История теоремы фон Неймана хорошо показывает, что вопрос о скрытых параметрах не сводится к чисто математической задаче. Поскольку речь идет о соотношении между структурами квантовой механики и классической теории вероятностей и о возможности сведения в каком-то смысле первой ко второй, то решающую роль приобретает выбор основных свойств, определяющих эти структуры. Поэтому математическому рассмотрению проблемы скрытых параметров должен предшествовать содержательный анализ основных положений и неформальный выбор определенных аксиоматических систем обеих теорий.

Здесь уместно вспомнить, что вопрос о «математическом изложении аксиом физики» был поставлен Гильбертом в его известном докладе на II Математическом конгрессе в 1900 г. Конкретно речь тогда шла «об аксиоматическом построении… тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика». Знаменательно, что в один ряд с логическим обоснованием теории вероятностей Гильберт поставил «развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов», затронув, таким образом, одни из наиболее глубоких проблем математической физики, исследование которых привело впоследствии к появлению математических методов статистической механики и теории динамических систем.

Поиски аксиоматического базиса теории вероятностей, как хорошо известно, завершились в 1933 г. построением системы аксиом А. Н. Колмогорова [4], дающей набор формально простых и интуитивно ясных положений, на которых зиждется вся математическая структура теории. Квантовая механика не могла быть упомянута Гильбертом просто потому, что в то время не существовало и самого физического понятия кванта – знаменитый доклад Планка состоялся четыре месяца спустя в том же 1900 г. Основополагающим трудом в области математизации квантовой механики стала упоминавшаяся уже монография фон Неймана, который занялся этими вопросами в 1926-1927 гт., будучи сотрудником Гильберта [5].

Работы фон Неймана положили начало исследованиям по аксиоматике квантовой теории. В настоящее время здесь существует три основных течения.

Алгебраический подход [6]-[10] берет за основу «алгебру наблюдаемых» физической системы. Этот подход оказался наиболее плодотворным в математическом отношении: вместе с теорией представлений групп он послужил истоком современной глубоко развитой структурной теории топологических алгебр. Физические приложения этого подхода относятся главным образом к структурным вопросам теории систем с бесконечным числом степеней свободы квантовых полей и сред.

Исходным элементом квантовологического подхода [11]-[14] является «решетка высказываний», т. е. двузначных наблюдаемых. Венцом усилий в этом направлении явилось создание некоторой системы аксиом, характеризующей решетку проекторов гильбертова пространства, т. е. «высказываний», относящихся к квантовомеханической системе. Введение определенной алгебраической структуры в этих подходах в конечном счете требует некоторых предположений, не имеющих прямой физической мотивации. В 50 -е годы известный американский математик Дж. Макки предпринял попытку изложить понятия квантовой механики, отправляясь от некоторых первичных свойств статистического описания физической системы [15]. Хотя эта попытка не носила законченного характера, она оказала значительное влияние на последующие работы.

В 70 -е годы обозначилось третье направление в основаниях квантовой механики, в котором понятие состояния играет определяющую или равноценную роль по отношению к понятию наблюдаемой или измерения [16]-[20]. Одним из главных элементов соответствующей математической схемы является выпуклое множество состояний физической системы. Этот подход, называемый операциональным или «выпуклым», можно было бы назвать статистическим, поскольку в сущности он представляет собой далеко идущее логическое развитие статистической интерпретации квантовой механики. В частности, в этой книге будет показано, что «статистическая идеология» дает естественную основу и для обсуждения проблемы скрытых параметров.

Несмотря на очевидные достижения, окончательная форма квантовой аксиоматики пока отсутствует. Поэтому главное внимание в первой части этого очерка будет обращено на положения, которые в той или иной форме, по-видимому, должны лежать в основе любой разумной статистической теории. Именно эти положения и должны в первую очередь учитываться в возможной теории со скрытыми параметрами. Однако сначала необходимо остановиться на классической картине эксперимента, которая послужит отправной точкой для дальнейших рассмотрений.