Пусть $z \rightarrow V(z)$ (непрерывное) представление канонического коммутационного соотношения, $f(z)$ – интегрируемая по мере Лебега комплекснозначная функция на симплектическом пространстве $(Z, \Delta)$. Сопоставим ей ограниченный оператор в пространстве представления
\[
V(f)=(2 \pi)^{-s} \int f(z) V(-z) d^{2 s} z
\]
(нетрудно показатъ, что интеграл определен в смысле Бохнера). Соответствие $f \rightarrow V(f)$ называется преобразованием Вейля. Легко проверяются следующие свойства:
1) $V(f(z))^{*}=V(\overline{f(-z)})$;
2) $V\left(f_{1}\right) V\left(f_{2}\right)=V\left(f_{1} \times f_{2}\right)$, где
\[
f_{1} \times f_{2}(z)=(2 \pi)^{-s} \int f_{1}(w) f_{2}(z-w) e^{\frac{1}{2} \Delta(w, z)} d^{2 s} w ;
\]
3) $V(f(z)) V(w)=V\left(f(z+w) e^{\frac{i}{2} \Delta(\omega, z)}\right)$,
\[
V(w) * V(f(z)) V(w)=V\left(f(z) e^{(\Delta(w, z)}\right) .
\]

Кроме того, соответствие $f \rightarrow V(f)$ является взаимнооднозначным: $V(f)=0$ влечет $f=0$ почти всюду. В самом деле, из 3) получаем
\[
\int e^{i \Delta(w, z) f(z)(\varphi \mid V(-z) \psi) d^{2 s} z=0 ;} \quad w \in Z, \varphi, \psi \in \mathscr{K},
\]

откуда, в силу взаимной однозначности обычного преобразования Фурье, $f(z)(\varphi \mid V(-z) \psi) \equiv 0$ и $f(z)=0$ почти всюду.

Отсюда вытекает, что если $z \rightarrow V_{j}(z), j=1,2$, – два представления канонического коммутационного соотношения, то можно установить взаимно-однозначное соответствие
\[
V_{1}(f) \leftrightarrow V_{2}(f),
\]

которое, в силу свойств 1), 2), сохраняет алгебраические операции и эрмитово сопряжение. Фактически имеет место более сильное утверждение, а именно теорема единственности Стоуна – фон Неймана для $s$ степеней свободы.

Теорема 3.1. Всякие два меприводимых представления канонического комнутационного соотношения унитарно эквивалентны. Всякое (непрерывное) представление является дискретной прямой суммой неприводимых представлений. на $Z$
\[
f\left(z, z^{\prime}\right)=\sum_{k=1}^{s}\left(x_{k} x_{k}^{\prime}+y_{k} y_{k}^{\prime}\right)
\]

где $\left[x_{k}, y_{k}\right],\left[x_{k}^{\prime}, y_{k}^{\prime}\right]$ – компоненты векторов $z, z^{\prime}$ в какомлибо симплектическом базисе, и рассмотрим функцию
\[
f_{0}(z)=e^{-\frac{1}{4} /(z, z)} .
\]

Положим $P=V\left(f_{0}\right)$. Так как $f_{0}>0$, то $P
eq 0$. Используя свойства 2), 3) и учитывая, что $d^{2 s} z=\prod_{k} d x_{k} d y_{k}$, после некоторых вычислений получаем важное равенство
\[
P V(w) P=f_{0}(w) P .
\]

Отсюда $P^{2}=P$. Кроме того, из вещественности $f_{0}$ и свойства 1) вытекает, что $P^{*}=P$. Таким образом, $P$ является ортогональным проектором на некоторое подпространство $\mathscr{A}$ пространства представления $\mathscr{H}$.
Если $\varphi, \psi \in \mathscr{A}$, то, используя (2.1), (3.2), получаем
\[
\begin{array}{l}
(V(z) \varphi \mid V(w) \psi)=(V(z) P \varphi \mid V(w) P \psi)= \\
=e^{\frac{i}{2} \Delta(w, z)}(\varphi \mid P V(w-z) P \psi)= \\
= e^{\frac{i}{2} \Delta(w, z)} f_{0}(w-z)(\varphi \mid \psi) .
\end{array}
\]

Пусть $\left\{e_{\alpha}\right\}$-ортонормированный базис в $\mathscr{A}$. Тогда из (3.3) вытекает, что подпространства $\mathscr{A}_{\alpha}=\left[V(z) e_{\alpha}\right]$, порожденные векторами вида $V(z) e_{\alpha} ; z \in Z$, взаимно оргогональны. По построению, $\mathscr{N}_{\alpha}$ являются инвариантными подпространствами представления $z \rightarrow V(z)$; поэтому, если представление неприводимо, то $\operatorname{dim} \mathscr{A}=1$. Верно и обратное – если представление $z \rightarrow V(z)$ приводимо, то $\operatorname{dim} \mathscr{A}>$ $>1$. В самом деле, пусть $\mathscr{K}=\mathscr{H}_{1} \oplus \mathscr{H}_{2}$ – разложение пространства представления на инвариантные подпространства. Применяя изложенную выше конструкцию к каждому из подпространств $\mathscr{K}$, , мы получили бы в каждом нз них проектор $P_{f}
eq 0$, причем $P=P_{1} \oplus P_{2}$, так что $\operatorname{dim} \mathscr{A}>1$.

Заметим теперь, что $P$ действует как оператор ранга 1 В $\mathscr{H}_{\alpha}$ :
\[
\begin{array}{c}
P V(z) e_{\alpha}=P V(z) P e_{\alpha}=f_{0}(z) e_{\alpha} ; \\
P \psi=c(\psi) e_{\alpha}, \quad \psi \in \mathscr{N}_{\alpha} ;
\end{array}
\]

поэтому $\{V(z)\}$ действует неприводимо в $\mathscr{N}_{\alpha}$. Имеем $\mathscr{H}=$ $=\left[\sum_{\alpha} \oplus \mathscr{N}_{\alpha}\right] \oplus \mathscr{K}_{0}$, где $\mathscr{K}_{0}$ – ортогональное дополнение суммы $\sum_{\alpha} \bigoplus \mathscr{N}_{\alpha}$ в $\mathscr{K}$. Так как $\sum_{\alpha} \oplus \mathscr{N}_{\alpha}$ инвариантно, то $\mathscr{K}_{0}$ также инвариантно относительно $\{V(z)\}$; кроме того, $P \mathscr{H}_{0}=0$. Отсюда следует, что $\mathscr{H}_{0}=[0]$, так как, применяя .всю конструкцию к $\{V(z)\}$, действующему в $\mathscr{K}_{0}$, мы получили бы $P=0$ в противоречие с тем, что $f_{0}
eq 0$.

Это доказывает, что всякое представление разлагается в прямую ортогональную сумму неприводимых представлений, действующих в пространствах $\mathscr{\varkappa}_{\alpha}$.

Пусть $z \rightarrow V_{l}(z)$ – неприводимые представления в пространствах $\mathscr{K}_{j} ; j=1,2$. Операторы $P_{j}=V_{j}\left(f_{0}\right)$ являются одномерными проекторами на векторы $e_{j} \in \mathscr{K}_{\text {, }}$, причем $\mathscr{\mathscr { K }}_{j}=\left[V(z) e_{j}\right]$. Определим оператор $U$ из $\mathscr{K}_{2}$ в $\mathscr{K}_{1}$, полагая $U V_{2}(z) e_{2}=V_{1}(z) e_{1}$. Оператор $U$ отображает плотное множество в $\mathscr{K}_{2}$, на плотное множество в $\mathscr{K}_{1}$, сохраняя скалярное произведение, так как по формуле (3.3)
\[
\begin{aligned}
\left(V_{1}(z) e_{1} \mid V_{1}(w) e_{1}\right)=\exp \left[\frac{i}{2} \Delta(w, z)\right] f_{0} & (z-w)= \\
& =\left(V_{2}(z) e_{2} \mid V_{2}(w) e_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, он продолжается до изометричного оператора из $\mathscr{K}_{2}$ на $\mathscr{K}_{1}$. По построению
\[
U^{*} V_{1}(z) U=V_{8}(z), \quad z \in Z .
\]

Теорема доказана.
Ограничимся теперь неприводимыми представлениями. Сформулируем многомерную версию предложения III.6.1, которая доказывается совершенно аналогично.

Предложение 3.1. Пусть $z \rightarrow V(z)$ – неприводимое представление канонического коммутационного соотношения (2.1) в пространстве $\mathscr{K}$. Матричные элементы $(\varphi \mid V(z) \Psi)$ являются квадратично-интегрируемыми функчиями от z. Если $\left\{e_{j}\right\}$-ортонормированный базис в $\mathscr{K}$, то функции $\left\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(e_{j} \mid V(z) e_{k}\right)\right\}$ образуют ортонормировинмый базис в пространстве $\mathscr{L}^{2}(Z)$ комплексных көадратичкоиктегрируемьх функций от $z$.

Пусть $T$ – ядерный оператор в пространстве представления. Сопоставим ему функцию
\[
\mathcal{J}_{z}[T]=\operatorname{Tr} T V(z), \quad z \in Z .
\]

Қак мы увидим, отображение $T \rightarrow \mathscr{F}_{z}[T]$ является своеобразным кнекоммутативным» аналогом преобразования Фурье, обратным к преобразованию Вейля (3.1).

Следующие свойства непосредственно вытекают из общих свойтв следа и канонического коммутационного соотношения:
1) $\mathscr{F}_{0}[T]=\operatorname{Tr} T, \quad\left|\mathscr{F}_{z}[T]\right| \leqslant \mid T \|_{1}$;
2) $\mathscr{F}_{z}\left[T^{*}\right]=\overline{\mathscr{F}_{-z}[T]}$
3) $\mathcal{F}_{s}[T V(w)]=\mathcal{F}_{s+w}[T] \cdot e^{\frac{1}{2} \Delta(z, w)}$,
$\mathcal{F}_{z}\left[V(w)^{*} T V(w)\right]=\mathscr{F}_{z}[T] \cdot e^{(\Delta(z, w)}$.
Имеет место фформула Парсеваля».
Tеорема 3.2. Coomветствие $T \rightarrow \mathscr{F}_{z}[T]$ продолісается до ияометрического отображения пространства операторов Гильберта-ШІмдта $\mathfrak{T}^{2}(\mathscr{K})$ на пространстөо $\mathscr{L e I}^{2}(Z)$, max umo
\[
\operatorname{Tr} T t T_{2}=(2 \pi) \sim \int \overline{F_{z}\left[T_{1}\right]} \mathscr{F}_{z}\left[T_{2}\right] d^{2 s_{2}} .
\]

Доказательство. Если мы докажем, что для эрмитова ядерного оператора $T$ выполняется
\[
\operatorname{Tr} T^{2}=(2 \pi)^{-s} \int\left|\mathscr{f}_{x}[T]\right|^{2} d^{2 s} z,
\]

то формула (3.5) для ядерных операторов получится отсіода по линейности. Имеем
\[
\left.T=\sum t_{j} \mid e_{j}\right)\left(e_{j} \mid\right.
\]
где $\sum_{i} \mid t_{1} !<\infty$ и $\left.\left\{\mid e_{t}\right)\right\}$-ортонормированный базис из собственных векторов оператора $T$, причем ряд сходится в смысле нормы ядерных операторов. Отсюда
\[
\mathscr{F}_{z}[T]=\sum_{j} t_{j}\left(e_{j} \mid V(z) e_{j}\right)
\]

Используя предложение 3.1, получаем, что функциональный ряд (3.6) сходится в среднеквадратичном в $\mathscr{L}^{2}(Z)$ :
\[
(2 \pi)^{-s} \int\left|\mathscr{E}_{z}[T]\right|^{2} d^{2 s} z=\sum_{j} t_{j}^{2}\left|\left(e_{j} \mid e_{j}\right)\right|^{2}=\operatorname{Tr} T^{2} .
\]

Таким образом, соответствие $T \rightarrow \mathscr{F}_{z}[T]$ изометрично отображает множество ядерных операторов, как подпространство гильбертова пространства $\mathfrak{S}^{2}(\mathscr{K})$, в гильбер$=\left(e_{k} \mid V(z) e_{j}\right)$, согласно предложению 3.1, являются базисными в $\mathscr{L}^{2}(Z)$, то образ этого отображения содержит плотное множество. Поэтому соответствие $T \rightarrow \mathscr{F}_{z}[T]$ продолжается по непрерывности до изометричного отображения $\mathfrak{T}^{2}(\mathscr{K})$ на $\mathscr{L}^{2}(Z)$.

Следствие 3.1. Состояние $S$ является чистым тогда и только тогда, когда
\[
(2 \pi)^{\rightarrow} \int\left|\mathscr{F}_{z}[S]\right|^{2} d^{2 s} z=1 .
\]

Доквзательство. По теореме 3.2
\[
(2 \pi)^{-r} \int\left|\mathscr{F}_{z}[S]\right|^{2} d^{2 s} s_{2}=\operatorname{Tr} S^{2}=\sum_{i} s_{j}^{4}
\]

где $s_{f}$-собственные эначения оператора плотности. Но $s_{j} \geqslant 0, \sum_{j} s_{j}=1$, откуда следует, что $\sum_{i} s_{i} \leqslant 1$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда одно из $s$ / paвно единице, а остальные – нули. Это означает, что $S$ – одномерный проектор, т. е. оператор плотности чистого состояния.

Следствие 3.2 (формула обращения). Для любого оператора Гильберта – Шмидта $T$
\[
T=(2 \pi)^{-s} \int \mathcal{F}_{z}[T] V(-z) d^{2 s_{z}},
\]

где интеграл сходится в слабом смьсле.

Доказательство. Полагая в (3.5) $\left.T_{1}=\mid \varphi\right)(\psi \mid$ и учитывая, что $\overline{(\phi \mid V(z) \varphi)}=\left(\varphi \mid V(z)^{*} \psi\right)=(\varphi \mid V(-z) \psi)$, получаем
\[
\begin{aligned}
(2 \pi)^{-s} \int \mathcal{F}_{z}[T](\varphi \mid V(-z) & \psi) d^{2 s} z= \\
& =\operatorname{Tr} \mid \Psi)(\varphi \mid T=(\varphi \mid T \psi),
\end{aligned}
\]

а это и означает выполнение (3.7) в смысле слабой сходимости.

Это следствие показывает, что преобразования $T \rightarrow$ $\rightarrow f(z)=\mathscr{F}_{z}[T]$ и $f \rightarrow T=V(f)$ являются взаимно оратными, так что
\[
T=V\left(\mathscr{F}_{z}[T]\right) .
\]

В частности, соответствие $T \rightarrow \mathcal{J}_{x}[T]$ является взаимнооднозначным. Из (3.7) можно получить связь между ядром оператора $T$ в любом неприводимом представлении и функцией $\mathscr{F}_{z}[T]$.

Для иллюстрации рассмотрим представление Шредингера в случае $s=1$. Установим формулу для ядра оператора Гильберта – Шмидта $T$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$ :
\[
\left(\xi|T| \xi^{\prime}\right)=(2 \pi)^{-1} \int \tilde{F}_{\xi-\xi^{\prime}, y}[T] e^{-\frac{\imath}{2}\left(t+\xi^{\prime}\right\rangle y} d y,
\]

где
\[
\mathscr{F}_{x, y}[T]=\operatorname{Tr} T V(x, y) \equiv \operatorname{Tr} T W_{-x, y / \mu} .
\]

В самом деле, для любых $\varphi, \psi \in \mathscr{K}$ из (III.5.1)
\[
\left(\varphi \left\lvert\, V(-x,-y) \psi=\int(\varphi \mid \xi) e^{-i y\left(\xi-\frac{x}{2}\right)}(\xi-x \mid \psi) d \xi\right.,\right.
\]

поэтому в силу (3.8)
$\iint(\varphi \mid \xi)\left(\xi|T| \xi^{\prime}\right)\left(\xi^{\prime} \mid \psi\right) d \xi d \xi^{\prime}=$
\[
=(2 \pi)^{-1} \iiint \mathcal{F}_{x, y}[T](\varphi \mid \xi) e^{-i y\left(\xi-\frac{x}{2}\right)}(\xi-x \mid \Psi) d x d y d \xi,
\]

причем все функции квадратично-интегрируемы, так что возможна замена порядка интегрирования. Полагая $\xi^{\prime}=$ $=\xi-x$ и пользуясь пронзволом в выборе $\varphi$ и $\psi$, получаем (3.9). Аналогично, используя (3.4), (II.7.16), можно получить, что
\[
\mathscr{F}_{x, y}[T]=\int(\xi+x|T| \xi) e^{t y\left(\xi+\frac{x}{2}\right)} d \xi .
\]

Исключая из подобных соотношений $\mathscr{F}_{z}[T]$, можно получать связи между ядрами оператора $T$ в различных представлениях.

Используя эту формулу и соотношение (III.6.3), получаем для оператора плотности состояния минимальной неопределенности (1.1):
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{F}_{x, y}[\mid \bar{P}, \bar{Q})(\bar{Q}, \bar{P} \mid]= \\
=\exp \left[i(x \bar{P}+y \bar{Q})-\frac{1}{4}\left(\frac{\hbar}{\omega} x^{2}+\frac{\omega}{\hbar} y^{2}\right)\right] .
\end{array}
\]