В отличие от классической математической статистики, в некоммутативной теории существует несколько различных вариантов неравенства Рао – Крамера, использующих разные определения логарифмической производной. Предположим, как и в § 5, что семейство $\left\{S_{\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}}\right\}$ сильно дифференцируемо по $\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}$, однако вместо условия 2) потребуем
$2^{\prime}$ ) существует некоторая постоянная с такая, что
\[
\left|\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \theta_{j}} S_{\theta} \cdot X\right|^{2} \leqslant c \cdot \operatorname{Tr} S_{\theta} X X^{*} ; \quad X \in \mathfrak{B}(\mathscr{K}), j=1, \ldots, n .
\]

Это означает, что комплексно-линейный функционал
\[
\frac{\partial}{\partial \theta_{i}} E_{\theta}(X)=\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \theta_{i}} S_{\theta} \cdot X
\]

на $\mathfrak{B}(\mathscr{K})$ продолжается до непрерывного функционала на комплексном гильбертовом пространстве $\mathscr{\mathscr { L }}_{+}^{2}\left(S_{0}\right)$. По лемме Рисса – Фреше существуют элементы $\tilde{L} \zeta \in L_{+}^{2}\left(S_{0}\right)$ такие, что
\[
\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \theta_{j}} S_{\theta} X=\left\langle\tilde{L}_{\theta}^{l}, X\right\rangle_{S_{\theta}}, \quad X \in \mathfrak{B}(\mathscr{K}),
\]
т. e.
\[
\frac{\partial}{\partial \theta_{j}} S_{\theta}=\left(\tilde{L}_{\theta}\right)^{*} S_{\theta}, \quad \text { или } \quad \frac{\partial}{\partial \theta_{j}} S_{\theta}=S_{0} \tilde{L} f .
\]

Операторы $\tilde{L}_{l}^{l}$ называются правыми логарифмическими производными семейства $\left\{S_{0}\right\}$. Отметим, что
\[
\left\langle I, \tilde{L}_{\theta}^{i}\right\rangle_{s_{0}}=0, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Введем правую информационню матрицу
\[
\tilde{J}_{\theta}=\left[\left\langle\tilde{L} l, \tilde{L}_{\theta}^{k}\right\rangle_{s_{\theta}}^{+}\right]
\]

и предположим, что она невырождена.
Рассмотрим измерение $M\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ с конечными вторыми моментами, удовлетворяющее условию локальной несмещенности. Аналогично соотношениям (5.6) получаем
\[
\left\langle X_{M}^{i}-\theta_{j}, \tilde{L}_{\theta}^{k}\right\rangle \delta_{\theta}=\delta_{j m} .
\]

Отсюда, опираясь на лемму 5.1 и используя (II.9.7) вместо (II.9.6), получаем другое неравенство для матрицы ковариадии измерения:
\[
\boldsymbol{B}_{3}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \tilde{\boldsymbol{J}}_{0}^{-1} .
\]

Важно, однако, отметить, что здесь $\tilde{J}_{6}$ уже является, вообще говоря, комплексной эрмитовой матрицей, так что в равносильной записи соотношения (6.2):
\[
\text { ข } \boldsymbol{B}_{6}\{\boldsymbol{M}\} \boldsymbol{
u}^{*} \geqslant \tilde{\boldsymbol{J}}_{0}^{-1} \boldsymbol{v}^{*}
\]

ограничение только вещественными векторами $\boldsymbol{\theta}$ приводит к вменее информативному неравенству, не учитывающему мнимую часть матрицы $\vec{j}_{i}$.

Прежде чем применить этот результат к оцениванию параметров в семействе гауссовских состояний $\left\{S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right\}$, найдем общее соотношение, связывающее симметричную и правую логарифмические производные.

В силу (5.1), (6.1) для любого ограниченного $X$ выполняется
\[
\left.\left\langle L_{b}^{l}, X\right\rangle_{s_{0}}=\langle\tilde{L}\}, X\right\rangle_{s_{\theta}} .
\]

Замечая, что согласно (II.8.13)
\[
\langle Y, X\rangle_{s}=\langle Y, X\rangle_{s}+\frac{i}{2}[Y, X]_{s}=\left\langle Y,\left(I+\frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) X\right\rangle_{s},
\]

получаем искомое соотношение
\[
\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{D}_{0}\right) \tilde{L}=L=L .
\]

Если оператор $\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{D}_{0}\right)$ невырожден, что в силу предложения II.10.1 выполняется, когда $S_{0}$ – точное состояние, то мы получаем
\[
\tilde{L}=\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} D_{0}\right)^{-1} L \text {. }
\]

Тогда
\[
\tilde{J}_{0}=\left[\left\langle l_{1}\left(\mathrm{I}+\frac{l}{2} D_{0}\right)^{-1} L_{0}^{k}\right) s_{0}\right] .
\]

Фактически нужна матрица $\tilde{J}_{0}^{-1}$. Очень простое выражение для нее получается в следующем частном случае: предполохим, что подпространство $\mathscr{L}_{0}$ пространства

$\mathscr{L}^{2}\left(S_{6}\right)$, натянутое на симметричные логарифмические производнье, инвариантно относительно оператора $\mathfrak{I}_{0}$ :
\[
\mathfrak{D}_{\theta}\left(\mathscr{L}_{\theta}\right) \subset \mathscr{L}_{0} .
\]

Torда $\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{D}_{6}\right.$ ) является эрмитовым оператором, для которого $\mathscr{L}_{0}$ – инвариантное подпространство. Поэтому можно считать, что $\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{D}_{\theta}\right)$ действует в $\mathscr{L}_{\theta}$ и $\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{D}_{\theta}\right)^{-1}$ в соотношении (6.8) есть обратный к этому оператору в $\mathscr{L}_{0}$. Тогда $\tilde{J}_{\theta}$-матрица квадратичной формы оператора $\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathfrak{I}_{0}\right)^{-1}$ в базисе $\left\{L_{0}^{l}\right\}$ и, как известно из линейной алгебры,
\[
\tilde{J}_{\theta}^{-1}=J_{\theta}^{-1}\left[\left\langle L b,\left(I+\frac{t}{2} \mathfrak{D}_{\theta}\right) L_{\theta}^{k}\right\rangle S_{S_{\theta}}\right] J_{\theta}^{-1},
\]

где $J_{0}=\left[\left\langle L_{0}, L_{0}^{k}\right\rangle_{S_{0}}\right]$-матрица Грама базиса $\left\{L_{0}\right\}$. Вводя вещественную кососимметричную матрицу
\[
\boldsymbol{D}_{0}=\left[\left\langle L b, \mathfrak{D} L_{\theta}^{k}\right\rangle_{s_{\theta}}\right]=\left[\left[L b, L_{\theta}^{k}\right]_{S_{\theta}}\right],
\]

находим окончательно
\[
\tilde{J}_{0}^{-1}=J_{0}^{-1}\left[J_{0}+\frac{i}{2} D_{0}\right] J_{0}^{-1}=J_{i}^{-1}+\frac{i}{2} J_{0}^{-1} D_{0} J_{0}^{-1} .
\]

Обратимся к примеру гауссовского семейства $\left\{S_{\bar{p}, \bar{Q}}\right\}$. Пользуясь формулами (6.6) и (V.6.11), можно найти
\[
\begin{array}{l}
\tilde{L}^{Q}=\left(4 \sigma_{P}^{\circ} \sigma_{Q}^{\circ}-1\right)^{-1}\left[4 \sigma_{P}^{\circ}(Q-\bar{Q})-2 i(P-\bar{P})\right], \\
L^{P}=\left(4 \sigma_{P}^{\circ} \sigma_{Q}-1\right)^{-1}\left[4 \sigma_{Q}^{\circ}(P-\bar{P})+2 i(Q-\bar{Q})\right] .
\end{array}
\]

Эти соотношения имеют смысл, если $4 \sigma_{p}^{\circ}
eq 1$, т. е. состояния $S_{\bar{p} . \bar{Q}}$ не являются чистыми. Тогда, как следует из (V.5.10), все собственные значения оператора плотности $S_{\bar{P}, \bar{Q}}$ положительны, т. е. состояния $S_{\bar{P}, \bar{Q}}$ являются точными. Таким образом, условие $4 \sigma_{P}^{2} \sigma_{Q}^{2}
eq 1$ равносильно невырожденности оператора $I+\frac{i}{2} \mathfrak{D}_{\bar{P}, \bar{Q}}$. Из (6.11) можно получить $\tilde{\boldsymbol{J}}_{\bar{P}, \bar{Q}}$, однако вычисления являются довольно трудоемкими. Заметим, однако, что подпространство $\mathscr{L}_{\bar{p}, \bar{Q}}$,
порожденное симметричными логарифмическими производными $L^{Q}=\sigma_{Q}^{-2}(Q-\bar{Q})$ и $L^{P}=\sigma_{P}^{-2}(P-\bar{P})$, совпадает с подпространством $\Re_{1}$ (см. § V.6) и поэтому инвариантно относительно коммутационного оператора $\mathfrak{D}_{\bar{P}, \bar{Q}}$. Это также непосредственно следует из формул (V.6.ii). Поэтому можно применить соотношение (6.10). Матрица $J_{\bar{P}, \bar{Q}}$ дается выражением (5.9); учитывая, что
\[
[P, Q]_{s}=1, \quad[Q, Q]_{s}=[P, P]_{s}=0
\]

в силу (V.4.10), получаем
\[
\sigma_{P}^{2} \sigma_{Q}^{2} D_{\bar{P}, \bar{Q}}=\left[\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right],
\]

откуда, согласно (6.10),
\[
\tilde{J}_{\bar{P}, \bar{Q}}=\left[\begin{array}{rr}
\sigma_{b} & t / 2 \\
-i / 2 & \sigma_{Q}
\end{array}\right] .
\]

Выбирая в качестве $\boldsymbol{g}$ в соотношении (6.3) комплексный вектор $\left[\sqrt{g_{P}}, i \sqrt{g_{Q}}\right]$, получаем новую границу для среднеквадратичного отклонения
\[
g_{P} \mathrm{D}_{P}\{M\}+g_{Q} \mathrm{D}_{Q}\{M\} \geqslant g_{\rho} \sigma_{P}^{\rho}+g_{Q} \sigma_{Q}^{q}+\sqrt{g_{P} g_{Q}},
\]

где $\mathrm{D}_{P}\{M\}, \mathrm{D}_{Q}\{M\}$ – маргинальные дисперсии измерения $M(d \bar{P} d \bar{Q})$. Эта граница, очевидно, лучше, чем (5.10). Она совпадает с границей (III.7.14) и достигается на совместном каноническом измерении координаты и импульса
\[
M(d \bar{P} d \bar{Q})=\mid \bar{P}, \bar{Q})\left(\bar{Q}, \bar{P} \left\lvert\, \frac{d P d \bar{Q}}{2 \pi} .\right.\right.
\]

Напомним, что это измерение реализуется парой коммутирующих наблюдаемых:
\[
\tilde{P}=P \otimes I_{0}+I \otimes P_{0}, \quad \tilde{Q}=Q \otimes I_{0}-I \otimes Q_{0}
\]

в пространстве $\mathscr{K} \otimes \mathscr{\mathcal { K } _ { 0 }}$, где вспомогательная степень свободы $P_{0}, Q_{0}$ описывается основным состоянием 10,0 ; $\left.\frac{1}{2} \sqrt{g_{P} / g_{Q}}\right) \cdot$ Характеристическая функция этсго состояния имеет вид
\[
\exp \left[-\frac{1}{4}\left(\sqrt{g_{P} / g_{Q}} x^{2}+\sqrt{g_{Q} / g_{P}} y^{2}\right)\right] .
\]

Поскольку $P_{0}, Q_{0}$ имеют нулевые средние значения, это измерение является несмещенным; далее будет показано, что оно удовлетворяет условию локальной несмещенности. Следовательно, оно является равномерно каилучшим локально несмещенным совлестным измерением параметров $\bar{P}, \bar{Q}$ в гауссовском семействе $\left\{S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right\}$.

Неравенства (5.3) и (6.2), основанные на разных определениях логарифмической производной, дают две существенно разные границы для среднеквадратичного отклонения. Именно, выше мы видели, что для гауссовского двухпараметрического семейства граница (6.2) лучше, чем (5.3). Покажем теперь, что для любого однопараметрического семейства гранича (5.3) предпочтительнев (6.2). Достаточно показать, что всегда
\[
\left\langle L_{\theta}, L_{\theta}\right\rangle s_{\theta} \leqslant\left\langle\tilde{L}_{\theta}, \tilde{L}_{\theta}\right\rangle s_{\theta} .
\]

Для этого найдем матричное представление правой и симметричной логарифмической пронзводных в базисе из собственных векторов $\left\{\psi_{j}\right\}$ оператора плотности $S_{\theta}$. Умножая уравнення (5.1), (6.1) на $\left\langle\psi_{j}\right|$ и $\left.\mid \psi_{k}\right)$, находим
\[
\begin{array}{l}
\left(\psi_{j} \mid L_{\theta} \psi_{k}\right)=2\left(s_{j}+s_{k}\right)^{-1}\left(\psi_{j} \left\lvert\, \frac{d S_{\theta}}{d \theta} \psi_{k}\right.\right), \\
\left(\psi_{j} \mid \tilde{L}_{\theta} \psi_{k}\right)=s_{j}^{-1}\left(\psi_{j} \left\lvert\, \frac{d}{d \theta} S_{\theta} \psi_{k}\right.\right) .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{l}
\left\langle L_{\theta}, L_{\theta}\right\rangle_{\theta}=2 \sum_{i, k} \frac{\left|\left(\psi_{j} \left\lvert\, \frac{d}{d \theta} s_{\theta} \psi_{k}\right.\right)\right|^{2}}{s_{j}+s_{k}}, \\
\left\langle\tilde{L}_{\theta}, \tilde{L}_{\theta}\right\rangle_{\theta}=\sum_{i, k} s_{j}^{-1}\left|\left(\psi_{j} \left\lvert\, \frac{d}{d \theta} S_{\theta} \psi_{k}\right.\right)\right|^{2}= \\
=\frac{1}{2} \sum_{i, k}\left(s_{j}^{-1}+s_{k}^{-1}\right)\left|\left(\psi_{j} \left\lvert\, \frac{d}{d \theta} S_{\theta} \psi_{k}\right.\right)\right|^{2} .
\end{array}
\]

Так как $2\left(s_{j}+s_{k}\right)^{-1} \leqslant \frac{1}{2}\left(s_{i}^{-1}+s_{k}^{-1}\right)$, то $\left\langle L_{\theta}, L_{\theta}\right\rangle s_{\theta} \leqslant\left\langle\tilde{L}_{\theta}, \tilde{L}_{\theta}\right\rangle s_{\mathrm{g}}$ и требуемое неравенство установлено.

Аналогично можно ввести левую логарифмическую производную. Соответствующая информационная матрица является комплексно сопряженной к $\tilde{\boldsymbol{J}}_{\boldsymbol{\theta}}$, так что результирующее неравенство для матрицы ковариации получается просто переходом к комплексно сопряженным величинам в (6.2).

В рассмотренном выше примере мы получили границу (6.12) для среднеквадратичного отклонения, искусственно подбирая вектор $v$ в неравенстве (6.3). Можно, однако, получить из (6.2) и общую границу для $\Sigma_{\theta}\{M\}$ с произвольной весовой матрицей $\boldsymbol{G}$. Заметим, что *)
\[
\tilde{J}_{0}^{-1}=\operatorname{Re} \tilde{J}_{0}^{-1}+i \operatorname{Im} \tilde{J}_{0}^{-1}, \quad\left(\tilde{J}_{0}^{-1}\right)^{\top}=\operatorname{Re} \tilde{J}_{0}^{-1}-i \operatorname{Im} \tilde{J}_{0}^{-1},
\]

где $\operatorname{Re} \tilde{J}_{0}^{-1}$ – вещественная симметричная, $\operatorname{Im} \tilde{\boldsymbol{J}}_{0}^{-1}$ – вещественная кососимметричная матрицы. Так как $B_{\theta}\{M\}$ вещественна и симметрична, то из (6.2) вытекает
\[
B_{0}\{M\} \geqslant \operatorname{Re} \tilde{J}_{0}^{-1} \pm i \operatorname{Im} \tilde{J}_{0}^{-1} .
\]

Полагая $X=B_{0}\{M\}-\operatorname{Re} \tilde{J}_{\theta_{0}^{-1}}$, имеем

Чтобы получить явное выражение для минимума, воспользуемся следующим приемом. Для любой матрицы $\boldsymbol{M}$, которая подобна диагональной,
\[
M=T\left[\begin{array}{cc}
\mu_{i}^{\prime} & 0 \\
\ddots & \ddots \\
0 & \mu_{n}
\end{array}\right] T^{-\mathbf{1}},
\]

можно определить функции от $M$; положим, в частности,
\[
\text { abs } M=T\left[\begin{array}{ccc}
\left|\mu_{1}\right| & 0 \\
0 & \ddots & \\
& & \left|\mu_{n}\right|
\end{array}\right] T^{-1} .
\]

Подчеркнем, что, вообще говоря, abs $\boldsymbol{M}
eq|\boldsymbol{M}| \equiv \sqrt{\boldsymbol{M}^{*} \boldsymbol{M}}$; если же $\boldsymbol{M}$ эрмитова, то аbs $\boldsymbol{M}=|\boldsymbol{M}|$.

Диагонализуемым является произведение эрмитовых матриц $\boldsymbol{C R}$, из которых одна, например $\boldsymbol{G}$, строго
*) Значок ${ }^{\top}$ обозначает транспонирование матрицы, положительно определена. В самом деле, $\boldsymbol{Q R}=$ $=\sqrt{\boldsymbol{G}}(\sqrt{\boldsymbol{G}} \boldsymbol{R} \sqrt{\boldsymbol{G}}) \sqrt{\boldsymbol{Q}^{-1}}$, так что $\boldsymbol{O R}$ подобна эрмитовой матрице $\sqrt{\boldsymbol{Q}} \boldsymbol{R} \sqrt{\boldsymbol{G}}$, которая в свою очередь подобна диагональной. Отметим, что
\[
\text { abs }(\boldsymbol{O R})=\sqrt{\boldsymbol{G}}|\sqrt{\boldsymbol{C}} R \sqrt{\boldsymbol{G}}| \sqrt{\overline{\boldsymbol{O}}^{-1}} \text {. }
\]

Лемма 6.1. Пусть $\boldsymbol{R}$-эрмитова матрица; тогда
\[
\min \{\operatorname{Tr} Q X: X \geqslant \pm R\}=\operatorname{Tr} \text { abs }(O R),
\]

причем минимум достигается для $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{Q}^{-1}$ abs (GR).
Доказательство. Так как $X \geqslant \pm R$, то $\sqrt{G} X \sqrt{\boldsymbol{G}} \geqslant$ любого вектора-столбца $e$. Пусть $\left\{e_{j}\right\}$-базис из собственных векторов эрмитовой матрицы $V \boldsymbol{G} \boldsymbol{R} \boldsymbol{\boldsymbol { G }}$, а $\left\{\mu_{j}\right\}$-ее собственные значения. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{Tr} Q X=\operatorname{Tr} \sqrt{C} \times \sqrt{\boldsymbol{G}}=\sum_{l} e_{i}^{*} \sqrt{\boldsymbol{G}} \times \sqrt{\boldsymbol{G}} e_{j} \geqslant \sum_{i}\left|\mu_{j}\right|= \\
=\operatorname{Tr}|\sqrt{O} R \sqrt{\boldsymbol{O}}|=\operatorname{Tr} \text { abs } Q R .
\end{array}
\]

Подстановка $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{Q}^{-1}$ abs $\boldsymbol{G} \boldsymbol{R}$, очевидно, дает нижнюю границу, и надо проверить только, что $\boldsymbol{G}^{-1}$ abs $\boldsymbol{Q} \boldsymbol{R} \geqslant \pm \boldsymbol{R}$. Учитывая (6.15), перепишем левую часть в виде сводится к неравенству $|\boldsymbol{X}| \geqslant \pm \boldsymbol{X}$ для эрмитовой матрицы $\boldsymbol{X}=\sqrt{\boldsymbol{Q}} \boldsymbol{R} \sqrt{\boldsymbol{G}}$, которое вытекает из скалярного неравенства $|x| \geqslant \pm x$ и определения функций эрмитовой матрицы (см. (II. 3.9)).

Из (6.14) и доказанной леммы вытекает искомое неравенство для среднеквадратичного отклонения
\[
\Sigma_{0}\{M\} \geqslant \operatorname{Tr} Q \operatorname{Re} \tilde{J}_{\theta_{0}^{-1}}+\operatorname{Tr} \text { abs }\left(i Q \operatorname{Im} \tilde{J}_{0}^{-1}\right) .
\]

В случае (6.9) из (6.10) получаем $\operatorname{Re} \tilde{J}_{0}^{-1}=J_{0}^{-1}, \operatorname{Im} \tilde{J}_{0}^{-1}=$ $=\frac{1}{2} J^{-1} D_{\theta} J_{\theta}^{-1}$, так что
\[
\Sigma_{0}\{M\} \geqslant \operatorname{Tr} C J_{\theta}^{-1}+\frac{1}{2} \operatorname{Tr} \text { abs }\left(i Q J_{\theta}^{-1} D_{\theta} J_{\theta}^{-1}\right) .
\]

Предоставляем читателю вновь получить отсюда границу (6.12) для гауссовского семейства $\left\{S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right\}$.