Отношение подчиненности задает частичный порядок на множестве измерений $\mathbf{M}$, имеющий прямое статистическое истолкование: если $M_{1}$ подчинено $M_{2}$, то $M_{2}$ является более подробным, более информативным измерением, чем $M_{1}$. Если измерения $M_{1}$ и $M_{2}$ взаимно подчинены, то они равноценны с точки зрения содержащейся в них статистической информации. Будем называть такие измерения эквивалентными. Эквивалентными являются, например, измерения, проводимые одним и тем же прибором, но с различным образом градуированными шкалами $U_{1}, U_{2}$.

Понятно, что очень важны максимальные элементы множества $\mathbf{M}$, описывающие наиболее информативные измерения, допускаемые рамками данной статистической модели. В чисто математическом плане вопрос о существовании таких максимальных измерений может быть совсем не тривиальным. Мы просто предположим, что каждое измерение из $\mathrm{M}$ подчинено некоторому максимальному. Вообще говоря, может быть много неэквивалентных максимальных измерений. Единственность с точностью до эквивалентности такого максимального измерения оказывается характеристическим свойством классической картины.

Чтобы это объяснить, введем важное определение: измерения $M_{1}$ и $M_{2}$ называются совместимыми, если существует измерение $M$, которому подчинены и $M_{1}$, и $M_{2}$. Другими словами, исходы совместимых измерений могут быть получены с помощью некоторых процедур пересчета из результатов одного измерения $M$. Предположим теперь, что отделимая статистическая модель ( $\mathbf{S}, \mathbf{M}$ ) такова, что все измерения в $\mathrm{M}$ совместимы. Тогда $\mathbf{M}$ как упорядоченное множество является направленным и максимальное измерение $M^{*}$ единственно с точностью до эквивалентности. Выберем какой-то из эквивалентных представителей $M^{*}: S \rightarrow \mu_{S}^{*}$, и пусть $\Omega$ – пространство его исходов. Поскольку всякое измерение $M$ подчинено $M^{*}$, существует функция $f_{M}: \Omega \rightarrow U$, где $U-$ пространство исходов измерения $M$, такая, что
\[
\mu_{S}^{M}(B)=\mu_{S}^{*}\left(f_{M}^{-1}(B)\right), \quad B \subset U .
\]

В силу отделимости модели отображение $S \rightarrow \mu_{S}^{*}$ взаимно-однозначно и аффинно отображает множество состояний $\mathbf{S}$ в симплекс $\mathbf{S}(\Omega)$, так что состояния можно отождествить с распределением вероятностей на пространстве исходов максимального измерения. При этом $\mu_{S}^{M}$ является распределением вероятностей классической наблюдаемой $f_{M}$ в классическом состоянии $\mu_{S}^{*}$. Таким образом, если в отделимой статистической модели все измерения совместимы, то она в существенном приводится к классической картине, в которой роль фазового пространства играет множество исходов максимального измерения. В этой связи полезно заметить, что теорему А.Н.Колмогорова о продолжении меры [4] можно интерпретировать как утверждение о существовании максимального измерения для некоторого бесконечного проективного семейства совместимых измерений.

Если же в $\mathbf{M}$ имеются несовместимые измерения, то максимальное измерение не может быть единственным. Обратимся к модели квантовой механики. Пусть $\widehat{E}$ и $\widehat{F}$ измерения, описываемые ортогональными разложениями единицы $\left\{\widehat{E}_{i}\right\},\left\{\widehat{F}_{j}\right\}$, которые коммутируют в том смысле, что все матрицы $\widehat{E}_{i}$ перестановочны со всеми матрицами $\widehat{F}_{j}$ :
\[
\widehat{E}_{i} \widehat{F}_{j}=\widehat{F}_{j} \widehat{E}_{i} .
\]

Тогда формула $\widehat{G}_{i j}=\widehat{E}_{i} \widehat{F}_{j}$ определяет измерение $\widehat{G}$, по отношению к которому $\widehat{E}$ и $\widehat{F}$ являются подчиненными, поскольку $\widehat{E}_{i}=\sum_{j} \widehat{G}_{i j}, \widehat{F}_{j}=\sum_{i} \widehat{G}_{i j}$. Условие (9) не только достаточно, но и необходимо для совместимости измерений $\widehat{E}$ и $\widehat{F}$. Наблюдаемые $\widehat{X}$ и $\widehat{Y}$ называются совместимыми, если для них найдутся совместимые измерения $\widehat{E}$ и $\widehat{F}$, а это оказывается равносильным выполнению условия $\widehat{X} \widehat{Y}=\widehat{Y} \widehat{X}$. Таким образом можно «вывести» определение совместимости наблюдаемых, принятое в традиционной формулировке квантовой механики.

Поскольку имеется много несовместимых наблюдаемых, описываемых неперестановочными матрицами, постольку имеется и множество неэквивалентных максимальных измерений, определяемых различными ортонормированными базисами в пространстве Н. Это те ортогональные разложения единицы, которые уже не поддаются дальнейшему расщеплению. В бесконечномерном случае ситуация усложняется ввиду появления «непрерывных» ортогональных разложений единицы. Заметим, однако, что даже в конечномерном случае существуют как дискретные, так и непрерывные неортогональные максимальные разложения единицы. Геометрически они возникают из «переполненных» систем векторов, получающихся проецированием в Н ортонормированных базисов в некотором более широком пространстве $\mathrm{H}^{\prime} \supset \mathrm{H}$. Типичным примером таких переполненных систем являются хорошо, известные в теоретической физике семейства когерентных состояний. Во многих случаях максимальная информация о тех или иных параметрах состояния квантовой системы дается как раз измерениями, связанными с переполненными системами векторов [20], [22].

Существуют физические системы, в определенном смысле промежуточные между классическими и квантовыми (системы с правилами суперотбора). Назовем иентром статистической модели ( $\mathbf{S}, \mathbf{M}$ ) совокупность измерений, совместимых со всеми измерениями из М. С центром может быть связан спектр, отражающий классические свойства статистической модели. В классическом случае спектр совпадает с фазовым пространством. Если центр тривиален, т.е. состоит только из измерений констант, как в случае квантовой механики, то модель является неприводимой. Можно ожидать некоторого разложения достаточно произвольной статистической модели в «прямую сумму» или «прямой интеграл» неприводимых. Такая структурная теория вполне разработана в рамках алгебраического подхода, хотя имеются и более общие результаты для произвольных выпуклых множеств [23].

Осознание феномена несовместимости явилось в свое время решающим шагом в создании «ортодоксальной» интерпретации квантовой теории, и по сей день составляющей ее методологическую основу. Несовместимость измерений в квантовой механике обусловливается тем, что физические измерения осуществляются экспериментальными установками, каждая из которых предполагает сложную специфическую организацию макроскопической пространственно-временной среды. Очевидно, что два различных способа такой организации могут оказаться взаимноисключающими. «В квантовой физике данные об атомных объектах, полученные при помощи разных экспериментальных установок, находятся в своеобразном дополнительном отношении друг к другу» ([1], с. 529). Классическая механика опирается на идеализацию, допускающую принципиальную совместимость любых измерительных процедур и оправданную постольку, поскольку она имеет дело с макроскопическими объектами, физическое взаимодействие которых с измерительным прибором является пренебрежимо слабым.

Окружающий нас мир, непосредственно доступный органам наших чувств, «по определению» макроскопичен. Поэтому так трудно дать наглядное объяснение дополнительности. Пытаясь найти доступные аналогии в повседневном опыте, Бор пришел к выводу, что принцип дополнительности носит общий характер и особенно важен для тонких «гуманитарных» сфер, упорно ускользающих от детального математического моделирования. Выраженная в современной литературной форме древняя истина, взятая в качестве эпиграфа к настоящему очерку, перекликается с мыслью Бора, что «цельность живых организмов и характеристики людей, обладающих сознанием, а также и человеческих культур, представляют черты целостности, отображение которых требует типично дополнительного способа описания» ([1], с. 532). Философия уже давно нащупала диалектические закономерности, позволяющие качественно отобразить цельность и сложность живого реального мира. Однако квантовая теория является пока что уникальным примером математической модели реального класса явлений, дающей в своей области точное количественное выражение диалектического принципа дополнительности.