Рассмотрим идеализированную схему передачи сообщений, изображенную на рис. 14. В отсутствие сигнала носитель информации $\mathscr{C}$ (например, электромагнитное поле) находится в некотором состоянии $S$. Обычно принимается, что $S$ – равновесное (гиббсовское) состояние при данной температуре. Передача сигнала осуществляется воздействием источник с сообе ни й $\mathscr{F}$ насистему $\mathscr{E}$,
Рис. 14.

что приводит к изменению ее состояния. Если имеется возможность варьировать какой-либо параметр (совокупность параметров) источника $\mathscr{F}$, то результирующее состояние носителя информации $\mathscr{C}$ будет функцией $S_{\theta}$ этого параметра $\theta$.

Если носитель информации описывается классически, то его состояния суть распределения вероятностей $P_{\theta}(d \omega)$ на фазовом пространстве $\Omega$ системы $\mathscr{C}$. Подобные каналы связи рассматриваются в классической теории информации. Если же носитель информации является квантовомеханической системой, то его состояния описываются операторами плотности $S_{9}$ в соответствующем гильбертовом пространстве $\mathscr{K}$ и тогда говорят о квантовом канале связи. С созданием источников когерентного излучения – лазеров – появилась принципиальная возможность создания систем связи, работающих в оптическом диапазоне. Если в радиотехническом диапазоне частот юнергия фотона» $\hbar \omega$ пренебрежимо меньше средней тепловой энергии $k T$ и поле излучения может описываться классически, то в оптическом диапазоне квантовые эффекты приобретают значительную роль и последовательное описание носителя информации – поля излучения – требует привлечения квантовой теории. Принимая упрощенное описание поля как конечного набора квантовых осцилляторов (что обычно оправдано в рассматриваемых вопросах), мы видим, что в отсутствие сигнала поле описывается гауссовским состоянием (V.1.7) с нулевым средним значением, а воздействие источника отражается в появлении ненулевого среднего $\bar{a}$, которое играет роль передаваемого сигнала. Это является квантовым аналогом широко используемой в теории информации модели сигнала на фоне аддитивного гауссовского шума.

Заключительным эвеном в системе связи является приемник $\mathscr{R}$, назначением которого является получение оценки $\hat{\theta}$ истинного значения сигнала $\theta$, по наблюдениям за системой $\mathscr{C}$. Отвлекаясь от подробностей реализации процедуры оценки, можно сказать, что приемник осуществляет некоторое измерение параметра $\theta$ в семействе состояний $S_{9}$. Весьма важным является вопрос о наилучшем возможном способе приема, т. е. об оптимальном в каком-то смысле измерении параметра $\theta$, а также о принципиальных границах точности его измерения.

В гл. IV мы рассмотрели аналогичные вопросы для кинематических параметров ковариантных семейств квантовых состояний, используя байесовский и минимаксный критерии оптимальности. Здесь мы рассмотрим иной подход, основанный на понятии несмещенности. Этот подход не предполагает существования априорного распределения у параметра $\theta$ и годится для семейств состояний, не обладающих какой-либо симметрией.

Пусть $\left\{S_{\theta}\right\}$ – семейство квантовых состояний, где $\theta=$ $=\left[\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right]$ пробегает некоторую область $\Theta \subset \mathbb{R}^{n}$, и $M\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ – измерение со значениями в $\boldsymbol{\theta}$. Измерение называется кесмещенным, если
\[
\int \hat{\theta}_{j} \mu_{g}\left(d \hat{\theta}_{1} \ldots d \hat{\theta}_{n}\right)=\theta_{j}, \quad \theta=\left[\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right] \in \theta,
\]

где $\mu_{6}$-распределение вероятностей измерения относительно состояния $S_{6}$ :
\[
\mu_{\epsilon}(B)=\operatorname{Tr} S_{\theta} M(B), \quad B \equiv \mathscr{A}(\Theta) .
\]

Это означает, что измерение не имеет систематической погрешности. В этой главе мы будем рассматривать в основном несмещенные измерения.

Мы будем всегда предполагать, что вторые моменты измерения конечны, т. е.
\[
\int \hat{\theta}_{i}^{2} \mu_{j}\left(d \dot{\theta}_{1} \ldots d \hat{\theta}_{n}\right)<\infty, \quad \theta \in \Theta .
\]

В качестве функции отклонения будет использоваться квадратичная форма
\[
W_{\theta}(\hat{\theta})=\sum_{i, k} g_{i k}\left(\theta_{j}-\hat{\theta}_{j}\right)\left(\theta_{k}-\dot{\theta}_{k}\right),
\]

где $\boldsymbol{O}=\left[g_{j k}\right]$ – некоторая вещественная невырожденная положительно определенная весовая матрица. Точность измерения будет определяться полным среднеквадратичкым отклонснием
\[
\Sigma_{0}\{\boldsymbol{M}\}=\int W_{\theta}(\hat{\boldsymbol{\theta}}) \mu_{0}\left(d^{n} \hat{\theta}\right)
\]
(где $d^{n \hat{\theta}}$ то же самое, что $d \hat{\theta}_{1} \ldots d \hat{\theta}_{n}$ ). Подчеркнем, что для многомерного параметра определение среднеквадратичного отклонения существенно зависит от выбора весовой матрицы. Для одномерного параметра $\Sigma_{\theta}\{\boldsymbol{M}\}=g \cdot \mathrm{D}_{\theta}\{\boldsymbol{M}\}$, где D. $\{\boldsymbol{M}\}$ – дисперсия несмещенного измерения $\boldsymbol{M}$.
Вводя матрицу ковариации измерения
\[
\boldsymbol{B}_{0}\{\boldsymbol{M}\}=\left[\int\left(\hat{\theta}_{f}-\theta_{f}\right)\left(\hat{\theta}_{k}-\theta_{k}\right) \mu_{0}\left(d^{n \hat{\theta}}\right)\right] \equiv\left[b_{l k}\{\boldsymbol{M}\}\right],
\]

имеем
\[
\Sigma_{9}\{M\}=\operatorname{Tr} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{B}_{1}\{\boldsymbol{M}\}=\sum_{i, k} g_{/ k} b_{i k}\{\boldsymbol{M}\} ;
\]

здесь $\mathbf{T r}$ – след матрицы.
Несмещенное измерение называется наилуишим (для данного значения параметра $\theta$ ), если оно минимизирует $\mathfrak{\Sigma}_{0}\{\boldsymbol{M}\}$ среди всех несмещенных измерений. Если существует измерение, минимизирующее $\Sigma_{0}\{M\}$ для всех $\boldsymbol{\theta} \in \boldsymbol{\theta}$, то оно называется равномерно наилущиим.

В этой главе мы получим ряд общих границ для среднеквадратичного отклонения несмещенного измерения и применим их в задаче оценивания параметров среднего вначения гауссовского состояния.