Как пример применения результатов, полученных в предыдущих параграфах, рассмотрим вопрос о измерении постоянной силы, действующей на квантовомеханический объект массы $m$, по наблюдениям за этим объектом. Потенциал постоянной силы $F$ равен $V(x)=-F x$, поэтому динамика объекта описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{\hbar}\left(\frac{p^{2}}{2 m}-F q\right) .
\]

Записывая уравнение Шредингера в импульсном представлении
\[
i \frac{\partial \tilde{\phi}_{t}(\eta)}{\partial t}=-\frac{\eta^{2} \tilde{\psi}_{t}(\eta)}{2 m \hbar}-i F \frac{\partial \tilde{\psi}_{t}(\eta)}{\partial \eta},
\]

находим его решение
\[
\tilde{\psi}_{t}(\eta) \equiv V_{t} \tilde{\psi}_{0}(\eta)=\tilde{\psi}_{0}(\eta-F t) \exp \left(-\frac{i \eta^{2 t}}{2 m \hbar}+\frac{i \eta F t^{2}}{2 m \hbar}-\frac{i F^{2} t^{3}}{6 m \hbar}\right) .
\]

Отсюда, пользуясь легко устанавливаемой формулой для оператора сдвига в импульсном представлении
\[
W_{x, v} \psi(\eta)=\exp \left[-\frac{i x}{\hbar}\left(\eta-\frac{m v}{2}\right)\right] \Psi(\eta-m v),
\]

находнм следующую формулу для оператора эволюции $V_{t}=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} t\left(\frac{p^{2}}{2 m}-F q\right)\right]:$
\[
V_{t}=W_{\frac{P t^{2}}{2 m}} \quad \frac{P_{t}}{m} \cdot V_{i} \cdot \exp \left(\frac{i F^{3}}{12 m h}\right) ;
\]

здесь
\[
W_{\frac{F t^{2}}{2 m}, \frac{F t}{m}}=\exp \frac{i}{\hbar}\left(F t q-\frac{F t^{2}}{2 m} p\right)
\]
– оператор сдвига, соответствующий кинематическому преобразованию $(x, v) \rightarrow\left(x+\frac{F t^{2}}{2 m}, v+\frac{F t}{m}\right) ; V_{i}^{0}=\exp \left(-\frac{i p^{2}}{2 m \hbar}\right)-$ оператор свободной эволюции, а последняя экспонента является несущественным для дальнейшего фазовым множителем.

Формула (4.2) имеет простой физический смысл. В классической механике уравнения движения в поле постоянной силы $F$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
p(t)=p+F t, \\
q(t)=q+\frac{p}{m} t+\frac{F t^{2}}{2 m} .
\end{array}
\]

Преобразование $(p, q) \rightarrow(p(t), q(t))$ можно представить как суперпозицию двух преобразований: кинематического сдвига $(p, q) \rightarrow\left(p+F t, q+\frac{F t^{2}}{2 m}\right)$ и преобразования $(p, q) \rightarrow$ $\rightarrow\left(p, q+\frac{p}{m} t\right)$, которое соответствует свободному движению. Формула (4.2) является квантовомеханическим аналогом этого факта (из нее следуют операторные уравнения для наблюдаемых $p(t)=V^{*} p V_{t}, \quad q(t)=V^{*} q V_{t}, \quad$ которые имеют точно такой же вид, как классические).

В итоге можно сказать, что за время $t$ состояние $S$ перейдет в состояние
\[
V_{t} S V_{i}^{*}=W_{\frac{F t^{2}}{2 m}}, \frac{F t}{m} \cdot S_{i}^{0} \cdot W^{*} \frac{F t^{2}}{2 m}, \frac{F t}{m},
\]

где $S_{i}^{0}=V_{i}^{i} S\left(V_{i}^{i}\right)^{*}$ – состояние, в которое перешел бы объект при отсутствии силы. Обозначая результирующее состояние $S_{P}$ и учитывая (4.3), имеем

где
\[
S_{F}=e^{I F A} S_{i}^{0} e^{-I F A},
\]
\[
A=\frac{t}{\hbar}\left(q-\frac{p}{2 m} t\right) \text {. }
\]

Рассмотрим теперь вопрос-с какой точностью можно оценить величину силы $F$, действовавшей на объект в интервале времени $(0, t)$, по измерениям, относящимся к моменту $t$ ? Проведенный анализ показывает, что это сводится к оцениванию параметра сдвига $F$ в семействе состояний (4.4), так что к этой задаче полностью применимы результаты предыдущих параграфов.

В предположении, что оператор (4.5) имеет конечный второй момент относительно состояния $S_{i}^{0}$, для дисперсии любого несмещенного измерения $\boldsymbol{M}$ силы $F$ выполняется неравенство (3.9). Выразим входящую в него величину $\mathrm{D}_{s_{i}^{0}}(A)$ через дисперсии, относящиеся к исходному состоянию $S$. Имеем
\[
\mathrm{D}_{s_{i}^{0}}(A)=\frac{t^{2}}{\hbar^{2}} \mathrm{D}_{s}\left(q^{0}(t)-\frac{p^{0}(t)}{2 m} t\right),
\]

где $q^{0}(t)=\left(V_{i}^{0}\right)^{*} q V_{i}^{0}, \quad p^{0}(t)=\left(V_{i}^{0}\right)^{*} p V_{i}^{0}$. Дифференцируя уравнения свободного движения (III.8.2) по $x$ и (III.8.3) по $v$, получаем операторные уравнения, аналогичные уравнениям свободного движения в классической механике:
\[
\begin{array}{l}
p^{0}(t)=p, \\
q^{0}(t)=q+\frac{p}{m} t .
\end{array}
\]

Подставляя это в (4.6), получаем окончательно меравенство для дисперсии любого несмещенного измерения Мсиль F:
\[
\mathrm{D}_{F}\{M\} \geqslant \frac{h^{2}}{4 t^{2} \mathrm{D}_{S}\left(q+\frac{p}{2 m} t\right)},
\]

которое имеет место в предположении, что $р$ и $q$ имеют конечные вторье моменть относительно состогния $S$.

Предположим дополнительно, что $q$ и $p$ некоррелированы относительно исходного состояния $S$, т. е. при $t=0$
\[
\left\langle q-\mathrm{E}_{S}(q), p-\mathrm{E}_{S}(p)\right\rangle_{s}=0 .
\]

Тогда неравенство (4.8) принимает вид
\[
\mathrm{D}_{F}\{M\} \geqslant \frac{\hbar^{2}}{4 t^{2}}\left[\mathrm{D}_{S}(q)+\frac{t^{2}}{4 m^{2}} \mathrm{D}_{S}(p)\right]^{-1} .
\]

Заметим, что в силу соотношения неопределенностей максимальное значение правой части равно $\frac{\hbar m}{2 t^{3}}$ и достигается при $\mathrm{D}_{S}(p)=\frac{\hbar m}{t}, \mathrm{D}_{S}(q)=\frac{\hbar t}{4 m}$. Таким образом, п р и наименее выгодных для жспериментатора исходных условиях
\[
\mathrm{D}_{F}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \frac{\hbar m}{2 t^{3}} .
\]

Приготовляя соответствующим образом начальное состояние, можно в принципе добиться измерения $F$ со сколь угодно высокой точностью при фиксированном $t$. Чтобы это показать, рассмотрим наблюдаемые вида
\[
B=\alpha \frac{2 m q}{t^{2}}+\beta \frac{p}{t} \quad(\alpha+\beta=1),
\]

которые удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению с $A$ :
\[
[A, B]=i I \text {. }
\]

Более точно, соответствующие унитарные группы удовлетворяют соотношению Вейля типа (III.4.1):
\[
e^{i A t} e^{i B s} e^{-i A t}=e^{-i s t} e^{i B s} .
\]

Это легко следует из выражений для $A$ и $B$, которые являются линейными комбинациями $p$ и $q$, и соотношения Вейля – Сигала (III.3.2). Отсюда, как и в § III.4, вытекает, что наблюдаемая $B$ задает ковариантное и, знаqит, несмещенное (с точностью до постоянной) измерение параметра $F$ в семействе (4.4). Чтобы получить несмещенное измерение, следует вычесть из $p$ и $q$ их средние значения $\mathrm{E}_{s_{t}^{p}}(p)=\mathrm{E}_{s}(p), \mathrm{E}_{s_{i}^{p}}(q)=\mathrm{E}_{s}(q)+\frac{t}{m} \mathrm{E}_{s}(p)$. Учитывая (4.7) и (4.9), получаем дисперсию
\[
\begin{aligned}
\mathrm{D}_{s_{i}^{0}}(B)=\mathrm{D}_{s}\left(\alpha \frac{2 m\left(q+\frac{t}{m} p\right)}{t^{2}}\right. & \left.+\beta \frac{p}{t}\right)= \\
= & \frac{4 m^{2}}{t^{4}} \mathrm{D}_{S}(q) \alpha^{2}+\frac{\mathrm{D}_{S}(p)}{t^{2}}(2 \alpha+\beta)^{2} .
\end{aligned}
\]

Минимум этой величины при условии $\alpha+\beta=1$ достигается при $\alpha=-D_{S}(p)\left[\frac{4 m^{2}}{t^{2}} D_{S}(q)+D_{S}(p)\right]^{-1}$, т. е. на несмещенной оценке
\[
\begin{aligned}
B_{*}=t^{-1}\left[\mathrm{D}_{S}(p)^{-1}\right. & \left.+\frac{t^{2}}{4 m^{2}} \mathrm{D}_{S}(q)^{-1}\right]^{-1} \times \\
& \times\left[\frac{p-\mathrm{E}_{S}(p)}{\mathrm{D}_{S}(p)}-\frac{t}{2 m} \frac{q-\frac{p}{m} t-\mathrm{E}_{S}(q)}{\mathrm{D}_{S}(q)}\right],
\end{aligned}
\]

и равен
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{D}_{S_{t}^{0}}\left(B_{*}\right)=t^{-2}\left[\mathrm{D}_{S}(p)^{-1}+\frac{t^{2}}{4 m^{2}} \mathrm{D}_{S}(q)^{-1}\right]^{-1} \equiv \\
=\frac{\mathrm{D}_{S}(q) \cdot \mathrm{D}_{S}(p)}{t^{2}\left[\mathrm{D}_{S}(q)+\frac{t^{2}}{4 m^{2}} \mathrm{D}_{S}(p)\right]} .
\end{array}
\]

Как и должно быть, эта величина удовлетворяет неравенству (4.10), причем равенство достигается, если $S-$ состояние минимальной неопределенности.

Из (4.13) видно, что дисперсия измерения силы $B_{*}$ стремится к нулю, если одна из величин $\mathrm{D}_{s}(p), \mathrm{D}_{s}(q)$ стремится к нулю. Пусть $\mathrm{D}_{s}(p) \approx 0$, т. е. исходное состояние имеет почти точно определенный импульс $\mathrm{E}_{s}(p)$, тогда из (4.12) следует, что $B_{*} \approx \frac{p-\mathrm{E}_{S}(p)}{t}$. В этом случае наблюдаемая $\frac{p-\mathrm{E}_{S}(p)}{t}$ дает почти точное значение измеряемой силы, что, очевидно, согласуется с мполуклассическими» соображениями, основанными на законе сохранения импульса $F \cdot t=\Delta p$. Если же $\mathrm{D}_{s}(q) \approx 0$, то из (4.12) следует, что
\[
B_{*} \approx \frac{2 m}{t^{2}}\left(q-p \frac{t}{m}-E_{s}(q)\right)
\]

С точки зрения классических аналогий смысл этого выражения также понятен: $q-p \frac{t}{m}$ есть значение координаты при $t=0$, которое привело бы к значению $q$ в момент $t$ при отсутствии силы. В квантовой механике $q-p \frac{t}{m}=V_{-t}^{0} q\left(V_{-i}^{0}\right)^{*}$ имеет аналогичный смысл, однако характер измерительной процедуры, отвечающей наблюдаемым типа (4.14), (4.12) уже не очевиден, поскольку $q$ и $p$ являются несовместимыми наблюдаемыми.

Не затрагивая здесь вопроса о практической реализуемости, укажем принципиальную возможность измерения произвольной линейной ксмбинации координаты $q$ и импульса $p$ в квантовой механике. Устранив несущественный коэффициент, можно считать, что речь идет об измерении наблюдаемой вида $q \cos \tau+p \sin \tau(0<\tau<2 \pi)$. Из теории квантового осциллятора (§ III.10) известно, что
\[
q \cos \tau+p \sin \tau=\tilde{V} \tau q \tilde{V}_{\tau},
\]

где $\tilde{V}_{\tau}$ – унитарные операторы, описывающие динамику осциллятора с частотой $\omega=1$. Поэтому измерение наблюдаемой (4.15) в состоянии $S$ эквивалентно измерению $q$ в состоянии $\tilde{V}_{\tau} S \tilde{V}_{\tau}^{*}$. Таким образом, если в течение промежутка времени $[t, t+\tau]$ объект находится в подходящем квадратичном потенциальном поле, то распределение вероятностей его координаты в момент $t+\tau$ будет таким же, как распределение вероятностей наблюдаемой $q \cos \tau+p \sin \tau$ в момент $t$. (Если речь идет об исходной задаче измерения силы, то действие силы в промежутке $[t, t+\tau]$ должно быть каким-либо образом исключенонапример, посредством экранирования или перевода движения в плоскость, перпендикулярную направлению силы.)

В sаключение покажем, что если исходное состояние $S$-а ауссовское, то наблодаемая (4.12) дает наилучиее несмеченное измерекие, а величика (4.13)-нижню граничу дисперсий в классе всах яокально несмещенных измерениі параметра силь $F$.

Найдем симметричную логарифмическую производную $L_{F}$ семейства $\left\{S_{F}\right\}$. Согласно предыдущему параграфу, достаточно это сделать для $F=0$. В силу (3.11)
\[
L_{0}=\mathfrak{D}_{0}(A),
\]

где $\mathfrak{D}_{0}$ – коммутационный оператор состояния $S_{i}$. Напомним, что $S_{i}^{i}=V_{i} S^{\prime}\left(V_{i}^{i}\right)^{*}$. Из определений коммутационного оператора тогда вытекает, что
\[
\mathfrak{D}_{0}(A)=V_{i}^{0} \mathfrak{D}\left(\left(V_{i}^{\imath}\right)^{*} A V_{i}^{\imath}\right)\left(V_{i}^{i}\right)^{*},
\]

где $\mathfrak{D}$ – коммутационный оператор исходного гауссовского состояния $S$. Используя выражение (4.5) для оператора $A$ и формулы (V.6.11), находим
\[
L_{0}=t\left[\frac{p-\mathrm{E}_{S}(p)}{\mathrm{D}_{S}(p)}-\frac{t}{2 m} \frac{q-\frac{p}{m} t-\mathrm{E}_{S}(q)}{\mathrm{D}_{S}(q)}\right],
\]

так что $B_{*}=L_{0} / D_{0}\left(L_{0}\right)$ и $D_{s q}\left(L_{0}\right)^{-1}=\mathrm{D}_{0}\left(L_{0}\right)^{-1}=\mathrm{D}_{s q}\left(B_{*}\right)$. Неравенство (2.9) дает
\[
\mathrm{D}_{F}\{M\} \geqslant t^{-2}\left[\mathrm{D}_{s}(p)^{-1}+\frac{t^{2}}{4 m^{8}} \mathrm{D}_{S}(q)^{-1}\right]^{-1}
\]

для любого локально несмещенного измерения $\boldsymbol{M}$ параметра $F$.