Пусть $\mathscr{K}$ – гильбертово пространство конечной размерности $n$. Обозначим через $\Theta$ единичную сферу в $\mathscr{\mathscr { C }}$; элементами $\Theta$ являются векторы $\mid \theta) \in \mathscr{\mathscr { C }}$, имеющие единичную длину: $(\theta \mid \theta)=1$. Множество $\theta$ является параметрическим: пусть $\left\{e_{j}\right\}$ – базис в $\mathscr{K}$, тогда
\[
\mid \theta)=\sum_{j=1}^{n} \theta_{j}\left(e_{j}\right)
\]

где $\theta_{j}$-комплексные числа, удовлетворяющие условию
\[
\sum_{j=1}^{n}\left|\theta_{j}\right|^{2}=\sum_{j=1}^{n}\left[\left(\operatorname{Re} \theta_{j}\right)^{3}+\left(\operatorname{Im} \theta_{j}\right)^{2}\right]=1 .
\]

Группа $G$ всех унитарных операторов в $\mathscr{K}$ действует как компактная транзитивная группа преобразований
единичной сферы $\theta$ по формуле $U(\theta)=\mid U \theta), U \in G$. Инвариантная мера на $\boldsymbol{\theta}$ совпадает с евклидовой площадью на $2 n$-мерной вещественной сфере (4.1).
Всякому $\theta \in \boldsymbol{\theta}$ отвечает чистое состояние
\[
\left.S_{0}=\mid \theta\right)(\theta \mid ;
\]

параметризация здесь не является точной, так как различным векторам, отличающимся на множитель, по модулю равный единице, соответствует одно и то же состояние. Ее можно сделать точной, потребовав, например, чтобы $\operatorname{Im} \theta_{1}=0$, но это нам не понадобится.

Если рассматривать действие самих операторов $U$ в $\mathscr{K}$ как представление группы $G$, то семейство (4.2) ковариантно по отношению к этому представлению:
\[
\left.U S_{\theta} U^{*}=\mid U \theta\right)\left(U \theta \mid=S_{U \theta} .\right.
\]

Представление $U \rightarrow U$ является, конечно, неприводимым.
Предположим, что рассматриваемый квантовый объект приготовлен в чистом состоянии, относительно которого больше кничего не известно», и требуется по результатам квантовых измерений с максимальной точностью оценить истинное состояние объекта. Мы можем сформулировать это как задачу измерения параметра $\theta$ в семействе состояний (4.2); в силу упомянутой неодноэначности, речь будет идти по существу об оценивании чистого состояния $S_{0}$.

Простейшей инвариантной функцией отклонения является
\[
\boldsymbol{\delta}=\mathbf{1}-|\boldsymbol{( \boldsymbol { \theta }}| \hat{\boldsymbol{\theta}})\left.\right|^{\mathbf{2}} ;
\]

мы рассмотрим более общие функции отклонения вида
\[
W_{\theta}(\hat{\theta})=W(\delta) .
\]

Опишем измерения параметра $\theta$, ковариантные по отношению к представлению $U \rightarrow U$ унитарной группы $G$. Фиксируем $\theta_{0}$, например $\theta_{0}=e_{1}$, и рассмотрим стационарную подгруппу $G_{0}$ точки $\theta_{0}$. Очевидно, что она состоит из унитарных операторов вида
\[
U_{0}=\left[\begin{array}{c:c}
\lambda & 0 \\
\hdashline 0 & U_{0}^{\prime}
\end{array}\right],
\]

где $|\lambda|=1$, а $U_{0}^{\prime}$-произвольный унитарный оператор в ортогональном дополнении к вектору $\left(\theta_{0}\right)$. Эрмитов оператор $P_{0}$ коммутирует со всеми $U_{0} \in G_{0}$ тогда и только тогда, когда
\[
\left.P_{0}=\alpha \mid \theta_{\theta}\right)\left(\theta_{0} \mid+\beta I,\right.
\]

где $\alpha, \beta$-вещественные числа, т. е.
\[
P_{0}=\left[\begin{array}{ccc}
\alpha+\beta & & 0 \\
& \beta & \\
0 & & \ddots
\end{array}\right] .
\]

Оператор $P_{0}$ принадлежит множеству $\mathfrak{P}$ тогда и только тогда, когда $P_{0} \geqslant 0, \operatorname{Tr} P_{0}=n$, а это приводит к ограниченням $n \beta+\alpha=n, \beta \geqslant 0, \alpha+\beta \geqslant 0$, т. е.
\[
\beta=1-\frac{\alpha}{n}, \quad-\frac{n}{n-1} \leqslant \alpha \leqslant n .
\]

Из теоремы 2.1 вытекает, что всякое ковариантное измерение параметра $\theta$ имеет вид
\[
M(d \theta)=U\left[\mathrm{I}+\alpha\left(\mid \theta_{0}\right)\left(\theta_{0} \mid-n^{-1} \mathrm{I}\right)\right] U^{*} v(d \theta),
\]

где $v$-инвариантная мера на единичной сфере $\theta$, нормированная так, что $v(\Theta)=1$, и $\alpha$ – вещественный параметр, пробегающий отрезок $-\frac{n}{n-1} \leqslant \alpha \leqslant n$.

Отсюда следует, что множество ковариантных измерений как выпуклое множество является отрезком с крайними точками
\[
M^{*}(d \theta)=\mathrm{I} \cdot v(d \theta)
\]

и
\[
\left.M_{*}(d \theta)=n U \mid \theta_{0}\right)\left(\theta_{0}\left|U^{*} v(d \theta)=n\right| \theta\right)(\theta \mid v(d \theta) .
\]

Первое разложение единицы соответствует измерительной процедуре, при которой результат выбирается наугад в соответствии с равномерным распределением $v$ на $\boldsymbol{\theta}$. Измерение (4.4) является, очевидно, измерением максимального правдоподобия для семейства (4.2).

Предложение 4.1. Иямерение (4.4) является оптимальньм для любой функции отклонения вида (4.3), де W(.)-произвольная неубьвания функция, не раная тождественно постоянной.

Доказательство. Поскольку мера точности является аффинным функционалом измерения, достаточно показать, что
\[
\mathscr{R}\left\{\boldsymbol{M}_{*}\right\}<\mathscr{R}\left\{\boldsymbol{M}^{*}\right\},
\]

т. е. что
\[
\int W_{\theta_{0}}(\theta) n\left|\left(\theta_{0} \mid \theta\right)\right|^{2} v(d \theta)<\int W_{\theta_{0}}(\theta) v(d \theta) .
\]

Полагая $r=\left|\left(\theta_{0} \mid \theta\right)\right|$, перепишем это в виде
\[
n \int W\left(1-r^{2}\right) r^{2} v(d \theta)<\int W\left(1-r^{2}\right) v(d \theta) .
\]

В силу доказываемой нихе леммы, это эквнвалентно неравенству
\[
n \int_{0}^{1} W\left(1-r^{2}\right) r^{2} d\left(1-r^{2}\right)^{n-1}>\int_{0}^{1} W\left(1-r^{2}\right) d\left(1-r^{2}\right)^{n-1},
\]

или
\[
\int_{0}^{1} W\left(1-r^{2}\right)\left[(n-1)\left(1-r^{2}\right)^{n-2}-n\left(1-r^{2}\right)^{n-1}\right] d r^{2}<0 .
\]

Переходя к переменной $\delta=1-r^{2}$, имеем
\[
\int_{0}^{1} W(\delta) d\left(\delta^{n-1}-\delta^{n}\right)<0 .
\]

Интегрируя по частям, получаем
\[
\int_{0}^{1}\left(\delta^{n-1}-\delta^{n}\right) d W(\delta)>0,
\]

что, очевидно, выполняется для неубывающей функции W (8), поскольку $8^{n-1}-\delta^{n}>0$ при $0<\delta<1$.

Чтобы проиллюстрировать выигрыш от применения оптимального измерения, приведем значения среднего отклонения для простейшей функции $W(\delta)=\delta$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{R}\left\{M_{*}\right\}=n \int_{0}^{1} \delta(1-\delta) d \delta^{n-1}=\frac{n-1}{n+1}, \\
\mathscr{R}\left\{M^{*}\right\}=\int_{0}^{1} \delta d \delta^{n-1}=\frac{n-1}{n} .
\end{array}
\]

Отношение $\mathscr{R}\left\{M_{*}\right\} / \mathscr{R}\left\{M^{*}\right\}=\frac{n}{n+1}$ минимально и равно 2/3 для двумерного гильбертова пространства и стремится
к 1 при $n \rightarrow \infty$. Таким образом, в бесконечномерном гильбертовом пространстве не существует лучшего способа оценить неизвестное чистое состояние, чем простое угадывание.

Лемма 4.1. Дая анбод фунхции $P(\cdot)$ венестьенноео переменmosor
\[
\int_{\theta} F\left(\left|\left(\theta_{0} \mid \theta\right)\right|\right) v(d \theta)=-\int_{0}^{1} F(r) d\left(1-r^{2}\right)^{n-2} .
\]

Дохазательство. Выберем базис $\left\{e_{j}\right\}$, так тто $e_{1}=0_{0}$, а обозначим $\left(e_{f} \mid \theta\right)=\alpha_{f}+i \beta_{j}$, так тто
\[
\left.\theta=\left\{\alpha_{i}, \beta ; \sum_{j}(\alpha\}+\beta j\right)-1\right\}
\]

и $r=\sqrt{\alpha_{1}^{2}+\beta_{1}^{a}}$. Мы докажем лемму, если установим, что
\[
\int_{\alpha_{i}^{2}+\beta_{1}^{1}>\rho^{2}} v(d \theta)=\left(1-\rho^{2}\right)^{n-2} .
\]

Рассмотрим вспомогательный интеграл
\[
F_{m}(\rho, R)=\int_{\substack{x_{1}+x_{\xi} \geqslant p^{2} \\ x_{i}^{2}+\ldots+x_{m}^{2}<R^{2}}} d x_{1} \ldots d x_{m} .
\]

Плоцадь единичнон сферы в терминах этого интеграла равна, очевидно, $\left.\frac{\partial F_{m}(0, R)}{\partial R}\right|_{R-1}$; поэтому нормированная площадь фигуры, вырезаемой на единнчной сфере неравенством $x_{1}^{2}+x_{1}^{2} \geqslant \rho^{2}$, дается выраженнем
\[
\left.\frac{\partial F_{m}(\rho, R)}{\partial R}\right|_{R-1}:\left.\frac{\partial F_{m}(0, R)}{\partial R}\right|_{R-1} .
\]

Но эта нормированная площадь как раз и есть нужный нам интеграл (4.5), если $m=2 n$. Имеем
\[
\begin{array}{l}
F_{m}(\rho, R)=\int \ldots \int\left\{\begin{array}{l}
\iint_{0^{2} \leqslant x_{1}^{2}+x_{9}^{2} \leqslant R^{2}-x_{3}^{2}-\ldots-x_{m}^{2}} d x_{1} d x_{2} \\
\end{array} d x_{2} \ldots d x_{m}=\right. \\
=\int \ldots \int \pi\left(R^{2}-\rho^{2}-x_{3}-\ldots-x_{m}^{2}\right) d x_{3} \ldots d x_{m}, \\
\end{array}
\]

интегрированне ведется по области, где подынтегральное выражение неотрицательно, т. е. $x_{3}^{2}+\ldots+x_{m}^{8} \leqslant R^{2}-\rho^{2}$. Обозначая через $S_{m-2}(r)=c^{m-8}$ площадь сферы $x_{3}^{2}+\ldots+x_{m}^{2}=r^{2}$, нмеем
\[
F_{m}(\rho, R)=c \pi \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}}\left(R^{2}-\rho-r^{2}\right) S_{m-2}(r) d r=c_{1}\left(R^{2}-\rho^{2}\right)^{m / 2},
\]

откуда $\left.\frac{\partial}{\partial R} F_{m}(\rho, R)\right|_{R-1}=c_{2}\left(1-\rho^{2}\right)^{(m-2) / 2}$, так что
\[
\left.\frac{\partial}{\partial R} F_{2 n}(\rho, R)\right|_{R-1}:\left.\frac{\partial}{\partial R} F_{2 n}(0, R)\right|_{R-1}=\left(1-r^{2}\right)^{n-1},
\] и соотношение (4.5) док заново