Говорят, что группа преобразований $G$ действует транsитивно на $\boldsymbol{\theta}$, если всякая точка $\theta_{0}$ может быть переведена во всякую другую точку $\theta$ некоторым преобразованием $g \in G$. Для транзитивной параметрической группы непрерывное отображение $g \rightarrow g \theta_{0}=\theta(g)$ является отображением группы $G$ на все множество 8 . Это отображение взаимно-однозначно тогда и только тогда, когда стационарная подгрупna $G_{0}$, оставляющая на месте точку $\theta_{0}$,
является тривиальной, т. е. сводится к тождественному преобразованию. Рассмотрим группу сдвигов прямой $\mathbb{R}$. Фиксируем кначало отсчета» $\theta_{0} \in \mathbb{R}$. Всякая точка $\theta \in \mathbb{R}$ получается некоторым сдвигом $x$ точки $\theta_{0}: \theta=\theta_{0}+x$. Отображение $x \rightarrow \theta_{0}+x=\theta(x)$, очевидно, является взаимнооднозначным. Это же верно и для группы поворотов $\mathbb{T}$. Рассмотрим теперь группу вращений пространства $\mathbb{R}^{8}$. Фиксируем направление (кполюсм) $\boldsymbol{n}_{0} \in \mathbb{S}^{2}$. Всякое направление $\boldsymbol{n}$ может быть получено из $\boldsymbol{n}_{0}$ некоторым вращением $\boldsymbol{R}, \boldsymbol{n}=\boldsymbol{R} \boldsymbol{n}_{0}$; отображение $\boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R} \boldsymbol{n}_{0}=\boldsymbol{n}(\boldsymbol{R})$ не является взаимно-однозначным, так как $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{R})=\boldsymbol{n}\left(\boldsymbol{R} \boldsymbol{R}_{0}\right)$, где $\boldsymbol{R}_{0}$ любое вращение вокруг оси $\boldsymbol{n}_{0}$.

Так как множества $\Theta$ и $G$ являются непрерывными многообразиями в конечномерном пространстве, то можно рассматривать меры на их борелевских подмножествах. Мера $\mu(d g$ ) на группе $G$ называется лево- (право-) инвариантной, если она не изменяется при левых (правых) сдвигах борелевских множеств $A \subset G$ :
\[
\mu(g A)=\mu(A) \text { (соответственно } \mu(A g)=\mu(A) \text { ), } g \in G,
\]

где $g A=\left\{g^{\prime}: g^{\prime}=g g^{\prime \prime}, g^{\prime \prime} \in A\right\}$ – левый сдвиг множества $A$, $A g=\left\{g^{\prime}: g^{\prime}=g^{\prime \prime} g, g^{\prime \prime} \in A\right\}$ – правый сдвиг множества $A$. Из обей теории непрерывных групп известно, что ма всякой параметрической группе существует левоинвариантная мера. Если существует инвариантная (т. е. левои правоинвариантная) мера, то группа называется унимодулярной. Если группа компактна (т. е. является ограниченным и замкнутым подмножеством конечномерного пространства), то всякая односторонне инвариантная мера является инвариантной (в этом случае мы всегда будем нормировать ее так, что $\mu(G)=1$ ). В дальнейшем мы будем иметь дело только с унимодулярными группами.

Если $G_{0}$ такэсе унимодулярна, то на $\Theta$ существует мера $v$, инвариантная относительно сдвигов
\[
v\left(B_{g}\right)=v(B) ; \quad g \in G, B \in \operatorname{et}(\theta) .
\]

Если $G_{0}$ компактна (что мы и будем далее предполагать), то эта мера может быть построена как образ инвариантной меры $\mu$ на $G$ при отображении
\[
v(B)=\mu\left(\theta^{-1}(B)\right),
\]

где $\theta^{-1}(B)=\left\{g: g_{0} \in B\right\}-$ прообраз борелевского подмножества $B \subset \Theta$. Для любой интегрируемой функции $f$
\[
\int_{G} f\left(g \theta_{0}\right) \mu(d g)=\int_{\theta} f(\theta) v(d \theta) .
\]

Инвариантность $v$ следует из левоинвариантности $\mu$. В силу правоинвариантности $\mu$ полученная таким образом мера $v$ не зависит от выбора исходной точки $\theta_{0}$, так как если $\theta_{1}=g_{1} \theta_{0}$, то
\[

u(B)=\mu\left\{g: g \theta_{0} \in B\right\}=\mu\left\{g g_{1}: g g_{1} \theta_{0} \in B\right\}=\mu\left\{g: g \theta_{1} \in B\right\} .
\]

Классическим примером инвариантной меры является мера Лебега $d x$ на группах сдвигов $\mathbb{R}$ и $T$. В случае группы вращений инвариантная мера $v$ на $\mathbb{S}^{2}$ с точностью до множителя совпадает с евклидовой площадью на единичной сфере. Выражение для элемента инвариантной меры $\mu$ на группе вращений будет приведено в § 5 .

Предложение 2.1. Пусть $M(d \theta)$-измерение, ковариантное по отношению к проективному унитарному представлению $g \rightarrow V_{g}$ группы $G$. Для любого состояния $S$ и любого борелевского $B \subset \Theta$
\[
\int_{G} \operatorname{Tr} V_{g} S V_{g}^{*} M(B) \mu(d g)=v(B) .
\]

Доказательство. Используя (1.1), получаем
\[
\begin{array}{l}
\int_{\sigma} \operatorname{Tr} V_{g} S V_{B}^{*} M(B) \mu(d g)=\int_{G} \operatorname{Tr} S M\left(B_{g-1}\right) \mu(d g)= \\
=\int_{\theta} \int_{\theta} 1_{B}\left(g \theta_{0}\right) \mu_{S}\left(d \theta_{0}\right) \mu(d g),
\end{array}
\]

где $\mu_{S}(d \theta)=\operatorname{Tr} S M(d \theta)$ – распределение вероятностей измерения $M(d \theta)$. Используя соотношение (2.1) и тот факт, что мера $v$ не зависит от выбора $\theta_{0}$, получаем, что это равно
\[
\int_{\theta} \mu_{S}\left(d \theta_{0}\right) \int_{G} 1_{B}\left(g \theta_{0}\right) \mu(d g)=v(B) .
\]

Используя этот результат, мы получим теорему, дающую описание ковариантных измерений в случае конечномерного представления $g \rightarrow V_{g}$. Требование конечномерности позволяет избежать ряда технических трудностей;

как мы далее убедимся, ковариантные измерения имеют аналогичную структуру и в бесконечномерном случае.

Нам понадобятся интегралы от операторнозначных функций. В конечномерном случае оператор задается своей матрицей, имеющей конечное число компонент, и интеграл легко определяется покомпонентно.

Теорема 2.1. Пусть измерение $M(d \theta)$ ковариантно по отночению $\kappa$ коночномерному представлению $g \rightarrow V_{g}$. Тогда существует эрмитов положительньй оператор $P_{0}$, коммутирующий со всеми операторами $\left\{V_{g} ; g \in G_{0}\right\}$ подпредставления стационарной подеруппы $G_{0}$ точки $\theta_{0}$ такой, что, полагая

имеем
\[
P\left(g \theta_{0}\right)=V_{g} P_{0} V_{\mathrm{g}}^{*},
\]
\[
M(B)=\int_{B} P(\theta) v(d \theta)
\]

для любого борелевского $B \subset \Theta$.
Примечание. В силу условия $\left[P_{0}, V_{g}\right]=0, g \in G_{0}$, формула (2.3) действительно определяет однозначную операторную функцию на $\Theta$. Мы будем символически записывать (2.4) в виде
\[
M(d \theta)=V_{g} P_{0} V_{g}^{*} v(d \theta),
\]

подразумевая, что $g$ и $\theta$ связаны соотношением $g \theta_{0}=\theta$. Такое разложение единицы не может быть ортогональным, поэтому в конечномерном случае ковариантных простых измерений вообще не существует.

Доказательство. Пусть $d=\operatorname{dim} \mathscr{H}$. Полагая в (2.2) $S=d^{-1} I$, получаем $\operatorname{Tr} M(B)=d^{-1} v(B)$. Отсюда следует, что положительная операторнозначная мера $M(d \theta)$ дифференцируема по скалярной мере $v(d \theta)$, так что
\[
M(B)=\int_{B} P(\theta) v(d \theta),
\]

где $P(\cdot)$-определенная однозначно $v$-почти всюду положительная операторнозначная функция, называемая плотностью меры $M(d \theta)$ по мере $v(d \theta)$. Для доказательства фиксируем базис $\left\{e_{j}\right\}$ в $\mathscr{K}$ и рассмотрим матричные элементы $\left(e_{l} \mid M(B) e_{j}\right)$. Как фунхции множества $B$, они являются комплекснозначными мерами, которые мажорируются мерой $v$, точнее,
\[
\left|\left(e_{i} \mid M(B) e_{j}\right)\right| \leqslant d^{-1} v(B), \quad B \in \mathscr{C}(\theta) .
\]

В самом деле, из положительности оператора $M(B)$ и неравенства Коши – Буняковского следует
\[
\left|\left(e_{i} \mid M(B) e_{j}\right)\right| \leqslant \sqrt{\left(e_{i} \mid M(B) e_{i}\right)\left(e_{j} \mid M(B) e_{i}\right)}
\]

и $0 \leqslant\left(e_{i} \mid M(B) e_{i}\right) \leqslant d^{-1} v(B)$, так как
\[
\operatorname{Tr} M(B) \equiv \sum_{i}\left(e_{i} \mid M(B) e_{l}\right)=d^{-1} v(B) .
\]

Из теоремы Радона-Никодима для скалярных мер вытекает, что
\[
\left(e_{i} \mid M(B) e_{j}\right)=\int_{B} p_{i j}(\theta) v(d \theta),
\]

где $p_{l j}(\cdot)$-скалярная плотность, определенная однозначно $v$-почти всюду и удовлетворяющая, в силу (2.7), неравенству $\left|p_{i j}(\theta)\right| \leqslant d^{-1}$. Пусть $\left.P(\theta)=\sum_{i j} p_{i j}(\theta) \mid e_{i}\right)\left(e_{j} \mid\right.$ – оператор, имеющий матрицу $\left[p_{i j}(\theta)\right]$ в базисе $\left\{e_{j}\right\}$; тогда имеет место (2.6). Положительность $P(\theta) v$-почти всюду следует из положительности операторов $M(B)$.
Из условия ковариантности (1.1) вытекает
\[
\int_{B} V_{g}^{*} P(\theta) V_{g} v(d \theta)=\int_{B g-1} P(\theta) v(d \theta)=\int_{B} P\left(g^{-1} \theta\right) v(d \theta),
\]

откуда, в силу единственности плотности,
\[
V_{g}^{*} P(\theta) V_{g}=P\left(g^{-1} \theta\right)
\]

для $v$-почти всех $\theta$. Полагая $P_{0}=P\left(\theta_{0}\right)$, получаем (2.3), (2.4).

Таким образом, формула (2.4) устанавливает взаимнооднозначное аффинное соответствие между двумя выпуклыми множествами: множеством всех ковариантных $\theta$ измерений $\mathfrak{M}(\Theta)$ и множеством $\mathfrak{P}$ эрмитовых операторов $P_{0}$ в $\mathscr{K}$, удовлетворяющих условиям:
1) $\left[P_{0}, V_{g}\right]=0, g \in G_{0}$, где $G_{0}$-стационарная подгруппа точки $\theta_{0}$;

2) $P_{0} \geqslant 0$;
3) $\int_{\theta} V_{g} P_{0} V_{\mathrm{g}}^{*} v(d \theta) \equiv \int_{G} V_{g} P_{0} V_{\mathrm{g}}^{*} \mu(d g)=\mathrm{I}$.

Наиболее неудобным здесь представляется последнее условие; оказывается, что в случае неприводимого представления оно упрощается и множество $\mathfrak{P}$ допускает очень простое описание.

Пусть $g \rightarrow V_{g}$ – неприводимо представление группы $G$ в пространстве $\mathscr{\mathscr { H }}$. Предположим сначала, что группа $G$ компактна; из общей теоремы теории представлений вытекает, что всякое неприводимое представление $G$ конечномерно, так что $d=\operatorname{dim} \mathscr{\mathscr { C }}<\infty$. Для неприводимого представления имеют место со от ношен и я о то ональности
\[
\int\left(\Psi_{1} \mid V_{g} \varphi_{1}\right)\left(\varphi_{2} \mid V_{B}^{*} \psi_{2}\right) \mu(d g)=c\left(\varphi_{2} \mid \varphi_{1}\right)\left(\psi_{1} \mid \psi_{2}\right),
\]

где $c$-козффициент, зависящий от нормировки инвариантной меры $\mu$ и равный $d^{-1}$ для принятой нами нормировки $\mu(G)=1$.

Так как всякий оператор $T$ в конечномерном пространстве является оператором конечного ранга, $T=$ $\left.=\sum \mid \varphi_{1}^{l}\right)\left(\varphi_{9}^{l} \mid\right.$, то из (2.8) и выражения (II.1.17) для следа оператора конечного ранга вытекает

или
\[
\int\left(\psi_{1} \mid V_{g} T V_{\mathrm{g}}^{*} \psi_{2}\right) \mu(d g)=d^{-1}\left(\psi_{1} \mid \psi_{2}\right) \operatorname{Tr} T,
\]
\[
\int V_{g} T V_{g}^{*} \mu(d g)=d^{-1} \operatorname{Tr} T \cdot \mathrm{I} .
\]

В частности, если $S$-оператор плотности, то
\[
\int V_{g} S V_{g}^{*} \mu(d g)=d^{-1} I .
\]

Беря след от обеих частей этого равенства и замечая, что $\operatorname{Tr} V_{g} S V_{g}^{*}=\operatorname{Tr} S=1$, убеждаемся в правильности соответствия нашей нормировки значению $c=d^{-1}$. Если взять $c=1$, то это соответствует нормировке
\[
\mu(G)=\operatorname{dim} \mathscr{K}=d .
\]

Из (2.9) видно, что условие 3) в неприводимом случае эквнвалентно тому, что $\operatorname{Tr} P_{0}=d$; в совокупности с условием 2) это означает, что $d^{-1} \cdot P_{0}$ является оператором плотности. Таким образом, множество $\Re$ можно описать как множество операторов вида $P_{0}=d \cdot S_{0}$, где $S_{0}$ – произвольный оператор плотности, коммутирующий с операторами $\left\{V_{g} ; g \in G_{0}\right\}$. Отсюда вытекает

Предложение 2.2. Пусть $g \rightarrow V_{g}$ – неприводимое представление компактной группы $\vec{G}$. Соотношение
\[
M(d \theta)=d \cdot V_{g} S_{0} V_{g}^{*} v(d \theta) \quad\left(\theta=g \theta_{0}\right)
\]

устанавливает взаимно-однозначное аффинное соответствие между ковариантными измерениями и операторами плотности $S_{0}$, коммутирующияи с операторами $\left\{V_{g} ; g \in G_{0}\right\}$, где $G_{0}$-стационарная подеруппа точки $\theta_{0}$. В частности, крайними точками мнохсетва измерении будут те, которые отвечают одномерным проекторам $S_{0}=S_{\boldsymbol{\psi}_{0}}$, m. е.
\[
\left.M(d \theta)=d \cdot V_{g} \mid \psi_{0}\right)\left(\psi_{0} \mid V_{g}^{*} v(d \theta) .\right.
\]

Условие $\left[S_{\psi_{0}}, V_{g}\right]=0, g \in G_{0}$, соответствует здесь тому, что
\[
\left.\left.V_{g} \mid \psi_{0}\right)=\lambda_{g} \mid \psi_{0}\right), \quad g \in G_{0},
\]

аде $\left|\lambda_{g}\right|=1$.
Соотношения ортогональности (2.8) имеют место и для некомпактных параметрических групп и их неприводимых представлений при условии квадратичной интегрируемости матричных элементов $\left(\psi_{1} \mid V_{g} \psi_{2}\right), g \in G$. Нормируя теперь $\mu$ так, что $c=1$, получаем для любого оператора плотности $S$
\[
\int V_{g} S V_{g}^{*} \mu(d g)=1
\]

в смысле слабой сходимости. Опираясь на этот факт, установим характеризацию ковариантных измерений, аналогичную формуле (2.12). Теперь мы предполагаем, что меры $\mu$ и $v$ нормированы так, что выполнено (2.13) (для компактной группы это соответствовало бы нормировке (2.11)).
Теорема 2.2. Соотношение
\[
M(B)=\int_{B} V_{g} S_{0} V_{g}^{*} v(d \theta) \quad\left(\theta=g \theta_{0}\right)
\]

устанавливает взаимно-однозначное соответствие между измерениями $\{M(B)\}$, ковариантными по отношению
$\kappa$ кеприводимому квадратично-интегрируемому представлекию $g \rightarrow V_{g}$ группы $G, u$ операторами плотности $S_{0}$, коммутирующими с операторами $\left\{V_{g} ; g \in G_{0}\right\}$. Интеграл в (2.14) понимается в смысле слабой сходимости; если $v(B)<\infty$, то интеграл можно понимать как интеграл Бохнера функции со значениями в $\mathfrak{T}^{1}(\mathscr{K})$.

В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим совместные измерения координаты – скорости (см. § III.7). Группа $G$ здесь является группой сдвигов $(\xi, \eta) \rightarrow(\xi+x, \eta+v)$ плоскости $\Theta=\mathbb{R}^{2}$. Стационарная подгруппа точки $\theta_{0}=(0,0)$ тривиальна, так что $\Theta=G$.

Как было показано в гл. III, всякое непрерывное неприводимое проективное представление этой группы $(x, v) \rightarrow W_{x, v}$ унитарно эквивалентно представлению Шредингера с некоторым значением $\mu
eq 0$. Следовательно, оно является квадратично-интегрируемым (предложение III.6.1), причем значению $c=1$ отвечает инвариантная мера $\frac{\mu d x d v}{2 \pi}$. Используя доказанную теорему, получаем, что всякое измерение $M(d x d v)$, ковариантное по отношению к представлению $(x, v) \rightarrow W_{x, v}$, имеет вид
\[
M(d x d v)=W_{x, v} S_{0} W_{x, v}^{*} \frac{\mu d x d v}{2 \pi},
\]

а крайними точками являются измерения вида (III.7.5).
Мера точности $\mathscr{R}\{\boldsymbol{M}\}=g_{x} \mathrm{D}_{x}\{\boldsymbol{M}\}+g_{v} \mathrm{D}_{v}\{\boldsymbol{M}\}$ является аффинным функционалом ковариантного измерения $M$; можно показать (см. комментарии), что необходимые условия регулярности выполняются и $\mathscr{R}\{\boldsymbol{M}\}$ действительно достигает минимума в крайней точке множества ковариантных измерений. Отсюда вытекает

Предложение 2.3. Каноническое измерение (III.7.7) является оптимальным в классе всех ковариантных измерений координаты-скорости в смысле меры точности $\mathscr{R}\{\boldsymbol{M}\}$.

Докаэательство теоремы 2.2. Основная техническая трудность заключается в доказательстве бесконечномерного аналога соотношения (2.6). Мы будем использовать свойства следа в классе ядерных операторов, рассмотренные в § 11.7.

Лемма 2.1. Пусть $M$ – полохительный эрмитов оператор, $\left\{T_{n}\right\}$ – нонотонно меубызающая последовательность эрмитовых ядерных операторое, слабо сходящался к единичному оператору. Тода

[т IV
Доказательство. Пусть $\left\{e_{1}\right\}$ – некоторый базис в $\mathscr{K}$; тогда
\[
\operatorname{Tr} T_{n} M=\operatorname{Tr} V \bar{M} T_{n} V \bar{M}=\sum_{i}\left(V \bar{M} e_{j} \mid T_{n} V \bar{M} e_{i}\right) .
\]
$\left(\sqrt{\bar{M}} e_{j} \mid \sqrt{\bar{M}} e_{j}\right)=\left(e_{j} \mid M e_{j}\right)$. По известной теореме о монотонной сходимости $\sum_{j}\left(\sqrt{\bar{M}} e_{j} \mid T_{n} \sqrt{\bar{M}} e_{f}\right) \uparrow \sum_{j}\left(e_{f} \mid M e_{f}\right)=\operatorname{Tr} M$.

Лемма 2.2. Пусть $\{M(B)\}$-ковариантное измерение. Тогда $\operatorname{Tr} M(B)=v(B)$. В частности, если $v(B)<\infty$, то $M(B)$ – ядерный onepamop.

Доказательство. Выберем расширяющуюся последовательность компактных множеств $\left\{B_{n}\right\}$, покрывающую Ө. Рассмотрим операторы
\[
T_{n}=\int_{B_{n}} V_{g} S V_{g}^{*} \mu(d g),
\]

где $S$-произвольный оператор плотности. Так как $\mu\left(B_{n}\right)<\infty$, и $\mid V_{g} S V^{*} \mathbf{h}=\operatorname{Tr} V_{g} S V_{\mathbf{g}}^{*}=1$, то интеграл (2.15) определен как интеграл Бохнера от функцин со эначениями в банаховом пространстве $\mathfrak{Z}^{1}(\mathscr{K})$ ядерных операторов, так что $T_{n}$-ядерный. Тах хак $V_{g} S V_{g}^{*} \geqslant 0$ в $B_{n} \subseteq B_{n+1}$, то $T_{n} \leqslant T_{n+1}$. Кроме того, $T_{n} \rightarrow 1$ слабо в снлу (2.13). Последовательность $\left\{T_{n}\right\}$, удовлетворяет условию лемми 2.1 , н, значнт, $\operatorname{Tr} M(B)=\lim _{n} \operatorname{Tr} T_{n}^{n} M(B)$. Но в силу (2.2)
\[
\lim _{n} \operatorname{Tr} T_{n} M(B)=\lim _{n} \int_{B_{n}} \operatorname{Tr} V_{g} S V_{g}^{*} M(B) \mu(d g)=v(B),
\]

и лемма доказана.
Пусть $\left\{e_{j}\right\}-6 а з и с ~ в ~ \mathscr{C}$. Рассуждая ках при доказательстве теоремы 2.1, из леммы 2.2 получаем
\[
\left|\left(e_{i} \mid M(B) e_{j}\right)\right| \leqslant v(B), \quad B \in \operatorname{et}(\theta),
\]

откуда по теореме Радона-Никоднма для скалярных мер
\[
\left(e_{i} \mid M(B) e_{j}\right)=\int_{B} p_{l j}(\theta) v(d \theta)
\]

где $p_{i j}(\theta)$-определенная однозначно $v$-почти всюду плотност в, удовлетворяющая неравенству $\left|p_{i j}(\theta)\right| \leqslant 1$. Из положительности оператора $M(B)$ вытекает положительная определенность бесконечной матрицы $\left[p_{i j}(\theta)\right]$ при $v$-почти всех $\theta$. Тах ках по лемме 2.2 $\sum_{i}\left(e_{i} \mid M(B) e_{i}\right)=\operatorname{Tr} M(B)=v(B)$, то $\sum_{i} p_{l i}(\theta)=1$ при $v$-почти всех $\theta$. Таким образом, $\left[p_{i j}(\theta)\right]$ является матрицей оператора плотности
\[
\left.P(\theta)=\sum_{i j} \rho_{i j}(\theta) \mid e_{i}\right)\left(e_{j} \mid \cdot\right.
\]

Из (2.16) вытекает, что для любого $\psi \in \mathscr{K}$
т. е. что
\[
(\Psi \mid M(B) \psi)=\int_{B}(\psi \mid P(\theta) \psi) v(d \theta),
\]
\[
M(B)=\int_{B} P(\theta) v(d \theta)
\]

в смысле слабой сходимости. Утверждение об интегрируемости по Бохнеру вытекает из стандартных рассуждений, и мы опускаем его доказательство. Из условня ковариантности, как при доказательстве теоремы 2.1, получаем $P(\theta)=V_{g} P\left(\theta_{0}\right) V_{g}^{*}$. Полагая $P\left(\theta_{0}\right)=S_{0}$, получаем представление (2.14).

Ооратно, если $S_{0}$-оператор плотности, удовлетворяющий условиям теоремы, то, определяя $M(B)$ по формуле (2.14), где интеграл понимается в смысле слабой сходимости, мы получаем семейство операторов $\{M(B)\}$, обладающее всеми свойствами разложения единнды. В самом деле, $M(B) \geqslant 0$, так как подынтегральная функция положительна. Счетная аддитивность вытекает из соответствующего свойства интеграла:
\[
\int_{\bigcup_{i} B_{i}}(\Psi \mid P(\theta) \psi) v(d \theta)=\sum_{i} \int_{B_{i}}(\Psi \mid P(\theta) \Psi) v(d \theta),
\]

если $B_{i} \cap B_{j}=\emptyset$ при $i
eq j$. Наконец, условие нормировки $M(\Theta)=1$ вытекает из (2.13). Теорема доказана.