Основным предметом нашего рассмотрения будет статистическая модель, в которой состояния описываются комплексными эрмитовыми матрицами $S$, удовлетворяющими условиям
\[
S \geq 0, \quad \operatorname{Tr} S=1
\]
(матрицами пяотности). Множество таких матриц $\mathscr{C}_{n}$ является выпуклым подмножеством вещественного линейного простравства всех эрмитовых $n \times n$-матриц, причем крайними точками являются матрицы плотности вида $S_{\psi}=\$ \psi^{*}$ (см. § 2); они опнсьвают чистые состояния. В дальнейем для нас основной интерес будет представлять бесконечномерный аналог иатрицы плотности, однако в этой главе мы ограничимся конечномерньм случаем, чтобы объяснить некоторые принципиальвые положения, не останавливаясь на технических трудностях, связанных с бесконечномерностью.

Помимо множества состояний, для задания статистической модели необходимо описать множество измерений. Согласно общему определению, всякое измерение с пространством результатов $U$ описывается аффинным отображением множества состояний $\mathscr{O}_{n}$ в множество распределений вероятностей на $U$. Предположим для начала, что множество $\boldsymbol{U}$ конечно, и рассмотрим в этом случае более подробно математическую структуру такого отображения. Предложение 6.1. Coотношение
\[
\mu_{S}(u)=\operatorname{Tr} S M_{u}, \quad u \in U,
\]

устанавливает взаимно-однознаиное соответствие между аффикными отобрапениями $S \rightarrow \mu_{S}$ множества матриц плотности $\mathscr{S}_{n}$ в множество распределений вероятностей на $U$ и разлоэсениями единиць, т. е. наборами эрмитовых матриц $\left\{M_{u} ; u \in U\right\}$, удовлетворяюцих условиям
\[
M_{u} \geqslant 0, \quad \sum_{u \in U} M_{u}=1 .
\]

Лемма 6.1. Всякий аффинный функционал $\mu(S)$ ма G $_{n}$ имеет вид $\mu(S)=\operatorname{Tr} S M$, где $M$ – эрмитова матрица.

Доказательство леммы. Множество матриц плотности порождает вещественное линейное пространство $\mathscr{L}$ всех эрмитовых матриц. Это означает, что всякая эрмитова матрица представляется в виде $T=\sum_{j} t_{j} S_{j}$, где $t_{f}$-вещественные числа, $S_{j}$-матрицы плотности (для доказательства достаточно рассмотреть спектральное разложение матрицы $T$ ). Построим по $\mu(S)$ функционал на $\mathscr{L}$, полагая
\[
\mu(T)=\sum_{i} t_{j} \mu\left(S_{j}\right)
\]

Для обоснования корректности этого определения необходимо показать, что сумма в правой части не зависит от способа представления $T$ в виде линейной комбинации матриц плотности, т. е. что равенство $\sum_{i} t_{j} S_{l}=\sum_{k} t_{k}^{\prime} S_{k}^{\prime}$ влечет $\sum_{i} t_{j} \mu\left(S_{j}\right)=\sum_{k} t_{k}^{\prime} \mu\left(S_{k}^{\prime}\right)$. Перенося, если необходимо, некоторые слагаемые в другую часть равенства, мы можем считать, что $t_{j} \geqslant 0$ и $t_{k} \geqslant 0$ (причем хотя бы одно из $t_{j}$ и $t_{k}^{\prime}$ строго положительно). Беря след от получившегося равенства и учитывая, что $\operatorname{Tr} S_{1}=\operatorname{Tr} S_{k}^{\prime}=1$, получим $\sum_{i} t_{i}=\sum_{k} t_{k}^{\prime}=\tau>0$. Введем распределения вероятностей $p_{j}=t_{j} / \tau, p_{k}^{\prime}=t_{k}^{\prime} / \tau$. Тогда нам достаточно показать, что из $\sum_{j} p_{j} S_{j}=\sum_{k} p_{k}^{\prime} S_{k}^{\prime}$ л ледует $\sum_{j} p_{j} \mu\left(S_{f}\right)=\sum_{k} p_{k}^{\prime} \mu\left(S_{k}^{\prime}\right)$, а это вытекает из аффинности функционала $\mu(S)$.

По построению $\mu(T)$ является вещественным линейны л функционалом на $\mathscr{L}$. Всякий такой функционал от $T=$ $=\left[t_{k}\right]$, очевидно, имеет вид
\[
\mu(T)=\sum_{i, k} t_{/ k} m_{j k}=\operatorname{Tr} T M
\]

где $M=\left[m_{j k}\right]$, причем $m_{f k}=\overline{m_{k j}}$, так что $M=M^{*}$.
Лемма 6.2. Пусть $X$ – эрмитова матрица; $X \geqslant 0$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{Tr} S X \geqslant 0$ для всех $S \in \mathscr{E}_{n}$.

Доказательство. $X \geqslant 0$ означает, что $\psi^{*} X \psi \geqslant 0$ для всех (единичных) векторов $\psi$, т. е. $\operatorname{Tr} S_{\psi} X \geqslant 0$. Остается воспользоваться тем, что матрицы $S_{\downarrow}$ образуют остов выпуклого множества $\mathscr{E}_{n}$ (см. § 2).

Доказательство предложения. Согласно лемме 6.1, $\mu_{S}(u)=\operatorname{Tr} S M_{z}$, где $\left\{M_{u}\right\}$ – некоторый набор эрмитовых матриц. Из леммы 6.2 и неотрицательности фувкций $\mu_{S}(u)$ вытекает $M_{*} \geqslant 0$. Наконец, для любого $S$ $\sum_{u} \mu_{S}(u)=\operatorname{Tr} S\left(\sum_{u} M_{u}\right)=1$, откуда $\sum_{u} M_{u}=$ I. В самом деле, $\operatorname{Tr} S\left(\sum_{\mu} M_{a}-I\right)=0$ для всех $S \in \mathscr{S}_{n}$, так что по лемме $6.2 \sum_{u} M_{u}-1 \geqslant 0$ и одновременно $\sum_{u} M_{u}-1 \leqslant 0$. Предложение доказаво.

Набор $\left\{M_{u}\right\}$ формально аналогичен набору переходных вероятностей $\left\{M_{\omega}(u)\right\}$, характеризовавших измерение в классической статистической модели. Там особую роль играли детерминированные измерения. Аналог условия детерминированности (4.3) в некоммутативном случае имеет вид
\[
M_{u}^{2}=M_{u}, \quad u \in U .
\]
Но это означает, что $M_{u}$ для любого $и$ является ортогональным проектором. Покажем, что (6.3) влечет равенство
\[
M_{u} M_{v}=0, \quad u
eq v,
\]
т. е. $M_{u}, M_{v}$ являются проекторами на взаимно-ортогональные подпространства. $\leqslant B \leqslant C$ и $C A=0$, mo $B A=0$.

Доказательство. Из $C A=0$ следует $A^{*} C A=0$, так что $0=A^{*} C A \geqslant A^{*} B A \geqslant 0$, откуда $A^{*} B A=0$. Это можно записать как $(\sqrt{B} A) *(\sqrt{B} A)=0$, где $\sqrt{B}$ – положительный квадратный корень из матрицы $B \geqslant 0$. Отсюда $\sqrt{B} A=0$ и $B A=0$.

Чтобы вызести (6.4), запишем (6.3) в виде ( $I-M_{u}$ ) $M_{u}=$ $=0$ и заметим, что в силу (6.2) $0 \leqslant M_{v} \leqslant \mathrm{I}-M_{t}$ при $u
eq v$. Остается применить лемму с $A=M_{u}, B=M_{v}$, $C=\mathrm{I}-M_{n}$.

Таким образом, формальным аналогом классических детерминированных измерений в квантовой теории являются ортогональные разломсения единицы $\left\{E_{u}\right\}$ :
\[
E_{u} E_{v}=\delta_{u v} E_{u}, \quad \sum_{u \in U} E_{u}=\mathrm{I}
\]
( $\boldsymbol{\delta}_{\mu v}$ – символ Кронекера). Соответствуіщие квантовые измерения мы называем простыми. Подобно тому как классическое детерминированное измерение задает разбиение фазового пространства $\Omega$ на непересекающиеся области $\Omega_{(u)}$, простое измерение задает разложение рассматриваемого унитарного векторного пространства $\mathscr{K}$ в сумму ортогональных пространств $\mathscr{K}_{u}=E_{u}(\mathscr{K})$. Пусть возможными результатами простого измерения $\left\{E_{x}\right\}$ является конечный набор вещественных чисел $\{x\}$, тогда этому измерению сопоставляется эрмитова матрица (оператор)
\[
X=\sum_{x} x E_{x} .
\]

Эта формула устанавливает взаимно-однозначное соответствие между простыми измерениями и эрмитовыми операторами в $\mathscr{\mathscr { Z }}$, аналогичное соответствию (4.6) между детерминированными измерениями и случайными величинами в теории вероятностей. Эрмитовы операторы поэтому играюг в квантовой теории ту же роль, что случайныс величины в теории вероятностей; они называются такжс квантовыми наблюдаемыми (см. § II.6). Среднее знаqение результатов измерения $\left\{E_{x}\right\}$ непосредственно выражается через соответствующую наблюдаемую по формуле
\[
\sum_{x} x \mu_{S}(x)=\sum_{x} x \operatorname{Tr} S E_{x}=\operatorname{Tr} S X .
\]

В обычном изложении квантовой теории отправным является понятие наблюдаемой и установленное выше выражение для среднего значения наблюдаемой. Это равносильно тому, что отправлялься от простых измерении, задаваемых ортогональными разложениями единицы. Мы видели, однако, что сбщее статистическое описание измерения приводит, вообще говоря, $к$ неортогональным разложениям единицы. Выделение простых измерений должно основываться на каких-то дополнительных соображениях; очевидно, что формальная аналогия с классической теорией вероятностей не является достаточным для этого основанием. В теории вероятностей исключительная роль детерминированных измерений обосновывается предложением 4.1, согласно которому статистика всякого измерения может быть выражена через статистику детерминированных измерений посредством подходящей рандомизации. Важно, однако, подчеркнуть, что аналог подобной теоремы в квантовой теории уже не верен.

Обозначим через $\mathfrak{D}(U)$ выпуклое множество всех разложений единицы $\left\{M_{a} ; u \in U\right\}$.

Предложение 6.2. Всякое ортогональное разломсение единицы $\left\{E_{u} ; u \in U\right\}$ является крайней точкой множества $\mathfrak{M}(U)$. Обраткое утверждекие верно лишь для $U=\{0,1\}$; если $U$ состоит более чем из двух элементов, то сунествует крайня точка множества $\mathfrak{M}(U)$, не янгноцаяся ортогональным разлозсением единицы.

Доказательство. Первое утверждение доказывается точно так же, как в классическом случае. Если $U=\{0,1\}$, то всякое разложение единицы имеет вид $M_{0}+M_{1}=$ I и позтому однозвачно определяется оператором $M_{1}=X$, который удовлетворяет единственному условию $0 \leqslant X \leqslant 1$. Из $\S 2$ известно, что крайними точками этого множество являются проекторы и только они. Таким образом, для крайних точек $M_{0}$ и $M_{2}$ являются проекторами, т. е. $\left\{M_{0}, M_{1}\right\}$-ортогональное разложение единицы.

Пусть теперь $U=\{1, \ldots, d\}, d>2$. Рассмотрим сначала случай $n=\operatorname{dim} \mathscr{K}=2$. Для наглядности можно считать, что матрицы плотности $S \in \mathcal{O}_{2}$ описывают состояния частицы со спином $1 / 2$ (см. § 5). Тогда состояние, приготовленное фильтром с направлением $\theta=\left[\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}\right]$, задается матрицей плотности (2.9). В частности, матрица плотности
\[
S_{\alpha}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}
1 & e^{-t \alpha} \\
e^{\alpha} & 1
\end{array}\right]=\psi_{\alpha} \psi_{\alpha}^{*} ; \quad \psi_{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}
e^{-t \alpha / 2} \\
e^{t \alpha / 2}
\end{array}\right],
\]

описывает состояние, приготовленное фильтром, направление которого лежит в плоскости $\theta_{1}, \theta_{2}$ и составляет
Рис. 6. угол $\alpha$ с осью $\theta_{1}$. Рассмотрим $d$ направлений $\alpha_{n}=2 \pi u / d, u=1, \ldots, d$, делящих плоскость $x, y$ на $d$ равных углов (рис. 6), так что
\[
\sum_{u=1}^{d} e^{i x x_{n}}=0
\]

Тогда набор матриц
\[
M_{z}=\frac{2}{d} \psi_{u} \psi_{u}^{*} \quad\left(\psi_{u}=\psi_{a_{u}}\right)
\]

оразует неортогональное разложение единицы; в самом деле, $M_{u} \geqslant 0$, а тот факт, что $\sum_{u} M_{u}=1$, вытекает из (6.7) и (6.6).

Покажем, что при $d=3$ разложение единицы (6.8) является крайней точкой В самом деле, если
\[
M_{u}=p_{0} M_{u}^{0}+p_{1} M_{u}^{1} ; \quad p_{0}, p_{1}>0,
\]

то $M_{u}^{0} \leqslant p_{0}^{-1} M_{u}, M_{u}^{1} \leqslant p_{1}^{-1} M_{u}$, откуда $M_{u}^{\prime}=\lambda_{u}^{\prime} \psi_{u} \psi_{u}^{*}$. Условие нормировки $\sum_{u} M_{u}^{\prime}=1$ вместе с (6.6) приводит к равенствам
\[
\sum_{u=1}^{3} N_{u} e^{t^{\frac{2 \pi u}{3}}}=0, \quad \sum_{u=1}^{3} \lambda_{u}=2 .
\]

Первое означает, что $\lambda_{u}$ являются сторонами треугольника, все углы которого равны $2 \pi / 3$, так что $N_{u}$ все равны между собой, а в силу второго равенства $N_{u}=2 / 3$. Таким оразом, $M_{u}^{0}=M_{u}^{\prime}=M_{n}$ и $\left\{M_{z}\right\}$ является крайней точкой.

Докажем теперь, что для любой размерности $n \geqslant 2$ и любого $d \geqslant 3$ существует неортогональное разлсжение единицы, являющееся крайней точкой множества $\mathfrak{M}(U)$. Разложим $n$-мерное простравство $\mathscr{K}_{n}$ в ортогональную сумму двумерного пространства $\mathscr{K}_{2}$ и его ортогонального дополнения $\mathscr{K}_{n-2}$ и обозначим через $E$ проектор на $\mathscr{K}_{n-2}$. Построим в $\mathscr{H}_{2}^{n-2}$ неортогональное разложение единицы $\left\{M_{u} ; u=1,2,3\right\}$ по формуле (6.8) с $d=3$. Тогда набор операторов
\[
\tilde{M}_{1}=M_{1} \oplus 0, \tilde{M}_{2}=M_{2} \oplus 0, \tilde{M}_{3}=M_{3} \oplus E ; \tilde{M}_{a}=0, u>3,
\]

образует неортогональное раз.ожение единицы в $\mathscr{K}$. Легко проверить, что оно является крайней точкой множества ตi ( $U$ ).

Хотя приведенная в доказательстве конструкция может показаться искусственной, эти рассуждения показывают, что, в отличие от классической статистики, где детерминированные измерения образуют остов множества всевозможных измерений, статистическое описание эксперимента в квантовой теории ве дает решающих оснований ограничиться ортогональными разложениями единицы. На самом деле мы далее увидим, что существует целый ряд физических измерений, которые естественно описываются неортогональными разложениями единицы. В рамках этой новой концепции получают простое разрешение некоторые парадоксы квантовой теории, связанные с измерениями таких физических величин, как время, угол, фаза, с совместными измерениями некоммутирующих наблюдаемых координаты и импульса и т. п. Неортогональные разложения единицы дают адекватное математическое описание «косвенных» и последовательных измерений (см. комментарии к гл. II и III).

Основываясь на сказанном выше, мы назовем статистической модеяью квантовой механики модель, в которой состояния описываются всевозможными матрицами плотности $S$, а измерения – всевозможными аффинными отображениями $S \rightarrow \mu_{S}$ матриц плотности в распределения вероятностей на пространстве результатов измерения.

В связи с этим определением важно еще раз подчеркнуть, что статистическая модель и основные ее элементы состояния и измерения – являются математическими объектами. То обстоятельство, что некоторая совокупность результатов реальных экспериментов адекватно описывается данной статистической моделью ( $\bigodot, \mathfrak{M}$ ), означает, что существует вложение надлежащим образом обработанных экспериментальных данных в эту модель, т. е. каждой реальной процедуре приготовления сопоставляется некоторое теоретическое состояние $S \in \mathcal{C}$, а каждому реальному измерению – теоретическое измерение $\boldsymbol{M} \in \mathfrak{M}$. Мы дали здесь абстрактное описание статистической модели квантовой теории; в последующих главах будут установлены правила соответствия, по которым физическим величинам сопоставляются те или иные математические объекты. Эти правила (основанные главным образом на идее симметрии и ковариантности) позволяют установить связь между некоторыми теоретическими состояниями, т. е. матрицами плотности, и их физическими прототипами и между теоретическими измерениями, т. е. разложениями единицы, и реальными измерениями физических величин.

Было бы, однако, наивно ожидать, что всякому теоретическому квантовому состоянию, т. е. произвольно взятой матрице плотности, должна автоматически соответствовать в природе некоторая реальная процедура приготовления, а всякому теоретическому квантовому измерению или наблюдаемой – некоторая реальная измерительная процедура, -этот вопрос нуждается в специальном изучении в каждом конкретном случае.

Поэтому в принципе не следует исключать возможность, что совокупность экспериментальных данных, адекватно описываемая статистической моделью квантовой теории, может допускать и существенно иную модель, «пересекающуюся» с квантовой (так что кпересечение охватывает все экспериментальные данные). Впрочем, весь опыт развития квантовой теории, находящей все новые экспериментальные подтверждения, свидетельствует о том, что квантовая статистическая модель дает наиболее адекватное и компактное описание явлений микромира.
Теоретические концепции квантового состояния и измерения являются результатом определенной идеализации и отражают существенные черты реальных физических экспериментов. Любой общий результат, установленный в рамках квантовой теории для всех теоретических состояний и измерений, заведомо будет верен и для «реализуемых» состояний и измерений постольку, поскольку квантовая теория дает правильную модель реальности. В то же время подобные результаты было бы невозможно полуqить, не опираясь на математические концепции состояния и измерения.