Наиболее важным качеством математического аппарата квантовой механики с точки зрения физики является возможность описания характерных черт взаимодействия микрообъектов, не находящих отражения в классической картине. Тем не менее первый шаг в квантовомеханическом описании взаимодействия следует в основном рецепту, заимствованному из классики. Именно вводится понятие системы невзаимодействующих «уединенных» компонент, а затем взаимодействие задается в терминах элементов этой составной системы. Таким образом, когда речь идет о взаимодействии, то исходным математическим материалом служит не столько модель уединенной квантовой системы, сколько категория таких моделей с операцией произведения, задающей правило образования составной системы. В классической механике рассматриваются всевозможные фазовые (симплектические) пространства с операцией прямого произведения, а в квантовой – гильбертовы пространства с операцией тензорного произведения.

Обсудим эту операцию, для простоты не принимая в учет дополнительных осложнений, связанных с неразличимостью квантовых частиц. Тензорным произведением векторов $\psi_{1} \in \mathrm{H}_{1}$ с компонентами $\left[\psi_{1}^{i}\right]$ и $\psi_{2} \in \mathrm{H}_{2}$ с компонентами $\left[\psi_{2}^{j}\right]$ называется вектор $\psi_{1} \otimes \psi_{2}$ с компонентами $\left[\psi_{1}^{i} \psi_{2}^{j}\right]$, который удобно изображать матрицей. Пространство $\mathrm{H}_{1} \otimes \mathrm{H}_{2}$ состоит из всевозможных линейных комбинаций (суперпозиций) векторов вида $\psi_{1} \otimes \psi_{2}$, т.е. из всевозможных матриц $\left[\psi^{i j}\right]$. Рассмотрим чистое состояние составной системы, определяемое единичным вектором $\psi \in \mathrm{H}_{1} \otimes \mathrm{H}_{2}$ (для краткости будем дальше отождествлять вектор $\psi$ с соответствующим чистым состоянием). Далеко не каждый такой вектор может быть записан в факторизованной форме $\psi_{1} \otimes \psi_{2}$, соответствующей тому, что первая и вторая компоненты находятся в однозначно определенных чистых состояниях. Значительная часть векторов $\psi$ имеет вид суперпозиций подобных произведений. Для такой суперпозиции не представляется возможным провести однозначное разделение составной системы на первую и вторую компоненты. Эти нефакторизуемые состояния системы представляют собой целостные образования, в которых ее части существуют, как принято говорить, виртуально. В этом заключается свойство квантовой неразделимости.

На первый взгляд кажется непонятным, как такое слияние частей может произойти еще до начала взаимодействия компонент. Объяснение состоит в том, что приготовление нефакторизуемого чистого состояния составной системы предполагает предварительное взаимодействие между компонентами. В самом деле, всякий вектор $\psi$ можно получить из факторизуемого $\psi_{1} \otimes \psi_{2}$ действием некоторого унитарного оператора $U$ в $\mathrm{H}_{1} \otimes \mathrm{H}_{2}$, так что $\psi=U\left(\psi_{1} \otimes \psi_{2}\right)$. Тогда приготовление состояния $\psi$ заключается в том, что компоненты, находящиеся в состояниях $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$, приводятся во взаимодействие, результат которого описывается оператором $U$. В отличие от классической механики, где приготовление любого состояния может быть полностью описано в кинематических терминах, в квантовой механике в описании приготовления многих состояний с необходимостью должен присутствовать динамический элемент.

Рассмотрим с этой точки зрения модель со скрытыми параметрами, предложенную в § 2. Поскольку множество чистых состояний $\Omega^{\prime}$ составной системы шире прямого произведения $\Omega_{1}^{\prime} \times \Omega_{2}^{\prime}$, где $\Omega_{j}^{\prime}-$ множество чистых состояний $j$-й компоненты, то и фазовое пространство классического описания для составной системы будет шире произведения фазовых пространств компонент: $\Omega_{1} \times \Omega_{2} \varsubsetneqq \Omega$. Таким образом, построенное в $\S 2$ классическое описание не является соответствием между категориями классических и квантовых систем, сохраняющим операции произведения в этих категориях.

Оказывается, что вообще не существует способа установить такое соответствие. Более того, в любом классическом описании составной квантовой системы величины, отвечающие наблюдаемым отдельных компонент, с необходимостью «зацеплены» так, как это не свойственно для компонент классической системы. Чтобы сформулировать точный результат, заметим, что наблюдаемые, относящиеся к первой и второй компонентам, имеют соответственно вид $\widehat{X}=\widehat{X}_{1} \otimes \widehat{I}_{2}, \widehat{Y}=\widehat{I}_{1} \otimes \widehat{Y}_{2}$, где $\widehat{X}_{1}$ – оператор в Н ${ }_{1}, \widehat{Y}_{2}-$ оператор в $\mathrm{H}_{2}$, а $\widehat{I}_{j}$ – единичный оператор в $\mathrm{H}_{j}$. Разумеется, $\widehat{X} \widehat{Y}=\widehat{Y} \widehat{X}$, так что наблюдаемые, относящиеся к разным компонентам, всегда совместимы, однако $\widehat{X}$ и $\widehat{Y}$ обладают еще и более сильным свойством алгебраической независимости – из $f(\widehat{X})=g(\widehat{Y})$ следуег: $f(\widehat{X})=g(\widehat{Y})=$ const $\cdot \widehat{I}$ (этим свойством не обладают, например, коммутирующие величины $\widehat{X}$ и $\widehat{X}^{2}$, если $\widehat{X}^{2}
eq$ const $\cdot \widehat{I}$ ).

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Не существует классического описания $S \rightarrow \widehat{S}, X \rightarrow \widehat{X}$ составной квантовой системы в пространстве $\mathrm{H}_{1} \otimes \mathrm{H}_{2}$, удовлетворяющего условиям (Е.1), (X.2) и следующему условию разделимости:
(Х.6) для любых наблюдаемых $\widehat{X}^{1}, \ldots, \widehat{X}^{n}$, относяцихся к первой компоненте, $и \widehat{Y}^{1}, \ldots, \widehat{Y}^{m}$, относящихся ко второй компоненте, найдутся случайные величины $X^{1}, \ldots, X^{n}$ и $Y^{1}, \ldots, Y^{m}$, такие, что $X^{i} \rightarrow \widehat{X}^{i}, Y^{j} \rightarrow \widehat{Y}^{j}$ $u \widehat{X^{i} Y^{j}}=\widehat{X}^{i} \cdot \widehat{Y}^{j}$.

Более того, будет показано, что этому условию нельзя удовлетворить уже при $n=m=2$. Отметим, что выполнения условий однозначности (X.0) или (S.0) здесь не требуется. Утверждение означает, что хотя для любой пары $\widehat{X}$, $\widehat{Y}$ всегда можно найти $X, Y$, такие, что $\widehat{X Y}=\widehat{X} \cdot \widehat{Y}$ (это вытекает из возможности удовлетворить правилу произведений (X.4)), невозможно сделать это так, чтобы значение $Y$

было одинаковым для всех $\widehat{X}$, а $X$ – одинаковым для всех $\widehat{Y}$. Выражение $\widehat{X} \cdot \widehat{Y}$ входит в корреляцию
\[
\langle\widehat{X} \cdot \widehat{Y}\rangle=\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{X} \cdot \widehat{Y}
\]

результатов совместных измерений $\widehat{X}$ и $\widehat{Y}$. Таким образом, для того чтобы воспроизводить квантовомеханические корреляции между компонентами системы, теория со скрытыми параметрами должна обладать следующим странным свойством: выбор способа, которым производится наблюдение величины $\widehat{Y}$ над второй компонентой, с необходимостью должен зависеть от того, какая величина $\widehat{X}$ наблюдается над первой компонентой.

Доказательство утверждения 5 основано на элементарном неравенстве, которое является одной из многочисленных модификаций знаменигого неравенства Белла [29].

Предположим, что можно удовлетворить условию разделимости для $n=m=2$, и докажем, что тогда для любых наблюдаемых $\widehat{X}, \widehat{X}^{\prime}$, относящихся к первой компоненте, и любых $\widehat{Y}, \widehat{Y}^{\prime}$, относящихся ко второй и принимающих значения, по модулю не превосходящие 1 , выполняется
\[
\left|\langle\widehat{X} \widehat{Y}\rangle+\left\langle\widehat{X} \widehat{Y}^{\prime}\right\rangle\right|+\left|\left\langle\widehat{X}^{\prime} \widehat{Y}\right\rangle-\left\langle\widehat{X}^{\prime} \widehat{Y}^{\prime}\right\rangle\right| \leqslant 2 .
\]

В силу условия (Е.1) и условия разделимости достаточно доказать это неравенство для корреляций классических наблюдаемых $X(\omega), Y(\omega), X^{\prime}(\omega), Y^{\prime}(\omega)$, даваемых формулами вида $\langle X Y\rangle=\int S(d \omega) X(\omega) Y(\omega)$, и т. п. В силу спектрального правила (X.2) должно выполняться $|X| \leqslant 1$, $|Y| \leqslant 1,\left|X^{\prime}\right| \leqslant 1,\left|Y^{\prime}\right| \leqslant 1$, откуда $X Y+X Y^{\prime}+X^{\prime} Y-$ $-X^{\prime} Y^{\prime} \leqslant 2$.

Усредняя это неравенство, получаем $\left(\langle X Y\rangle+\left\langle X Y^{\prime}\right\rangle\right)+$ $+\left(\left\langle X^{\prime} Y\right\rangle-\left\langle X^{\prime} Y^{\prime}\right\rangle\right) \leqslant 2$.

Меняя, если необходимо, $X$ или $X^{\prime}$ на $-X$ или $-X^{\prime}$, получаем (19).

Остается показать, что в любой составной квантовомеханической системе найдутся наблюдаемые $\widehat{X}, \widehat{X}^{\prime}, \widehat{Y}, \widehat{Y}^{\prime}$ и
состояние $\widehat{S}$, для которых неравенство (19) не выполняется. Для этого рассмотрим сначала конкретную систему, состоящую из двух (различных) частиц со спином $1 / 2$, так что $\mathrm{H}_{1}$ и $\mathrm{H}_{2}$ двумерны. Обозначим $\widehat{X}(\boldsymbol{a})$, наблюдаемую составляющей спина первой частицы в направлении $\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$, $\widehat{Y}(\boldsymbol{b})$ – составляющей спина второй частицы в направлении $\boldsymbol{b}$. Тогда в базисе $\psi_{+}^{(1)}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right], \psi_{-}^{(1)}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]$ наблюдаемая $\widehat{X}(a)$ задается матрицей
\[
\widehat{X}(\boldsymbol{a})=\left[\begin{array}{cc}
a_{3} & a_{1}-i a_{2} \\
a_{1}+i a_{2} & -a_{3}
\end{array}\right],
\]
a $\widehat{Y}(\boldsymbol{b})$ задается аналогичной матрицей в соответствующем базисе $\psi_{+}^{(2)}, \psi_{-}^{(2)}$ в пространстве $\mathrm{H}_{2}$.

Пусть $S_{\psi}$ – чистое состояние составной системы, определяемое нефакторизуемым вектором
\[
\psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_{+}^{(1)} \otimes \psi_{-}^{(2)}-\psi_{-}^{(1)} \otimes \psi_{+}^{(2)}\right) .
\]

Рис. 5
Элементарный подсчет скалярного произведения показывает, что
\[
\langle\widehat{X}(\boldsymbol{a}) \cdot \widehat{Y}(\boldsymbol{b})\rangle \equiv(\psi \mid \widehat{X}(\boldsymbol{a}) \otimes \widehat{Y}(\boldsymbol{b}) \psi)=-\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} .
\]

Если выбрать четыре вектора $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}^{\prime}$, лежащих в одной плоскости, как показано на рис. 5 , то
\[
\begin{aligned}
\mid\langle\widehat{X}(\boldsymbol{a}) \widehat{Y}(\boldsymbol{b})\rangle+ & \left\langle\widehat{X}(\boldsymbol{a}) \widehat{Y}\left(\boldsymbol{b}^{\prime}\right)\right\rangle \mid+ \\
& +\left|\left\langle\widehat{X}\left(\boldsymbol{a}^{\prime}\right) \widehat{Y}(\boldsymbol{b})\right\rangle-\left\langle\widehat{X}\left(\boldsymbol{a}^{\prime}\right) \widehat{Y}\left(\boldsymbol{b}^{\prime}\right)\right\rangle\right|=2 \sqrt{2},
\end{aligned}
\]

что противоречит (19).
Для произвольной составной квантовой системы $\mathrm{H}_{1} \otimes \mathrm{H}_{2}$ всегда можно найти двухмерные подпространства $\mathrm{H}_{1} \subseteq \mathrm{H}_{1}$ и $\mathrm{H}_{2} \subseteq \mathrm{H}_{2}$ и провести для них указанную конструкцию, что доказывает утверждение 5 и в общем случае.

Лежащий в основе доказательства пример системы двух пространственно разделенных частиц очень важен по своим физическим следствиям. На него указали еще в 1935 г. А. Эйнштейн, Б. Подольский и Н. Розен (ЭПР) в ходе известной дискуссии о полноте квантовой механики ( $[1]$, с. 399 ; $[2]$, с. 604) (рассматривать частицы со спином предложил позднее Бом). ЭПР считали, что их пример показывает «неполноту» квантовомеханического описания. Неравенство Белла приводит к существенной перестановке акцентов: если квантовомеханическое описание верно, то попытка «дополнить» его путем введения скрытых параметров неизбежно приводит к противоречию с некоторым естественным принципом локальности.

Предположим, что $\mathrm{H}_{1}$ и $\mathrm{H}_{2}$ описывают спиновые степени свободы двух квантовых частиц со спином $1 / 2$, локализованных в макроскопически разделенных пространственных областях. Квантовая механика постулирует существование состояния системы из этих частиц, в котором совокупность спиновых переменных описывается произвольной суперпозицией факторизуемых векторов, в частности вектором (20). Более того, в принципе существует способ реализовать такое состояние, как результат некоторого предварительного взаимодействия; например, оно может возникнуть в результате разлета продуктов распада системы с нулевым спином.

Пусть теперь производится совместное измерение составляющих спина первой частицы в направлении $a$ и второй – в направлений $b$. После достаточно большой серии повторений статистическим усреднением находится корреляция между $\widehat{X}(\boldsymbol{a})$ и $\widehat{Y}(\boldsymbol{b})$. Сопоставим следующие три положения:
(I) правильные значения корреляций даются квантовомеханической формулой (21);
(II) существует классическое описание составной квантовой системы, удовлетворяющее спектральному правилу, т. е. сохраняющее «объективные значения» наблюдаемых;
(III) «реальная ситуация для первой частицы не зависит от того, что делается со второй частицей, пространственно отделенной от первой».

Последнее свойство называют эйнитейновской локальностью [2] или разделимостью [38]. Эйнштейн связывал его с «принципом близкодействия», который выражается в том, что «для относительной независимости пространственно отделенных объектов ( $A$ и $B$ ) характерна следующая идея: внешнее влияние $A$ не имеет никакого непосредственного влияния на $B$ » ([2], с. 614). Отметим, что положение (III) в такой форме имеет прямое недвусмысленное толкование лишь в классической картине, т. е. при условии, что выполнено (II). Классическое описание, удовлетворяющее условию (III), называют локальной теорией со скрытыми параметрами. Поскольку локальность подразумевает выполнение свойства разделимости в утверждении 5 , неравенство Белла показывает, что положения (I)-(III) несовместимы, т. е. локальная теория со скрытыми параметрами, воспроизводящая статистические предсказания квантовой механики, невозможна. Это можно рассматривать как современную трактовку парадокса ЭПР.

Более того, неравенство Белла открывает принципиальную возможность экспериментальной проверки альтернативы: квантовая механика против локальной теории со скрытыми параметрами. Практическое осуществление таких экспериментов сопряжено, однако, с большими трудностями и потребовало значительных усилий. Первый эксперимент, поставленный в 1972 г., показал согласие с квантовомеханической формулой для корреляций. После этого было проведено более десятка экспериментов, из которых только в двух зарегистрировано расхождение с квантовой механикой и согласие с неравенством Белла [35] – [37]. Эти расхождения не позволяют считать вопрос окончательно закрытым, хотя в целом результаты явно свидетельствуют в пользу квантовой механики.

Во всяком случае, чтобы избежать противоречия между статистическими предсказаниями квантовой теории и принципом локальности, необходимо отказаться от скрытых параметров и признать принципиальную невозможность исчерпывающего рационалистического описания квантовых состояний и измерений в классических терминах. Такой вывод соответствует умонастроению большинства физиков, отраженному в следующих словах Бора: «… здесь мы сталкиваемся не с каким-то аналогом использования вероятностных рассмотрении при описании поведения сложных механических систем, а с невозможностью указания каких-либо конкретных сведений относительно хода индивидуальных процессов сверх того, что допускается внутренне согласованным обобщением детерминистической механики» ([1], с. 502).

С другой стороны, ортодоксальная интерпретация подчеркивает, что «как бы далеко не выходили явления за рамки классического физического объяснения, все опытные данные должны описываться при помощи классических понятий. Обоснование этого состоит просто в констатации точного значения слова «эксперимент». Словом «эксперимент» мы указываем на такую ситуацию, когда мы можем сообщить другим, что именно мы сделали и что именно мы узнали» ([1], с. 406). Несомненно, что квантовомеханическое описание состояния и измерения несет в себе всю существенную для статистики эксперимента информацию о классических инструментах, посредством которых осуществляется приготовление и наблюдение. Если принять, что этой информацией оно и исчерпывается, то мы придем к известной точке зрения, что квантовая механика сводится к описанию «неклассического поведения классических инструментов». Однако рассмотрение составных квантовых систем показывает, что, следуя этой точке зрения, придется допустить возможность в высшей степени нелокального поведения «классических инструментов» типа мгновенного действия на расстоянии. Отказ же от скрытых параметров должен означать, что квантовомеханическое описание содержит нечто сверх «лингвистически обусловленной» информации об экспериментальной ситуации. Это «нечто», по-видимому, является основой, связывающей классическое описание процедур приготовления и измерения, причем своеобразие квантовомеханического описания заключается в невозможности «провести четкое разграничение между внутренними свойствами объектов и их взаимодействием с измерительными приборами, которые необходимо использовать для самого обнаружения этих свойств». Ортодоксальная точка зрения не дает полного ответа на возникающий при этом сложный вопрос о значении и соотношении «классического» и «неклассического» в интерпретации квантовой механики, который продолжает оставаться предметом философской дискуссии (см., например, [33], [38]). Обсуждение этого вопроса, однако, выходит за рамки задач настоящего очерка.