В предыдущем параграфе было показано, что из самых общих свойств статистического описания эксперимента возникают две основные математические структуры: выпуклость (смешивание) в множестве состояний и подчиненность в множестве измерений. Значение этих структур в контексте квантовомеханического описания подчеркивалось еще в книге фон Неймана. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

В квантовой механике с каждой системой связывается комплексное гильбертово пространство Н. Для простоты будем считать его конечномерным. Тогда Н состоит из векторов-столбцов $\psi=\left[\begin{array}{c}\psi_{1} \\ \vdots \\ \psi_{n}\end{array}\right]$, где $\psi_{j}-$ комплексные числа. Обозначая $\psi^{*}=\left[\bar{\psi}_{1}, \ldots, \bar{\psi}_{n}\right]$ эрмитовосопряженный вектор-строку, мы можем записать скалярное произведение в пространстве Н в виде $(\varphi \mid \psi)=\varphi^{*} \psi$. Всякому ансамблю квантовых систем, определяющему некоторое квантовое состояние, сопоставляется матрица плотности $\widehat{S}=\left[s_{i j}\right]$, обладающая свойствами
\[
\widehat{S} \geqslant 0, \quad \operatorname{tr} \widehat{S}=1 .
\]

Первое соотношение означает, что матрица является эрмитовой $\left(s_{i j}=\bar{s}_{j i}\right)$ и положительно определенной, а $\operatorname{tr} \widehat{S}=$ $=\sum_{i} s_{i i}$ есть след матрицы. Если два ансамбля, описываемые матрицами плотности $\widehat{S}_{1}, \widehat{S}_{2}$, смешиваются в пропорции $p:(1-p)$, то смешанному ансамблю сопоставляется матрица $p \widehat{S}_{1}+(1-p) \widehat{S}_{2}$, которая, как легко понять, является матрицей плотности. Таким образом, множество $\widehat{\mathbf{S}}$ всех квантовых состояний – матриц плотности – является выпуклым, причем образование выпуклых комбинаций отвечает смешиванию ансамблей. Крайние точки множества $\widehat{\mathbf{S}}-$ чистые квантовые состояния – задаются матрицами плотности вида $\widehat{S}_{\psi}=\psi \psi^{*}$, где $\psi$ – единичный вектор: $(\psi \mid \psi)=$ $=1$. Геометрически описать выпуклое множество $\widehat{\mathbf{S}}$ весьма сложно, за исключением случая $n=2$, когда оно оказывается шаром в трехмерном вещественном пространстве. Всякая матрица плотности представляется в виде смеси крайних точек
\[
\widehat{S}=\sum_{j} p_{j} \widehat{S}_{\psi_{j}} ; \quad p_{j} \geqslant 0, \quad \sum_{j} p_{j}=1,
\]

но в противоположность классической картине это представление в высшей степени неоднозначно.

Наблюдаемые величины описываются в квантовой механике эрмитовыми матрицами $\widehat{X}=\left[x_{i j}\right]$. Возможными исходами измерения наблюдаемой $\widehat{X}$ считаются ее собственные значения. Запишем спектральное разложение матрицы $\widehat{X}$ :
\[
\widehat{X}=\sum_{j} x_{j} \widehat{E}_{j}
\]

где $\widehat{E}_{j}$ – ортогональный проектор на подпространство из собственных векторов матрицы $\widehat{X}$, отвечающих собственному значению $x_{j}$. Семейство $\widehat{E}=\left\{\widehat{E}_{j}\right\}$ образует ортогональное разложение единицы в $\mathrm{H}$ :
\[
\sum_{j} \widehat{E}_{j}=\widehat{I}, \quad \widehat{E}_{j} \widehat{E}_{k}=0 \quad \text { при } j
eq k, \quad \widehat{E}_{j}^{2}=\widehat{E}_{j}
\]

где $\widehat{I}$ – единичная матрица. Соответственно $\mathrm{H}$ разлагается в прямую сумму взаимно ортогональных подпространств $H_{j}=\widehat{E}_{j}(\mathrm{H})$.

Согласно правилам матричной алгебры для любой вещественное функции $f$
\[
f(\widehat{X})=\sum_{j} f\left(x_{j}\right) \widehat{E}_{j} .
\]

При этом среди чисел $f\left(x_{j}\right)$ возможны одинаковые, так что некоторые слагаемые суммы (7) могут быть сгруппированы. Как и в классической картине, удобно сразу рассматривать представления наблюдаемой $\widehat{X}$ в виде (6), не предполагая, что все $x_{j}$ различны. Тогда разложение единицы $\widehat{E}$ в (6) определяется по наблюдаемой $\widehat{X}$, вообще говоря, не единственным образом и может быть более или менее «подробным». Спектральная теорема дает единственное «наименее подробное» из таких разложений единицы. Производя все более подробиные разбиения, мы в конце концов придем к «максимальному», т. е. далее не разделимому разложению единицы, которое определяется любым базисом из собственных векторов матрицы $\widehat{X}$. Такое максимальное разложение единицы будет не единственным, если у $\widehat{X}$ имеются кратные собственные значения.

По определению вероятность $j$-го исхода при измерении наблюдаемой $\widehat{X}$ считается равной
\[
\mu_{\widehat{S}}^{\widehat{E}}(j)=\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}_{j} .
\]

Отсюда и из (6) видно, что среднее значение наблюдаемой $\widehat{X}$ в состоянии $\widehat{S}$ равно $\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{X}$. Для чистого состояния $\widehat{S}_{\psi}$ среднее значение приобретает вид $(\psi \mid \widehat{X} \psi$ ).

Таким образом, можно сказать, что стандартная форма квантовой механики описывается статистической моделью $(\widehat{\mathbf{S}}, \widehat{\mathbf{E}})$, где $\widehat{\mathbf{E}}-$ совокупность всевозможных ортогональных разложений единицы в $\mathrm{H}$, описывающих измерения квантовых наблюдаемых.

Внимательный читатель, очевидно, отметит аналогию между соотношениями (1), (2), (3) классической колмогоровской модели и соотношениями (6), (7), (8). Естественно рассмотреть и квантовый аналог вальдовской модели, в которой измерения описываются произвольными (не ортогональными) разложениями единицы в $H$, т. е. семействами матриц $\widehat{M}=\left\{\widehat{M}_{j}\right\}$, удовлетворяющих условиям
\[
\sum_{j} \widehat{M}_{j}=\widehat{I}, \quad \widehat{M}_{j} \geqslant 0
\]

Несмотря на то что математический аппарат квантовой механики с самого начала содержал все необходимые для этого предпосылки, роль неортогональных разложений единицы в теории квантового измерения была понята лишь в 70 -е годы с развитием статистического подхода. Формально такое расширение понятия квантового измерения подобно введению рандомизованных процедур в классической картине. С этой точки зрения ортогональные разложения единицы описывают важный подкласс измерений, в которых стохастичность, обусловленная собственно измерительной процедурой, сведена к минимуму, допускаемому данной статистической моделью. В этом смысле они аналогичны классическим детерминированным процедурам. Однако эта аналогия не является полной в одном важном отношении: если в классической картине измерения, определяемые требованиями статистической оптимальности типа предельной точности, максимальной информативности и т. п., оказываются детерминированными, то в квантовой механике статистически и информационно оптимальные процедуры далеко не всегда описываются ортогональными разложениями единицы. Как было показано в § 2, классическое рандомизованное измерение сводится к наблюдению над составной системой, включающей объект и источник случайных чисел. Интуитивно ясно, что такой способ наблюдения не может нести больше информации о состоянии классического объекта, чем прямое наблюдение, не использующее рандомизации. Однако в квантовой статистике, как это ни кажется парадоксальным, подключение независимой «квантовой рулетки» позволяет в ряде случаев увеличить объем измерительной информации о состоянии системы. Стоит отметить, что осознанию этого факта способствовали постановка и решение некоторых прикладных вопросов из области квантовых каналов связи [20], [22]. Причина здесь кроется в свойстве «неразделимости» квантовомеханического описания и в обусловленных им специфических связях между компонентами составной системы, которые будут обсуждаться в гл. II.

Поскольку основным предметом нашего рассмотрения будет проблема скрытых параметров, которая возникла и обсуждалась в рамках традиционной схемы квантовой механики, то мы и будем ее в дальнейшем придерживаться. При этом надо заметить, что все основные результаты и выводы могут быть обобщены и на расширенную модель квантовой механики, использующую для описания измерений произвольные разложения единицы.