Пусть $S_{1}, \ldots, S_{n}$ – точки некоторого линейного пространства $\mathscr{L}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ – набор вещественных чисел, удовлетворяющий условиям
\[
p_{i} \geqslant 0, \quad \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1,
\]
т. е. конечное распределение вероятностей. Тогда точка
\[
S=\sum_{i=1}^{n} p_{i} S_{j}
\]

называется выпуклой комбинацией точек $S_{j}$ с коэффидиентами (весами) $p_{j}$. Вылуклой оболочкой множества точек $\mathscr{x} \subset \mathscr{L}$ называется совокупность выпуклых комбинаций всевозможных конечных наборов точек $\left\{S_{j}\right\} \subset \mathscr{K}$. Множество ( называется билукльм, если оно совпадает со своей выпуклой оболочкой, т. е. содержит выпуклую комбинацию любого конечного набора своих точек. Если ограничиться двумя точками $S_{0}, S_{1}$, то совокупность их выпуклых комбинаций геометрически представляет собой отрезок, соединяющий эти точки:
\[
\left\{S: S=p_{0} S_{0}+p_{1} S_{1} ; \quad p_{0}, p_{1} \geqslant 0, p_{0}+p_{1}=1\right\} .
\]

Нетрудно убедиться, что множество $\mathscr{O}$ выпукло тогда и только тогда, когда вместе с любыми своими двумя точками оно содержит и соединяющий их отрезок.

Абстрактное множество ( $)$ назовем пространством смесей, если каждому конечному набору элементов $\left\{S_{\alpha}\right\} \subset$ $\mathcal{C}$ § и распределению вероятностей $\left\{p_{\mathrm{a}}\right\}$ сопоставлен однозначный элемент-смесь $S$ (\{S $\left.\left.S_{\alpha}\right\},\left\{p_{\alpha}\right\}\right)$. Примером пространства смесей является выпуклое множество, если смесь определяется как выпуклая комбинация.

Пусть $\boldsymbol{F}$ – отображение пространства смесей ( ) в какоелибо линейное пространство. Оно называется аффинным, если для любой смеси $S\left(\left\{S_{\alpha}\right\},\left\{p_{\alpha}\right\}\right)$ выполняется
\[
F\left(S\left(\left\{S_{\alpha}\right\},\left\{p_{\alpha}\right\}\right)\right)=\sum_{\alpha} p_{\alpha} F\left(S_{\alpha}\right) .
\]

Очевидно, что образ выпуклого множества при аффинном отображении является выпуклым множеством. В линейных пространствах существует тесная связь между аффинными и линейными отображениями: именно, всякое аффинное отображение выпуклого множества $\mathscr{E} \subset \mathscr{L}$ является сужением на $\cong$ отображения вида $T \rightarrow L(T)+L_{0} ; T \in \mathscr{L}$, где $L$ – линейное отображение. В частности, всякий аффинный функционал (т. е. отображение на вещественную прямую $\mathbb{R}$ ) с точностью до постоянного слагаемого совпадает с сужением на $\mathscr{S}$ линейного функционала на $\mathscr{L}$.

Пространство смесей называется отделимым, если для любых двух элементов $S_{1}, S_{2} \in \mathscr{S}$ найдется аффинный функционал $\varphi$ на $\mathscr{E}$ такой, что $\varphi\left(S_{1}\right)
eq \varphi\left(S_{2}\right)$.

Примером отделимого пространства смесей является множество состояний из § 1. В самом деле, для любого измерения $S \rightarrow \mu_{S}$ и любого подмножества $B \in \mathcal{e} \mathcal{t}(U)$ функционал $S \rightarrow \mu_{S}(B)$ является аффинным в силу (1.2). По построению, для любых состояний $S_{1}$ и $S_{2}$ должно найтись измерение такое, что $\mu_{S_{1}}
eq \mu_{S_{2}}$, т. е. $\mu_{S_{1}}(B)
eq \mu_{S_{1}}(B)$ для некоторого $B$. Из следующего предложения вытекает, что всякое множество состояний можно рассматривать как выпуклое подмножество некоторого линейного пространства с операцией выпуклой комбинации в качестве смешивания.

Предложение 2.1. Всякое отделимое пространство смесей (ङ взаимно-однознанно и аффинно отображсается на вылуклое подмножество яинейного пространства.

Доказательство. Пусть $\boldsymbol{A}(\mathcal{)}$ – линейное пространство всех аффинных функционалов на $\mathfrak{O}$. Рассмотрим сопряженное пространство $\mathscr{L}=A(\mathscr{S})^{\prime}$ всех линейных функционалов на $A(\Im)$. Для каждого $S \in \mathcal{S}$ введем $\hat{\mathcal{S}} \in \mathscr{L}$, полагая
\[
\hat{S}(\varphi)=\varphi(S), \varphi \in \mathscr{L} .
\]

Отображение $S \rightarrow \hat{S}$ является аффинным, так как
\[
\begin{aligned}
\sum_{j} p_{j} \hat{S}_{j}(\varphi)=\sum_{j} p_{j} \varphi\left(S_{j}\right)=\varphi\left(S\left(\left\{S_{j}\right\},\left\{p_{j}\right\}\right)\right) & = \\
& =\hat{S}\left(\left\{S_{j}\right\},\left\{p_{j}\right\}\right)(\varphi),
\end{aligned}
\]

и взаимно-однозначным, так как $\hat{S}_{1}(\varphi)=\hat{S}_{2}(\varphi)$ влечет $\varphi\left(S_{1}\right)=\varphi\left(S_{2}\right)$ для всех аффинных функционалов $\varphi$. Предложение доказано.

Простейшим примером выпуклого множества является n-мерный симплекс, который определяется как выпуклая оболочка $n+1$ точек общего положения в пространстве
Рис. 2.

размерности $\geqslant n$ (точки $S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{n}$ называются точками общего положения, если $n$ векторов $\overline{S_{0} \vec{S}_{1}}, \ldots, \overrightarrow{S_{0}} \overrightarrow{S_{n}}$ линейно независимы). В случае $n=1$ симплекс является отрезком, в случае $n=2$-треугольником, в случае $n=3$ тетраэдром (рис. 2). Точки $S_{0}, \ldots, S_{n}$ называются вериинами симплекса.

Фундаментальную роль в теории выпуклых множеств играет понятие крайней точки. Точка $S$ называется крайней точкой выпуклого множества $\mathcal{C}$, если она не является не может быть представлена в виде $S=p_{0} S_{0}+p_{1} S_{1}$, где $p_{0}, p_{1}>0, p_{0}+p_{1}=1 ; S_{0}, S_{1} \in \mathcal{S}$ и $S_{0}
eq S_{1}$.

Множество всех крайних точек назовем остовом выпуклого множества. В конечномерном линейном пространстве имеет место

Теорема 2.1. Всякое компактное (ограниченное и гамкнутое) вылуклое множество ( совпадает с вылуклой оболочкой мнолсества своих крайних точек.

В произвольном выпуклом множестве одну и ту же точку $S$ можно представить в виде выпуклой комбинации крайних точек, вооще говоря, разными способами. Раэложение по крайним точкам одноэнано для мобой точки $S \in \Subset$ тогда и только тогда, когда § является симплексом. Заметим, что крайними точками симплекса являются его вершины.

Теорема 2.1, определение и характеристическое свойство симплекса обобщаются и на бесконечномерный случай, однако аккуратное иэложение этнх вопросов потребовало бы больпе места, чем позволяют рамки этой книги. В то же время для понимания следующих разделов достаточно приведенных выше конечномерных результатов. Остановимся лишь на одном примере, который встретится дальше.

Рассмотрим множество всевозможных распределений вероятностей $\mathfrak{P}(\Omega)$ на некотором фиксированном измеримом пространстве $\Omega$. Это множество является выпуклым, так как всякая выпуклая комбинация или «смесь» распределений $P_{j}(d \omega)$, очевидно, является распределением на $\boldsymbol{\Omega}$ :
\[
P(A)=\sum_{i} p_{j} P_{j}(A), \quad A \in \operatorname{et}(\Omega) .
\]

Всякой точке $\omega \in \Omega$ отвечает 8 -распределение, сосредоточенное в точке $\omega$ :
\[
\delta_{\omega}(A)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & A
i \omega, \\
0, & A \Xi \omega .
\end{array}\right.
\]

Не ограничивая общносту, можно считать, что б-алгебра существует $A \in \operatorname{et}(\Omega)$ такое, что $\omega_{1} \in A, \omega_{3} \stackrel{\Xi}{E} A$. Тогда соответствие $\omega \rightarrow \delta_{\omega}$ является взаимно-однозначным. Крайними точками множества $\mathfrak{P}(\Omega)$ являются $\delta$-распределения и только они. Очевидно, что для любого $P \in \Re(\Omega)$
\[
P(A)=\int_{\Omega} P(d \omega) \delta_{\omega}(A), \quad A \in \operatorname{et}(\Omega) .
\]

Это представление является вепрерывным аналогом разложения по крайним точкам, причем роль набора коэффициентов $p_{j}$ здесь играет распределение $\boldsymbol{P}(d \omega)$. Представление (2.1) однозначно, так что выпуклое множество $\mathfrak{P}(\Omega)$ обладает своіством, характеризующим в конечномерном случае симплекс, и мы сохраним за ним это название.

Для иллюстрации рассмотрим случай, когда $\mathbf{\Omega}=\mathbf{\Omega}_{n}$ состоит из конечного числа $n$ точек (е $\boldsymbol{t}(\Omega)$ является булевой алгеброй всех подмножеств $\Omega_{n}$ ). Тогда множество
\[
\mathscr{P}_{n}=\left\{P=\left[p_{1}, \ldots, p_{n}\right]: p_{j} \geqslant 0, \sum_{j=1}^{n} p_{j}=1\right\},
\]

очевидно, является ( $n-1$ )-мерным симплексом с вершинами $[1,0, \ldots, 0], \ldots,[0, \ldots, 0,1]$.

Для нас будет удобно записывать $P$ в виде диаговальной матрицы:
\[
P=\left[\begin{array}{cc}
p_{1} & 0 \\
& \ddots \\
0 & p_{n}
\end{array}\right] .
\]

Тогда условия, характеризующие $P$, запншутся в виде
\[
P \geqslant 0, \quad \operatorname{Tr} P=1,
\]

где $\operatorname{Tr}$ обозначает след матриць, т. е. сумму диагональных элементов.

Если $X$-случайная величина на $\Omega_{n}$, принимающая значения $x_{1}, \ldots, x_{n}$, то, полагая
\[
X=\left[\begin{array}{cc}
x_{1} & 0 \\
& \ddots \\
0 & x_{n}
\end{array}\right],
\]

получаем, что математическое ожидание величины $\boldsymbol{X}$ относительно распределения вероятностей $P$ равно
\[
\sum_{j=1}^{n} p_{j} x_{j}=\operatorname{Tr} P X .
\]

Рассмотрим множество $\boldsymbol{\Omega}_{n}$ случайных величин, удовлетворяющих условию $0 \leqslant x_{j} \leqslant 1$, т. е.
\[
0 \leqslant X \leqslant I \text {, где } I-\text { единичная матрица. }
\]

Тогда $\mathfrak{a}_{n}$ будет выпуклым множеством – единичным гиперкубом, а его крайними точками – вершины гиперкуба, т. е. такие матрицы $X$, для которых $x_{j}$ равно 0 или 1 . Для таких матриц $X^{2}=X$, так что крайними точками множества $\mathfrak{Q}_{n}$ являются проекционные матрицы.
Этот простейший пример поэволяет естественно подойти к другому, который представляет основной интерес в связи с квантовой теорией.

Рассмотрим множество $\mathscr{O}_{n}$ всех комплексных эрмитовых $n \times n$-матриц $S=\left[s_{m m^{\prime}}\right]$, удовлетворяющих условиям типа (2.2):
\[
S \geqslant 0, \quad \operatorname{Tr} S=1 .
\]

Согласно конеиномернои спектральнод теореме, всякая эрмитова матрица представляется в виде
\[
S=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} S_{\psi j},
\]

где $\lambda_{f}$ – (вещественные) собственные числа (без учета кратности), а $S_{\psi_{j}}=\psi_{j} \psi_{i}^{*}$ – взаимно-ортогональные проекторы *) на единичные собственные векторы матрицы $S$. Это называется спектральньк раяложением матрицы $S$. Из условий (2.5) следует, что собственные числа матрицы $S \in \mathscr{G}_{n}$ оразуют распределевие вероятностей
\[
\lambda_{f} \geqslant 0, \quad \sum_{l=1}^{n} \lambda_{j}=1 .
\]

В частности, $0 \leqslant \lambda_{f} \leqslant 1$, и из (2.6) получаем
\[
S-S^{2}=\sum_{l=1}^{n} \lambda_{l}\left(1-\lambda_{j}\right) S_{\psi_{1}} \geqslant 0 .
\]

При этом $S=S^{2}$ тогда и только тогда, когда $S=S_{\psi_{k}}$ для некоторого единичного вектора $\psi_{k}$, т. е. когда $S$ является одномерным проектором.

Предложение 2.2. Мномсетьо $\mathscr{O}_{n}$ вылукло; его остов образуют одномерные проекторы.
$\cdot$) Подразумевается, что скалярное произведение векторов-столбцов $\varphi=\left[\varphi_{m}\right]$ и $\boldsymbol{\psi}=\left[\psi_{m}\right]$ определяется хак $\varphi^{*} \psi=\sum_{m=1}^{n} \Phi_{m} \psi_{m}$, где $\varphi^{*}$ – эрмитово сопряженный вектор-строка. Произведение столбца $\phi$ на строку $\boldsymbol{\psi}^{*}$ является $n \times n$-матрицен с компонентами $\left[\boldsymbol{\psi}_{m} \bar{\psi}_{m}\right]$. Если $\psi$-единичныи вектор, $\psi^{*} \psi=1$, то. $S_{\psi}=\psi \psi^{*}$ является матрицей ортогонального проектврования на вектор $\psi$.
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что оба условия (2.5) выдерживают образование выпуклых комбинаций. Докажем, что всякий одномерный проектор $S$ является крайней точкой. Пусть
\[
S=p_{0} S_{0}+p_{1} S_{1} ; \quad p_{0}, p_{1}>0, p_{0}+p_{1}=1 ; \quad S_{0}, S_{1} \in \mathcal{S}_{n} .
\]

Возводя это соотношение в квадрат, вычитая $S^{2}$ из $S$ и учитывая, что $S \geqslant S^{2}$ для $S \in \mathscr{E}_{n}$, получаем
\[
\begin{array}{l}
S-S^{2}=p_{0}\left(S_{0}-S_{0}^{2}\right)+p_{1}\left(S_{1}-S_{1}^{2}\right)+p_{0} p_{1}\left(S_{0}-S_{1}\right)^{2} \geqslant \\
\geqslant p_{0} p_{1}\left(S_{0}-S_{1}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, из $S=S^{2}$ следует $S_{0}=S_{1}$, так что $S$ является крайней точкой Докажем обратное утверждение. Рассмотрим спектральное разложение (2.6). Так как $S_{\psi_{j}} \in \mathscr{\bigodot}_{n}$ и $S_{\psi_{j}}
eq S_{\psi_{k}}$ при $j
eq k$, то для матрицы $S$, являющейся крайней точкой множества $\mathscr{S}_{n}$, сумма (2.6) может содержать только одно ненулевое слагаемое. Следовательно, $S=S_{\psi_{j}}$ для некоторого $\mathrm{f}$, что и требовалось доказать.

Формула (2.6) дает один из вариантов разложения $S$ по крайним точкам.

Рассмотрим также выпуклое множество $\mathscr{P}_{n}$ всех $n \times n$-эрмитовых матриц $X$, удовлетворяющих ограничениям (2.4). Покажем, что крайними точками множества $\mathcal{X}_{n}$ являются проекторы, $m$. е. эрмитовы матрицы, удовлетворяющие условию $X^{2}=X$, и только они. Доказательство того, что всякий проектор является крайней точкой, проводится так же, как для $\mathscr{C}_{n}$; докажем, что всякая крайняя точка обязательно является проектором. Запишем спектральное разложение матрицы $X$ :
\[
X=\sum_{k=1}^{m} x_{k} E_{k} ; \quad 0 \leqslant x_{k} \leqslant 1, m \leqslant n,
\]

где $x_{k}$ – собственные числа $X$ (с учетом кратности), $E_{k}$ проектор на собственное подпространство, отвечающее $x_{k}$. Пусть $x_{1}>x_{2}>\ldots>x_{m}$, тогда, применяя к сумме (2.7) преобразование Абеля и учитывая, что $E_{1}+\ldots+E_{m}=\mathrm{I}$, имеем
\[
X=\left(1-x_{1}\right) \cdot 0+\sum_{k=1}^{m-1} \cdot\left(x_{k}-x_{k+1}\right) \cdot E_{k}^{\prime}+x_{m} \cdot 1,
\]

где $E_{k}^{\prime}=E_{1}+\ldots+E_{k}$. Так как 0 , I, а также $E_{k}^{\prime}$ принадлежат $\mathscr{X}_{n}$, а все коэффициенты при них неотрицательны и в сумме составляют 1, то (2.8) является выпуклой комбинацией (несовпадающих) проекторов. Если $X$ крайняя точка, то сумма (2.8) должна состоять из одного слагаемого, так что матрица $X$ должна быть проектором.

Еще раз подчеркнем, что разница между множествами $\mathfrak{\beta}_{n}$ и $\bigodot_{n}$ (соответственно между $\mathfrak{Q}_{n}$ и $\mathfrak{X}_{n}$ ) заклочается в том, что во втором случае рассматриваются в се эрмитовы матрицы, тогда как в первом – только д и агональные или, что то же, одновременно диагонализуемые (коммутирующие) матрицы. Поэтому второй случай можно рассматривать как кнекоммутативный» аналог первого; так, матрицу $S \in \bigodot_{n}$ можно назвать «некоммутативным распределением вероятностей», эрмитову матрицу $X$ – «некоммутативной случайной величиной», задав среднее значение формулой типа (2.3). Дальше мы увидим, что здесь кроется нечто большее, чем простая аналогия.

Аналогичным образом можно было бы рассмотреть и случай вещественных симметричных матриц, однако для квантовой теории основной интерес представляет именно комплексный случай.

В заключение рассмотрим подробнее структуру выпуклого множества $\mathscr{O}_{n}$ в простейшем «некоммутативном» слуqае $n=2$. Всякая матрица $S \in \mathscr{S}_{2}$ может быть записана в виде
\[
S=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}
1+\theta_{3} & \theta_{1}-i \theta_{2} \\
\theta_{1}+i \theta_{2} & 1-\theta_{3}
\end{array}\right],
\]

где $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ – вещественные числа, называемые параметрами Стокса. Условие $S \geqslant 0$ равносильно неравенству $\theta_{i}+\theta_{9}+\theta_{i}^{\prime} \leqslant 1$.

Таким образом, $\mathbb{C}_{2}$ как выпуклое множество представляет собой шар в трехмерном вещественном пространстве; крайними точками являются матрицы (2.9), для которых точка $\left[\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}\right]$ лежит на сфере $\theta_{1}^{2}+\theta_{3}^{2}+\theta_{3}^{2}=1$.

В случае $n>2$ множество $\mathscr{O}_{n}$ является уже некоторым собственным подмножеством ( $n^{2}-1$ )-мерного вещественного шара и дать ему компактное геометрическое описание представляется затруднительным.