Найдем характеристическую функцию квазиклассического состояния (1.2). Учитывая формулу (3.11), получаем
\[
\begin{array}{l}
\mathcal{F}_{x, y}[S]= \\
=\exp \left[-\frac{1}{4}\left(\frac{\hbar}{\omega} x^{2}+\frac{\infty}{\hbar} y^{2}\right)\right] \int \exp [t(P x+Q y)] \mu(d \bar{P} d \bar{Q})= \\
=\mathcal{F}_{0}(x, y) \cdot \tilde{\mu}(x, y) \text {, } \\
\end{array}
\]

где $\mathcal{F}_{0}(x, y)$-квантовая характеристическая функция основного состояния $\mid 0)(0 \mid$, а $\tilde{\mu}(x, y)$-классическая характеристическая функция распределения вероятностей $\mu$.

Рассмотрим гауссовское квазиклассическое состояние (1.7). Перейем к вещественным переменным, полагая $\zeta=\frac{\omega \beta+i \hbar \alpha}{\sqrt{2 \hbar \omega}}, a=\frac{\omega \bar{Q}+i \hbar \bar{P}}{\sqrt{2 \hbar \omega}}$, и запишем его оператор плотности в виде
\[
\begin{aligned}
S_{\bar{P}, \bar{Q}}= & \left.\left.\frac{1}{2 \pi N} \iint \right\rvert\, \alpha, \beta\right)(\beta, \alpha \mid \times \\
& \times \exp \left\{-\frac{1}{2 N}\left[\frac{\hbar}{\omega}(\alpha-\bar{P})^{2}+\frac{\omega}{\hbar}(\beta-\bar{Q})^{2}\right]\right\} d \alpha d \beta .
\end{aligned}
\]

Характеристическая функция входящего сюда гауссовского распределения имеет известный вид $\tilde{\mu}(x, y)=$ $=\exp \left[i(P x+Q y)-\frac{1}{2}\left(N \frac{\omega}{\hbar} x^{2}+N \frac{\hbar}{\omega} y^{2}\right)\right]$, так что согласно (5.1)
\[
\mathscr{F}_{x, y}\left[S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right]=\exp \left[i\left(\tilde{P}_{x}+\bar{Q} y\right)-\frac{1}{2}\left(\sigma_{p} b x^{2}+\sigma_{
ot} y^{2}\right)\right] \text {, }
\]

где
\[
\sigma \beta=\frac{\omega}{\hbar}\left(N+\frac{1}{2}\right), \quad \sigma=\frac{\hbar}{\omega}\left(N+\frac{1}{2}\right),
\]

поэтому $N=\sigma_{P} \sigma_{Q}-1 / 2$.
В случае нескольких степеней свободы характеристиqеская функция состояния (1.8) будет, очевидно, произведением сомножителей типа (5.2):
\[
\prod_{k} \exp \left[i\left(\bar{P}_{k} x_{k}+\bar{Q}_{k} y_{k}\right)-\frac{1}{2}\left(\sigma_{P k}^{\circ} x_{k}^{2}+\sigma_{Q k}^{\circ} y_{k}^{2}\right)\right] .
\]

Мы видим, что характеристическая функция квантового состояния (5.2) имеет ту же аналитическую форму, что и характеристическая функция классического гауссовского распределения (хотя дисперсии $\sigma \rho$, $\sigma_{Q}^{2}$ уже не произвольные числа, а подчинены соотношению неопределенностей $\left.\sigma_{P}^{0} \sigma_{0}^{2} \geqslant 1 / 4\right)$.

Основываясь на этой аналогии, введем следующее общее определение. Пусть $z \rightarrow V(z)$ — неприводимое представление канонического коммутационного соотношения на симплектическом пространстве $(Z, \Delta)$. Состояние $S$ в пространстве представления $\mathscr{K}$ назовем гауссовским, если оно имеет характеристическую функцию вида
\[
\mathscr{F}_{z}[S]=\exp \left[\operatorname{im}(z)-\frac{1}{2} \alpha(z, z)\right],
\]

где $m(z)$ — линейная форма, $\alpha\left(z, z^{\prime}\right)$ — билинейная симметричная форма на $Z$. Функция (5.5) бесконечно дифференцируема, и поэтому все моменты гауссовского состояния конечны. Из (4.7), (4.8) следует, что $m(z)$ совпадает со средним значением, а $\alpha\left(z, z^{\prime}\right)$-с корреляционной функцией состояния.

Теорема 5.1. Для того чтобы функция вида (5.5) была характеристической функцией состоякия, необходимо и достаточно, чтобы билинейная форма $\alpha\left(z, z^{\prime}\right)$ удовлетворяла одному из эквивалентных соотношений (4.13), (4.14).

Доказательство. Необходимость вытекает из того, что $\alpha$ является корреляционной функцией состояния. Для доказательства достаточности нужно лишь проверить $\Delta$ положительную определенность функции (5.5):
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i, k} c_{j} c_{k} \exp \left[i m\left(z_{j}\right)-i m\left(z_{k}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(z_{j}-z_{k}, z_{j}-z_{k}\right)+\right. \\
\left.+\frac{i}{2} \Delta\left(z_{j}, z_{k}\right)\right] \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Полагая $b_{j}=c_{f} \exp \left[\operatorname{im}\left(z_{j}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(z_{j}, z_{j}\right)\right]$, перепишем это
в виде
\[
\sum_{i, k} b_{j} b_{k} \exp \left[\alpha\left(z_{j}, z_{k}\right)+\frac{i}{2} \Delta\left(z_{j}, z_{k}\right)\right] \geqslant 0 .
\]

Заметим, что матрица
\[
\left[\alpha\left(z_{j}, z_{k}\right)+\frac{i}{2} \Delta\left(z_{j}, z_{k}\right)\right]
\]

положительно определена; остается сослаться на один результат Шура, утверждающий, что положительная определенность матрицы $\left[a_{j k}\right]$ влечет положительную определенность матрицы $\left[\exp a_{j k}\right]$.

Обозначим гауссовское состояние со средним $m(z)$ и корреляционной функцией $\alpha\left(z, z^{\prime}\right)$ через $S_{m}$ и покажем, что $S_{m}$ можно рассматривать как результат «воздействия» на состояние $S=S_{0}$, описываемого некоторым унитарным жоператором сдвига». Так как форма $\Delta$ невырождена, то существует вектор $m_{\Delta} \in Z$ такой, что
\[
m(z)=\Delta\left(m_{\Delta}, z\right), \quad z \in Z .
\]

Покажем, что
\[
S_{m}=V\left(m_{\Delta}\right) * S V\left(m_{\Delta}\right) .
\]

Для этого достаточно проверить, что характеристическая функция состояния в правой части совпадает с характеристической функцией состояния $S_{m}$. Используя свойство 3) преобразования $T \rightarrow \mathscr{F}_{x}[T]$ (см. §3), имеем
\[
\mathscr{F}_{z}\left[V\left(m_{\Delta}\right) * S V\left(m_{\Delta}\right)\right]=\mathscr{F}_{z}[S] e^{i \Delta\left(m_{\Delta}, z\right)}=\mathscr{F}_{z}\left[S_{m}\right],
\]

что и требовалось.
Определим вектор $m_{\alpha} \in Z$ соотношением
\[
m(z)=\alpha\left(m_{\alpha}, z\right), \quad z \in Z .
\]

Тогда $m_{\alpha}=-\mathscr{V} m_{\Delta}$, где $\mathscr{D}$-оператор, определяемый соотношением (2.7), так что
\[
S_{m}=V\left(\mathscr{D}^{-1} m_{\alpha}\right) S V\left(\mathscr{D}^{-1} m_{\alpha}\right)^{*} .
\]

Условия (4.13) на форму $\alpha$ налагают определенное ограничение на оператор $\mathscr{D}$. Полагая в (4.13) $z^{\prime}=$ $=-\frac{1}{2} \mathscr{D} z$, получаем
\[
1+\frac{1}{4} \mathscr{D}^{2} \geqslant 0 \text { в }(Z, \alpha) .
\]

—————————————————————-
0015ru_fiz_kvan_book29_no_photo_page-0255.jpg.txt

254
ГАУССОВСКИв СоСтоЯния
โก. $\boldsymbol{v}$
Пусть $\left\{e_{j}, h_{j}\right\}$ — симплектический базис, в котором $\mathscr{D}$ имеет матрицу (2.7). Тогда из (5.7) получаем
Так как
\[
a_{j} \equiv d_{j}^{-1} \geqslant \frac{1}{2} .
\]
\[
\alpha(z, z)=\sum_{i} a_{j}\left(x_{j}^{2}+y_{j}^{3}\right),
\]

где $\left[x_{j}, y_{j}\right]$-координаты вектора $z$ в этом базисе, то характеристическая функция состояния принимает вид
\[
\prod_{j} \exp \left[i\left(\bar{P}_{j}^{\prime} x_{j}+\bar{Q}_{j}^{\prime} y_{j}\right)-\frac{a_{j}}{2}\left(x_{j}^{2}+y_{j}^{2}\right)\right] .
\]

Здесь $P_{j}^{\prime}=\mathrm{E}_{s_{m}}\left(P_{j}^{\prime}\right), Q_{j}^{\prime}=\mathrm{E}_{s_{m}}\left(Q_{j}^{\prime}\right), a_{j}=\mathrm{D}_{s_{m}}\left(Q_{j}^{\prime}\right)=\mathrm{D}_{s_{m}}\left(P_{j}^{\prime}\right)$, где $P_{j}^{\prime}=R\left(e_{j}\right), Q_{j}^{\prime}=R\left(h_{j}\right)$.

Заметим, что если мы с самого начала исходим из коммутационных соотношений для данного набора канонических наблюдаемых $P_{k}, Q_{k}$, то новые канонические наблюдаемые $P_{f}^{\prime}, Q_{f}^{\prime}$, в которых характеристическая функция гауссовского состояния имеет простейшую форму (5.8), вообще говоря, не совпадают с исходными и получаются из них линейным каноническим (т. е. сохраняющим коммутационные соотношения) преобразованием. Так, например, чтобы привести к виду (5.8) характеристическую функцию (5.4) состояния набора осцилляторов, необходимо произвести каноническое преобразование $x_{f} \rightarrow$ $\rightarrow \sqrt{\frac{\sigma_{P I}}{\sigma_{Q I}} x_{j}}=\sqrt{\frac{\omega_{j}}{\hbar}} x_{j}, y_{j} \rightarrow \sqrt{\frac{\sigma_{Q I}}{\sigma_{P j}}}=\sqrt{\frac{\hbar}{\omega_{j}}} y_{j}$, так что $P_{i}^{\prime}=$ $=\sqrt{\frac{\hbar}{\omega_{j}}} P_{j}, Q_{j}^{\prime}=\sqrt{\frac{\omega_{j}}{\hbar}} Q_{j}$. В этих канонических наблюдаемых характеристическая функция $\operatorname{Tr} S \exp i\left[\sum_{j}\left(P_{j}^{\prime} x_{j}+Q_{j}^{\prime} y_{j}\right)\right]$ будет иметь вид (5.8), где $a_{j}=\sigma_{p j} \sigma_{Q j}=\bar{N}_{j}+1 / 2$. В общем случае преобразование к новым переменным будет более сложным.

Тот факт, что характеристическая функция (5.5) разбивается на произведение сомножителей, отвечающих коммутирующим парам новых канонических наблодаемых $\left\{P_{j}^{\prime}, Q_{j}^{\prime}\right\}$, означает, что пространство представлевия $\mathscr{K}$ можно представить в виде тензорного произведения
\[
\mathscr{C}=\emptyset \mathscr{K}_{\prime}^{\prime}
\]

операторы $V_{j}\left(x_{j}, y_{j}\right)=\exp i\left(P_{j}^{\prime} x_{j}+Q_{j}^{\prime} y_{j}\right)$, так что состояние $S$ представляется в виде
\[
S_{m}=\bigotimes_{j} S_{j}^{\prime}
\]

где $S_{i}^{\prime}$ — гауссовские состояния в пространствах $\mathscr{K}$, с характеристическими функциями простейшего вида
\[
\exp \left[i\left(P_{j}^{\prime} x_{i}+Q_{j}^{\prime} y_{j}\right)-\frac{a_{j}}{2}\left(x_{j}^{2}+y_{j}^{2}\right)\right] .
\]

Еще раз подчеркнем, что разложение (5.9) определяется самим гауссовским состоянием и не обязано совпадать с разложением, порождаемым исходными каноническими наблюдаемыми.

Найдем собственные значения оператора $S_{m}$. Учитывая соотношение (5.6), достаточно ограничиться случаем нулевого среднего, так как преобразование (5.6) не изменяет собственных значений. Согласно (1.4), состояние $S_{0,0}$ для $j$-й степени свободы имеет собственные значения вида
\[
\frac{1}{\bar{N}_{j}+1}\left(\frac{\bar{N}_{j}}{\bar{N}_{j}+1}\right)^{n}, \quad n=0,1, \ldots,
\]

где $
abla_{j}=\sigma_{p j} \sigma_{\ell j}-1 / 2=a_{j}-1 / 2$. Тензорное произведение таких состояний будет иметь в качестве собственных чисел всевозможные произведения вида
\[
\prod_{j=1}^{s} \frac{1}{\bar{N}_{j}+1}\left(\frac{\bar{N}_{j}}{\bar{N}_{j}+1}\right)^{n_{j}}, \quad n_{j}=0,1, \ldots
\]

В частности, максимальное собственное значение равно
\[
\prod_{j=1}^{s} \frac{1}{\bar{N}_{j}+1}=\prod_{j=1}^{s} \frac{1}{a_{i}+1 / 2} .
\]

Состояние является чистым тогда и только тогда, когда это произведение равно единице. Так как $a_{j} \geqslant 1 / 2$, то это выполняется только, если все $a_{1}=1 / 2$ или
\[
\operatorname{det} \frac{1}{2} \mathscr{D}=1 \text {. }
\]