Из соотношения неопределенностей Гейзенберга вытекает, что наблюдаемые скорости $P / \mu$ и координаты $Q$ несовместимы. Не существует измерения $M(d x d v)$ такого, чтобы измерения $E(d x)$ и $F(d v)$ были по отношению к нему маргинальными, т. е. выполнялось
\[
E(d x)=\int M(d x d v), \quad F(d v)=\int M(d x d v) .
\]
Можно ли, основываясь на этом, утверждать, что квантовая теория принципиально исключает возможность совместного измерения координаты и скорости объекта? Последовательное проведение такой точки зрения привело бы к выводам, которые находятся в очевидном противоречии с опытом. Поясним это утверждение.

Практически в эксперименте измеряется часто не сама скорость $v$, а пропорциональная ей величина – импульс ти, где $m$-кклассическая масса объекта. Мы объясним смысл величины $m$ поздвее, а пока будем рассматривать ее просто как некоторый коэффициент пропорциональности. Полагая $\hbar=m / \mu$, введем наблюдаемую импульса $p=$ $=\hbar P$. Обозначая $q=Q$, имеем
\[
[q, p]=i \hbar
\]

и соотношекие неопределенностен:
\[
\mathrm{D}(q) \mathbf{D}(p) \geqslant \hbar / 4 .
\]

В этих соотношениях $\boldsymbol{n}
eq 0$. Если же $\boldsymbol{n}=0$, то соотношение (7.1) превращается в условие $[q, p]=0$, характерное для классических теорий, где все наблюдаемые совместимы. Представляется очевидным, что в классическом пределе $n \rightarrow 0$ наблюдаемые $q$ и $p$ должны в каком-то смысле «становиться совместно измеримыми. Как согласовать это с несовместимостью q и р при любых сколь угодно малых $\hbar
eq 0$ ?

Этот ппарадокс можно сформулировать еще более отчетливо, если рассмотреть макроскопический объект, состоящий из большого числа $N$ квантовых частиц, канонические наблюдаемые которых удовлетворяют коммутационным соотношениям
\[
\left[q_{j}, p_{k}\right]=i \hbar \delta_{j k}, \quad\left[q_{j}, q_{k}\right]=\left[p_{j}, p_{k}\right]=0 .
\]

Тогда макроскопические наблюдаемье – координата центра масс $q=\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} q_{j}$ и полный импульс $p=\sum_{j=1}^{N} p_{j}-$ удовлетворяот тому же коммутацнонному соотношенио (7.1), что и микроскопические наблодаемые. Таким образом, соотношения (7.1), (7.2) имеют место и для любой макроскопической степени свободы. Поскольку $n
eq 0$ (хотя оно и очень мало в макроскопическом масштабе), следовало бы признать принципиальную невозможность совместного измерения координаты и импульса и в классической механике.

Очевидно, однако, что такой вывод противоречит экспериментальной практике классической физики, которая повсеместно имеет дело с совместными измерениями. Совместные измерения координат и импульсов встречаются и в экспериментах над микрообъектами; например, по траектории заряженной частицы в камере Вильсона определяются и координата, и импульс частицы (по радиусу кривизны траектории в магнитном поле). По существу, даже в тех случаях, когда измеряется только импульс, экспериментатор располагает и некоторой информацией o локализации кчастицы – например, что она находится в момент измерения в пределах экспериментальной установки. Включая эту информацию в результаты измерения, можно говорить, что здесь также производится некоторое совместное измерение импульса и координаты. Очевидно, однако, что во всех подобных случаях идет речь не о точном, а о каком-то єприближенном» измерении, результаты которого имеют некоторый случайный разброс. Поскольку подобные измерения являются обычными в физике, они должны иметь отражение в математическом формализме теории, претендующей на полное описание явлений микромира.

Вопрос о кприближенных» совместных измерениях координаты и скорости находит естественное решение в рамках новой концепции квантового измерения, развитой в гл. I, II. Согласно этой концепции, совместное измерение параметров координаты $x$ и скорости $v$, как и измерение любой пары величин, описывается некоторым разложением единицы $M(d x d v)$ в $\mathscr{C}$, причем совместное распределение вероятностей измерения относительно состояния $S$ дается формулой $\mu_{S}^{\mu}(d x d v)=\operatorname{Tr} S M(d x d v)$. Чтобы выделить из разложений единицы те, которые действительно могут соответствовать совместным измерениям координаты и скорости, мы привлечем соображения ковариантности, аналогичные тем, которые использовались в § 3 для выяснения кинематического смысла наблюдаемых $P$ и $Q$. Предположим, что состояние $S$ приготовляется некоторой установкой, с которой связана исходная система отсчета. Если теперь такая же установка движется со скоростью $v$ и ваходится в точке $\boldsymbol{x}$ относительно исходной системы, то приготовляемое ей состояние описывается оператором плотности
\[
S_{x, v}=\mathbb{W}_{x,
u} S W_{x, 0 .}
\]

Пусть разложение единицы $M(d x d v)$ описывает совместное измерение координаты и скорости; тогда естественно потребовать, чтобы распределение вероятностей измерения $M(d x d v)$ относительно есдвинутого состояния $S_{x, v}$ было сдвигом на вектор ( $x, v)$ исходного распределения, т. е.
\[
\mu_{s_{x, v}}^{A M}(B)=\mu_{s}^{A}\left(B_{-x_{1}-v}\right) \text {, }
\]

где $B_{-x, \rightarrow}=\{(\xi-x, \eta-v):(\xi, \eta) \in B\}-$ сдвиг на вектор
Pec. 9.
– ( $x$, v) множества $B$ (рис. 9), причем это должно выполняться для любого состояния $S$.
Это равносильно условию
\[
\mathbb{W}_{x, v}^{*} M(B) W_{x, v}=M\left(B_{-x,-v}\right) ; \quad B \in \operatorname{et}\left(\mathbb{R}^{g}\right),
\]

которое аналогично условиям ковариантности (4.3), (4.5) для измерений координаты и скорости. Измерения, удовлетворяющие условию (7.4), называются ковариантными по отношенио к представлению $(x, v) \rightarrow W_{x, v}$ кинематической группы.

Приведем весьма общий пример разложения единицы, удовлетворяющего условио ковариантности (7.4). Пусть $\psi$ – единичный вектор в $\mathscr{K}$. Рассмотрим операторнозначную меру
\[
\left.M(B)=\int_{B} W_{x, v} \mid \Psi\right)\left(\Psi \left\lvert\, W_{x, v}^{*} \frac{\mu d x d v}{2 \pi}\right. ; \quad B \in \operatorname{et}\left(\mathbb{R}^{2}\right) .\right.
\]

Интеграл здесь понимается в смысле слабой сходимости; он сходится в силу квадратичной интегрируемости матричных элементов представления (предложение 6.1). Это соотношение действительно задает иэмерение: $M(B) \geqslant 0$ в силу положительности подынтегральной функции, б-аддитивность вытекает иs свойств определенного интеграла, а условие нормировки $M\left(\mathbb{R}^{2}\right)=I$ равносильно соотношению полноты (6.10) для семейства векторов $\left.\left.\left\{W_{x, v} \mid \psi\right)\right\} ;(x, v) \in R^{2}\right\}$. Мы условимся записывать эту формулу в виде
\[
\left.M(d x d v)=W_{x v} \mid \Psi\right)\left(\Psi \left\lvert\, W_{x v}^{*} \frac{\mu d x d v}{2 \pi} .\right.\right.
\]

Ковариантность этого измерения по отношению к представлению $(x, v) \rightarrow W_{x, v}$ является прямым следствием канонического коммутационного соотношения (3.2) Распределение вероятностей результатов измерения относительно состояния $S$ имеет вид
\[
\mu_{S}(d x d v)=\left(\Psi \left\lvert\, W_{x 0}^{*} S W_{x v}(\psi) \frac{\mu d x d v}{2 \pi} .\right.\right.
\]

Особенно важным является каноническое иямерение, соответствующее выбору в качестве $\boldsymbol{\phi}$ вектора основного состояния $\left.\mid 0,0 ; \sigma^{2}\right)$. Тогда, согласно (6.5),
\[
\left.M(d x d v)=\mid \mu v, x ; \sigma^{2}\right)\left(\sigma^{2} ; x, \mu v \left\lvert\, \frac{\mu d x d v}{2 \pi}\right.,\right.
\]

а распределение вероятностей имеет вид
\[
\mu_{S}(d x d v)=\left(\sigma^{a} ; x, \mu
u|S| \mu
u, x ; \sigma^{2}\right) \frac{\mu d x d v}{2 \pi} .
\]

Дадим идеализированное описание эксперимента, который можно рассматривать как реалияацию измерения (7.б) в смысле $\mathcal{\xi}$ II.б. Кроме исходного пространства $\mathscr{K}$ и определенных в нем операторов $P, Q$ введем идентичное пространство $\mathscr{K}$, и операторы $P_{0}, Q_{0}$ в $\mathscr{K}_{0}$, удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению. Рассмотрим тензорное произведение $\mathscr{K} \otimes \mathscr{K}$ 。 и действующие в нем операторы
\[
\tilde{P}=P \otimes \mathrm{I}_{0}+\mathrm{I}_{0} \otimes P_{0}, \quad \tilde{Q}=Q \otimes \mathrm{I}_{0}-\mathrm{I} \otimes Q_{0},
\]

где $\mathrm{I}_{0}$ – единичный оператор в $\mathscr{C}_{0}$. Для определенности можно рассматривать представления Шредингера $Q=\xi_{1}$,

$P=i^{-1} \frac{d}{d \xi_{1}}$ в $\mathscr{K}=\mathscr{L}_{2}(\mathrm{R})$ и $Q_{0}=\xi_{0}, P_{0}=t^{-1} \frac{d}{d \xi_{2}}$ в $\mathscr{H}_{0}=$ $=\mathscr{L}^{2}(\mathbb{R})$, где $\xi_{1}$, $\xi_{2}$ – независимые переменныо; тогда $\mathscr{K} \otimes \mathscr{K}_{0}=\mathscr{L}^{2}\left(R^{2}\right)$ и
\[
\tilde{P}=i^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial \xi_{1}}+\frac{\partial}{\partial \xi_{1}}\right), \quad \tilde{Q}=\xi_{1}-\xi_{2} .
\]

Наблюдаемые $\tilde{P}, \tilde{Q}$ коммутируют и, следовательно, они совместно измеримы в смысле § II.6 *), т. е. существует ортогональное разложение еданицы $E(d x d v)$, которое является совместной спектральной мерой операторов $\tilde{\boldsymbol{P}} / \mu, \tilde{Q}$. ется состоянием $\left.S_{0}=\mid \bar{\psi}\right)(\bar{\psi} \mid$, где вектор $\bar{\psi}$ задается в представлении Шредингера функцией $\overline{\phi\left(\xi_{\Omega}\right)}=\left(\xi_{g} \mid \bar{\psi}\right)$, комплексно сопряженной $\mathrm{K}$ функции $\boldsymbol{\psi}(\xi)=(\xi / \psi)$ вектора $\boldsymbol{\psi}$ из (7.5). В частности, если $\psi$-основное состояние, то $\bar{\psi}=\psi$. Мы покажем, что совокуп ность ( $\left.\mathscr{K}_{0}, S_{0}, E\right)$ является реали зацией измерения (7.5), однако прежде выясним ее кинематический смысл. Рассмотрим движение квантовой «частицы\” в плоскости ह, ह, и пусть $P=P_{\xi_{1}}, Q=Q_{5_{1}}$, канонические наблюдаемые, соответствующие оси $\xi_{1}$. Введем новую

Рис. 10. нутую относительно исходной на угол – л/4 (рис. 10). Канонические наблодавмые вдоль новых осей найдутся по формулам
\[
\begin{array}{l}
P_{\xi_{6}}=i^{-1} \frac{\partial}{\partial \xi_{z}^{\prime}}=(i \sqrt{2})^{-2}\left(\frac{\partial}{\partial \xi_{1}}+\frac{\partial}{\partial \xi_{0}}\right)=\sqrt{2}^{-1}\left(P_{\xi_{1}}+P_{\xi_{2}}\right), \\
Q_{\xi_{1}^{\prime}}=\xi_{1}^{\prime}=\sqrt{2}^{-1}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)=\sqrt{2}^{-1}\left(Q_{k_{1}}-Q_{\xi_{s}}\right) . \\
\end{array}
\]

Пусть теперь состояние частицы приготовлено таким обраsом, что степень свободы $\xi_{2}$ описывается состоянием $S_{0}$. $\left\{e^{A}\right\}^{\beta},\left\{e^{i n}\right\}$.

Если $S_{0}$ – основное состояние, то это означает, что частида совершает движение вдоль оси ह, а а перемещения вдоль направления $\xi_{2}$ обусловлены лишь неустранимыми квантовыми флуктуациями. Наблюдаемые $P_{\xi,}, Q_{\xi_{1}^{\prime}}$ относятся к взаимно перпендикулярным направлениям и допускают совместное измерение. С точностыо до несущественного масштабного множителя они совпадаот с $\hat{\boldsymbol{P}}$ и $\boldsymbol{Q}$.

Предложение 7.1. Совокупность ( $\mathscr{K}_{0}, S_{0}, E(d x d v)$ ), где Е-совместное спектральное разлолсение олераторов $\tilde{\boldsymbol{P}} / \mu, \tilde{Q}$, образует реалияациг измерения (7.5) в том cubicre, umo
\[
\mu_{S}^{R} \otimes s_{0}(d x d v)=\mu_{S}^{H}(d x d v)
\]

дел мобого состояния $S$ в $\mathscr{K}$.
Доказательство ). Рассмотрим характеристическую функцию (преобразование Фурье) распределения вероятностей измерения $E$ относительно состояния $S \otimes S_{0}$. Согласно формуле (II.6.5), оно равно
(козффициент $\mu$ введен для удобства обозначений). Учитыая (7.9), получаем, что это равно
\[
\operatorname{Tr} S e^{(\xi Q+\eta P)} \cdot\left(\bar{\Psi} \mid e^{t\left(-\xi Q_{0}+\eta P_{0} \bar{\phi}\right)} .\right.
\]

Преобразуем второй сомножитель, испольуяя (5.5), (5.1). Иinees

Вводя обозначение
\[
\mathcal{F}_{n}[S]=\operatorname{Tr} S e^{(\eta P+\varepsilon Q)},
\]

мы можем записать характеристическую функцию в виде
\[
\mathcal{F}_{n t}[S] \cdot \overline{\mathcal{F}_{n, t}\left[S_{\phi}\right]} \text {. }
\]
*) В похазательстве нам придется использовать след ядорных орераторов (6 II.7) в некоторме фагты, хоторые будут доказаны a R. V.

Дальнейшие рассуждения опираются на свойства некоммутативного преобразования Фурье (7.10), которые мы установим в гл. V. В частности, в § V. 3 будет доказано, что для лобого оператора плотности функция (7.10) квадратично-интегрируема. Поэтому определено обратное (обычное) преобразование Фурье характеристической функции
\[
\frac{\mu}{(2 \pi)^{2}} \iint e^{-\lambda(\xi x+\eta \mu v)} \mathscr{F}_{\eta, \xi}[S] \overline{F_{\eta, \xi}\left[S_{\downarrow}\right]} d \eta d \xi,
\]

которое дает плотность распределения вероятностей $\mu_{S}^{
ot} \odot s_{0}$. Используя свонство 3) из \& V.3, имеем

Согласно равенству Парсеваля (V.3.5) для некоммутативного преобразования Фурье, выражение (7.11) равно
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mu}{(2 \pi)^{2}} \iint \mathcal{F}_{\eta, z}[S] \overline{F_{\eta, \varepsilon}\left[W_{x, \sigma} S_{\phi} W_{x, \sigma}^{*}\right.} d \eta d \xi= \\
=\frac{\mu}{2 \pi} \operatorname{Tr} S W_{x,
u} S_{\psi} W_{x, 0}^{*}=\left(\psi \mid W_{x,
u}^{*} S W_{x,
u} \psi\right) \frac{\mu}{2 \pi}, \\
\end{array}
\]

что совпадает с плотность распределения (7.6).
Теперь мы покажем, что каноническое иямерение является в некотором смысле наилучшим среди всех ковариянтных измерений координаты – скорости вида (7.5). Заметим, qто всякое ковариантное измерение дает несмещенные, с точностью до постоянной, значения параметров $x, v$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{E}_{x}\{M\}=\iint \hat{x}_{\mu} \hat{s}_{x, v}(d \hat{x} d \hat{v})=x_{0}+x, \\
\mathrm{E}_{v}\{M\}=\iint \hat{v} \hat{s}_{x_{i v}}(d \hat{x} d \hat{v})=v_{0}+v .
\end{array}
\]

Из ковариантности также следует, что в предположении конечности вторых моментов маргинальные дисперсии
\[
\begin{array}{l}
D_{x}\{M\}=\iint\left(\hat{x}-E_{x}\{M\}\right)^{2} \mu^{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{x}_{x, v}(d \hat{x} d \hat{0}), \\
D_{0}\{M\}=\iint\left(\hat{v}-E_{v}\{M\}\right)^{2} \mu_{s_{x, v}}^{A_{x}}(d \hat{x} d \hat{v}) \\
\end{array}
\]

не зависит от параметров $x$, $v$ и равны своему значению для исходного состояния $S$. Тогда для любого ковариантного измерения вида (7.5) в силу доказаниого предложения и соотношений (7.9)
\[
\begin{aligned}
D_{x}\{M\}=D_{s}(Q)+D_{s_{0}}\left(Q_{0}\right), & D_{v}\{M\}= \\
& =\frac{1}{\mu^{2}}\left(D_{s}(P)+D_{s_{0}}\left(P_{0}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

В качестве меры точности совместного измерения параметров $x$ и $v$ возьмем взвешенную сумму маргинальных дисперсий
\[
\mathscr{R}\{M\}=g_{x} D_{x}\{M\}+g_{0} D_{v}\{M\},
\]

где $g_{x}, g_{v}>0$ – произвольные коэффициенты. Подставляя сюда (7.12), учитывая соотношение неопределенностей $D_{s_{0}}\left(Q_{0}\right) D_{s_{0}}\left(P_{0}\right) \geqslant 1 / 4$ и неравенство $\quad \alpha+\beta \geqslant 2 \sqrt{\alpha \beta}$ $(\alpha, \beta \geqslant 0)$, получаем, что
\[
\mathscr{R}\{M\} \geqslant g_{x} D_{s}(Q)+g_{v} D_{s}(P / \mu)+\mu^{-1} \sqrt{g_{x} g_{v}},
\]

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $S_{0}$ – основное состояние $\left.\mid 0,0 ; \sigma^{2}\right)\left(\sigma^{\circ} ; 0,0 \mid\right.$, где
\[
\sigma^{2} \equiv D_{s_{0}}\left(Q_{0}\right)=\frac{1}{2 \mu} \sqrt{\frac{\bar{g}_{p}}{g_{x}}}, \quad D_{s_{0}}\left(P_{0}\right)=\frac{\mu}{2} \sqrt{\frac{g_{x}}{g_{0}}} .
\]

В гл. IV мы покажем, что этот результат справедлив в классе всех ковариантных измерений координаты – скорости.

Чтобы рассмотреть классический предел, положим $\mu=m / \hbar, p=\hbar P$. Тогда (7.14) принимает вид
\[
\mathscr{R}\{M\} \geqslant g_{x} D_{s}(q)+g_{v} D_{s}(p / m)+\hbar m^{-1} \sqrt{g_{x} g_{v}} .
\]

Считая, что при $n \rightarrow 0$ D $D_{s}(p) \sim$ const, $m \sim$ const, из (7.15) получаем $D_{s_{0}}\left(q_{0}\right) \sim \hbar, D_{s_{1}}\left(p_{0}\right) \sim \hbar$, так что дисперсии добавочных членов, обеспечивающих коммутативность операторов $\tilde{p}=p \otimes I_{0}+I \otimes p_{0}, \tilde{q}=q \otimes I_{0}-I \otimes q_{0}$, стремятся к нулю и измерение $\tilde{p}, \tilde{q}$ переходит в классическое измерение наблюдаемых $p, q$.