенсивность прошедшего пучка (измерение) (рис. 5). Отношение ввыходвоф\» интенсивности к половине «входной» интенсивности дает для индивидуальной частицы вероятность того, что частица, кприготовленная» фильтром θin , пройдет через θout  (предполагается, что пучок, входящий в θin , является ехаотическим», так что проходит через θin  ).

Пространством Ω в этом случае будет множество всевозможных направлений θin , т. е. единичная сфера Sa в трехмерном вещественном пространстве. Классическое
состояние P(dθ) на S2 описывает «частично поляризованныйэ пучок, чистое состояние δ0 соответствует полностью поляризованному, а равномерное распределение — хаотическому пучку.

Обозначим Pθout (θin ) вероятность прохождения частицы в эксперименте на рис. 5. Из соображений симметрии естественно ожидать, что эта вероятность зависит только от величины угла φ между направлениями θin  и θout , или от его косинуса, cosφ=t. Итак, Pθout (θin )=F(t), 1t1.

Если направление θout  совпадает с θin , то весь пучок, выходящий из первого фильтра, пройдет через второй. Если направление θout  противоположно θin , то весь пучок поглотится втоғым фильтром. Отсюда
F(1)=1,F(1)=0.

Вообще, для любого направления θoul  отклонившиеся частицы пойдут либо в направлении θout , либо в противоположном, откуда F(t)+F(t)=1, или 12F(t)= =12+F(t). Таким образом, 12F(t) является нечетной функцией t. Простейшей непрерывной функцией, удовлетворяющей этим условиям, является линейная функция
F(t)=1+t2, откуда Pout (θin )=1+θout θIn 2=cos2φ2,

где θ1θ2-скалярное произведение векторов в R8. Как мы увидим далее, именно такое выражение дает для вероятности Pout out (θin ) квантовомеханическая модель в двумерном комплексном пространстве. Это распределение подтверждается и экспериментальными данными.

Таким образом, в нашем случае пространством Ω является сфера S2, а множество тестов M является семейством функций вида X(θ)=1+0θout 2;θout S2. Условие неразличимости двух классических состояний P1,P2 сводится к следующему:
θθ0P(dθ)=θθ0Pz(dθ),θ0S&,
или θP1(dθ)=θP2(dθ). Следовательно, состояния находятся во взаимно-однозначном аффинном соответствии с векторами, представимыми в виде θP(dθ), где P — распределение вероятностей на S, т. е. с точками единичного шара в трехмерном пространстве, который изоморфен S2. Соответствие PS, аффинно переводящее классические состояния P в квантовые S, дается формулой
S=12[1+θ3P(dθ)(θ1iθ2)P(dθ)(θ1+iθ2)P(dθ)1θ3P(dθ)],

где θ=[θ1,θ2,θ3]. Сопоставляя тесту, который характеризуется направлением θout =[θ1,θ9,θ3], матрицу
X=12[1+θ8θ1iθ2θ1+iθ21θ8],

получаем два выражения для условной вероятности получить результат u=1 для теста X() в состоянии S :
Pr{1S}=TrSX=X(θ)P(dθ).

Если угодно, мы дали явное построение модели со ескрытыми переменными для частицы со спином 1/2. Мы продолжим обсуждение этого вопроса в §7, а сейчас рассмотрим общую статистическую модель квантовой механики.

1
Оглавление
email@scask.ru