Пусть $\left\{S_{\theta}\right\}$ – семейство состояний, параметризованное одномерным параметром $\theta$. Мы установим здесь общую границу для дисперсии несмещенного измерения, которая является некоммутативным аналогом неравенства $\mathrm{Pao-Kрамера,} \mathrm{хорошо} \mathrm{известного} \mathrm{в} \mathrm{математической}$ статистике.
Относительно семейства $\left\{S_{\theta}\right\}$ мы предположим следующее:
1) Семейство $\left\{S_{\theta}\right\}$ сильно дифферснцируемо по $\theta$ как функция со значениями в банаховом пространстве ядерных операторов; обозначим $\frac{d}{d \theta} S_{\theta}$ производную семейства.
При этом условии для любой ограниченной наблюдаемой $X$
\[
\frac{d}{d \theta} \mathrm{E}_{\theta}(X)=\operatorname{Tr} \frac{d}{d \theta} S_{\theta} \cdot X,
\]
где $\mathrm{E}_{\theta}(X)=\operatorname{Tr} S_{\theta} X$-среднее значение $X$ относительно состояния $S_{\theta}$. (Возможность дифференцирования под знаком следа вытекает из теоремы II.7.2.)
2) Ликейный функционал от $X$, определяемый формулой (2.1), продолжается до непрерывного функционала на $\mathscr{L}_{h}\left(S_{\theta}\right)$, m. e.
\[
\left|\operatorname{Tr} \frac{d}{d \theta} S_{\theta} \cdot X\right|^{3} \leqslant c \cdot \operatorname{Tr} S_{\theta} X^{2}, \quad X \in \mathfrak{B}_{h}(\mathscr{H}),
\]
где с-некоторая постоянная.
При этом предположении существует оператор $L_{\theta} \in$ $\in \mathscr{L} h\left(S_{\theta}\right)$ такой, тто
\[
\frac{d}{d \theta} S_{\theta}=S_{\theta} \cdot L_{\theta} \equiv \frac{1}{2}\left(S_{\theta} L_{\theta}+L_{\theta} S_{\theta}\right) .
\]
В самом деле, из 2) по лемме Рисса-Фреше следует, что $\operatorname{Tr} \frac{d}{d \theta} S_{\theta} \cdot X=\left\langle L_{\theta}, X\right\rangle_{s_{\theta}}$ для всех ограниченных $X$, где $L_{\theta} \in \mathscr{L}\left(S_{\theta}\right)$. В силу (II.8.5) это равносильно соотношению (2.2).
Оператор $L_{\theta}$ называется симметричной логарифмической производкой семейства $\left\{S_{\theta}\right\}$. Отметим, что
\[
\left\langle I, L_{\theta}\right\rangle s_{\theta}=\operatorname{Tr} \frac{d}{d \theta} S_{\theta}=\frac{d}{d \theta} \operatorname{Tr} S_{\theta}=0 .
\]
Рассмотрим измерение $M(d \theta)$. Пусть $\mu_{\theta}(d \hat{\theta})=$ $=\operatorname{Tr} S_{\theta} M(d \hat{\theta})-$ распределение вероятностей этого нзмерения относительно состояния $S_{\theta}$. Предположим, что выполнены условия:
1) $\int \hat{\theta}^{2} \mu_{\theta}(d \hat{\theta})<\infty$;
2) справедливо соотношение
\[
\frac{d}{d \theta} \int \hat{\theta} \mu_{\theta}(d \hat{\theta})=\int \hat{\theta} \frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(d \hat{\theta}),
\]
где $\frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}$ – мера конечкой вариации, определяемал формулой
\[
\frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(B)=\operatorname{Tr} \frac{d}{d \theta} S_{\theta} \cdot M(B), \quad B \in \text { of }(\theta) .
\]
Предложение 2.1. При сформулированых предпололсениях имеет место неравенство
\[
D_{\theta}\{M\} D_{\theta}\left(L_{\theta}\right) \geq\left[\frac{d}{d \theta} E_{\theta}\{M\}\right]^{\beta},
\]
где $\mathrm{D}_{\theta}\{\cdot\}$-дисперсия относительно состояния $S_{\theta}$.
Доказательство. Рассмотрим оператор
\[
X_{M}=\int \hat{\theta} M(d \hat{\theta}) \in \mathscr{L}_{h}\left(S_{\theta}\right) .
\]
В силу (II.9.8)
\[
D_{\theta}\{M\} \geqslant\left\langle X_{M}-E_{\theta}\{M\}, X_{M}-E_{\theta}\{M\}\right\rangle_{s_{\theta}} .
\]
По формуле Коши – Буняковского, учитывая (2.3), получаем
\[
\begin{array}{l}
\left\langle X_{M}-E_{\theta}\{M\}, X_{M}-E_{\theta}\{M\}\right\rangle_{s_{\theta}} \cdot\left\langle L_{\theta}, L_{\theta}\right\rangle s_{\theta} \geqslant \\
\geqslant\left\langle X_{M}-E_{\theta}\{M\}, L_{\theta}\right\rangle \xi_{\theta}=\left\langle X_{M}, L_{\theta}\right\rangle \xi_{\theta} .
\end{array}
\]
Так как интеграл (2.6) определяется как предел в $\mathscr{L}_{h}\left(S_{\theta}\right)$ интегральных сумм, то
\[
\begin{aligned}
\left\langle X_{M}, L_{\theta}\right\rangle s_{\theta}= & \left\langle\int \hat{\theta} M(d \hat{\theta}), L_{\theta}\right\rangle s_{\theta}= \\
& =\int \hat{\theta}\left\langle M(d \hat{\theta}), L_{\theta}\right\rangle s_{\theta}=\int \hat{\theta} \frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(d \hat{\theta}) .
\end{aligned}
\]
Воспользовавшись соотношением (2.4), получаем
\[
\left\langle X_{M}, L_{\theta}\right\rangle_{s_{\theta}}=\frac{d}{d \theta} \mathrm{E}_{\theta}\{M\},
\]
откуда и следует (2.5).
Для несмещенного измерения (2.5) переходит в
\[
D_{\theta}\{M\} \geqslant D_{\epsilon}\left(L_{\theta}\right)^{-1} .
\]
По существу, для доказательства (2.9) нужно лиш, чтобы выполнялось
\[
\int \hat{\theta} \frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(\hat{\theta} \hat{\theta})=1 \text { или }\left\langle X_{M}, L_{\theta}\right\rangle s_{\theta}=1 .
\]
Мы будем называть это свойство локальной несмещенностью в точке $\theta$.
Следствие 2.1. Дая яюбого семейстеа состояний $\left\{S_{\theta}\right\}$, удовлетворяющего условиял 1), 2), и любого локально несмененного измерения с коненным вторым моментом имеет место неравенство (2.9).
Условие (2.10) обычно гораздо легче проверить, чем (2.4).
Некоторое достаточное условне для (2.4) дает
Предложевие 2.2. Пусть семейстьо $\left\{S_{\theta}\right\}$ сильно дифференцируеко в $\mathfrak{T}^{1}(\mathscr{K})$ в некотором интерегле энамений $\theta$, причем $-T \leqslant$ uто $\int|\hat{\theta}| \mu(d \hat{\theta})<\infty$, где $\mu(d \hat{\theta})=\operatorname{Tr} T M(d \hat{\theta})$. Tодда имеет место соотношение (2.4).
Доказательство. По формуле конечных приращений
\[
\frac{\mu_{\theta+\Delta \theta}(B)-\mu_{\theta}(B)}{\Delta \theta}=\frac{d}{d \theta} \mu_{\theta+h \Delta \theta}(B)=\operatorname{Tr} \frac{d}{d \theta} S_{\theta+n \Delta \theta} \cdot M(B), \quad 0<h<1,
\]
откуда
\[
\left|\frac{\mu_{\theta+\Delta \theta}(B)-\mu_{\theta}(B)}{\Delta \theta}\right| \leqslant \operatorname{Tr} T M(B)-\mu(B), \quad B \in \operatorname{Ct}(\theta),
\]
и, звачнт, $\left|\frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(B)\right| \leqslant \mu(B)$. Поелому ннтеграл $\int \hat{\theta} \frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(d \hat{\theta})$ определен
и конечен. Для мобого конечного $c$
\[
\int_{|\hat{\theta}| \leqslant c} \hat{\theta} \frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(d \hat{\theta})=\operatorname{Tr} \frac{d}{d \theta} s_{\theta} \cdot \int_{|\hat{\theta}| \leqslant c} \hat{\theta} M(d \hat{\theta})=\frac{d}{d \theta} \int_{|\hat{\theta}| \leqslant e} \hat{\theta} \mu_{\theta}(d \theta) .
\]
С другой стороны,
\[
\left|\frac{1}{\Delta \theta}\left[\int_{|\hat{\theta}|>c} \hat{\theta} \mu_{\theta+\Delta \theta}(d \hat{\theta})-\int_{|\hat{\theta}|>c} \hat{\theta} \mu_{\theta}(\hat{d \theta})\right]-\int_{|\hat{\theta}|>c} \hat{\theta} \frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(d \hat{\theta})\right| \leqslant 2 \int_{|\hat{\theta}|>c}|\hat{\theta}| \mu(d \hat{\theta}) .
\]
Таким образом, левая часть стремнтся $\mathbf{~ н у л ю ~ п р и ~} c \rightarrow \infty$ равномерно по $\Delta \theta$, что и доказывает наше предложение.
В заключение рассмотрим пример оценивания параметра $\bar{Q}$ в семействе гауссовских квазиклассических состояний (V.5.2) (параметр $\bar{P}$ может при этом иметь любое фиксированное значение). В силу предложения V.6.1 это семейство удовлетворяет условиям 1), 2). Из (V.6.10) получаем симметричную логарифмическую производную
\[
L_{\bar{Q}}=\sigma_{\vec{Q}}^{2}(Q-\bar{Q})
\]
так что $D_{\bar{Q}}\left(L_{\bar{Q}}\right)=\sigma_{\bar{Q}}^{-2}$. Неравенство (2.9) дает следующую границу для дисперсии локально несмещенного измерения:
\[
\mathrm{D}_{\bar{Q}}\{M\} \geqslant \sigma_{Q}^{2}=\frac{\hbar}{\omega}\left(\bar{N}+\frac{1}{2}\right) .
\]
Эга граница, очевидно, достигается для любого значения $\bar{Q}$ на простом измерении $E(d \bar{Q})$, отвечающем наблюдаемой $Q$. Пользуясь символикой Дирака (см. § III.5), мы можем написать
\[
E(d \bar{Q})=\mid \bar{Q})(\bar{Q} \mid d \bar{Q},
\]
где $\mid \bar{Q})$ – формальные собственные векторы оператора $Q$.
Так как $X_{E}=Q$, то условие локальной несмещенности для измерения $\boldsymbol{E}(d \bar{Q})$, очевидно, выполняется. Таким образом, измерение канонической наблюдаемой $Q$ является равномерно наилучиим несмещенньм измерением параметра $\bar{Q}$ в семействе гауссовских состояний $\left\{S_{\bar{p}, \bar{Q}}\right\}$. Аналогичное утверждение имеет место и для измерений параметра $\tilde{P}$.
