Пусть $\mathscr{K}$-бесконечномерное гильбертово простравство, $\{\mid n) ; n=0,1, \ldots\}$-ортонормированный базис и $\boldsymbol{N}$ – оператор числа квантов:
\[
\left.N=\sum_{n=0}^{\infty} n \mid n\right)(n \mid .
\]

Расемотрим семейство состояний
\[
S_{\theta}=e^{i N \theta} S e^{-i N \theta} ; \quad 0 \leqslant \theta<2 \pi,
\]

где $\theta$ – параметр фазы квантового осциллятора (см. § III.10). Охарактеризуем измерения, ковариантные по отношению к представлению $\theta \rightarrow e^{i N \theta}$ группы сдвигов по модулю $2 \pi$. Так как представление бесконечномерно, то теорема 2.1 здесь непосредственно неприменима, однако из доказываемой ниже теоремы 10.1 вытекает, что ковариантные измерения имеют здесь ту же структуру, что и в случае угла поворота:
\[
\left(n|M(d \theta)| n^{\prime}\right)=e^{l\left(n-n^{\prime}\right) \theta} p_{n n^{\prime}} \frac{d \theta}{2 \pi} .
\]

где $\left[p_{n n^{\prime}}\right]$-бесконечная положительно определенная матрица с единицами на диагонали. Из общих результатов 10 вытекает также, что измерение
\[
\left(n\left|M_{*}(d \theta)\right| n^{\prime}\right)=e^{l\left(n-n^{\prime}\right) \theta} \frac{\boldsymbol{\psi}_{n}}{\left|\boldsymbol{\psi}_{n}\right|} \cdot \frac{\overline{\boldsymbol{\Psi}}_{n^{\prime}}}{\left|\boldsymbol{\psi}_{n^{\prime}}\right|} \frac{d \theta}{2 \pi}
\]

является оптимальным для любой функции отклонения, удовлетворяющей условиям теоремь 6.1, и для исходново состояния $S=\mid \psi)\left(\psi \mid\right.$, где $\left.\Psi=\sum_{a} \psi_{n} \mid n\right)$.

Если $\psi_{n} \geqslant 0$, то мы получаем каноническое измерение фазы (III.10.13). Заметим, что всякое измерение вида (8.1) приводится к каноническому заменой базиса $\left.\mid n) \left.^{\prime}=\frac{\psi_{n}}{\left|\phi_{n}\right|} \right\rvert\, n\right)$. Вводя оператор фазы (III.10.12) для измерения (8.1):
\[
P=\int_{0}^{2 \pi} e^{\wedge \theta} M_{*}(d \theta), \quad P^{*}=\int_{0}^{2 \pi} e^{-t \theta} M_{*}(d \theta)
\]

и соответствующие оператори $C=\frac{1}{2}\left(P+P^{*}\right), \quad S=\frac{i}{2} \times$ $\times\left(P^{*}-P\right)$, удовлетворяющие соотношениям
\[
\begin{array}{c}
C^{2}+S^{2}=\left[\left.-\frac{1}{2} \right\rvert\, 0\right)\left(0\left|, \quad[C, S]=\frac{i}{2}\right| 0\right)(0 \mid, \\
{[C, N]=i S,[S, N]=-i C,}
\end{array}
\]

можно доказать аналог предложения 7.1: жеопределенность распределения вероятностей для нобого ковариантного измерения фаэь относительно чистого состояния $\mid \Psi)(\Psi \mid$ удовлетворяет неравенству
\[
\Delta(\theta) \geqslant\left[1-\frac{1}{2}|(\Psi \mid 0)|^{2}\right]^{-1}\left[\frac{1}{4} D(N)^{-1}+\frac{1}{2}|(\psi \mid 0)|^{2}\right] .
\]

Его следствнем является соотношение неопределенностей ффаза – qисло квантов:
\[
\Delta(\theta) \mathrm{D}(N) \geqslant 1 / 4,
\]

где $\Delta(\cdot)$ определяется по формуле (7.2).