Пусть $S_1,\dots ,S_n$ — точки некоторого линейного пространства $\mathcal{L},p_1,\dots ,p_n$ — набор вещественных чисел, удовлетворяющий условиям
$$p_i⩾0,\sum _{i=1}^n{p}_i=1,$$
т. е. конечное распределение вероятностей. Тогда точка
$$S=\sum _{i=1}^n{p}_i{S}_j$$

называется выпуклой комбинацией точек $S_j$ с коэффидиентами (весами) $p_j$. Вылуклой оболочкой множества точек $\mathcal{x}\subset \mathcal{L}$ называется совокупность выпуклых комбинаций всевозможных конечных наборов точек $\left\{S_j\right\}\subset \mathcal{K}$. Множество ( называется билукльм, если оно совпадает со своей выпуклой оболочкой, т. е. содержит выпуклую комбинацию любого конечного набора своих точек. Если ограничиться двумя точками $S_0,S_1$, то совокупность их выпуклых комбинаций геометрически представляет собой отрезок, соединяющий эти точки:
$$\{S:S=p_0{S}_0+p_1{S}_1;p_0,p_1⩾0,p_0+p_1=1\}.$$

Нетрудно убедиться, что множество $\mathcal{O}$ выпукло тогда и только тогда, когда вместе с любыми своими двумя точками оно содержит и соединяющий их отрезок.

Абстрактное множество ( $)$ назовем пространством смесей, если каждому конечному набору элементов $\left\{S_{\alpha }\right\}\subset$ $\mathcal{C}$ § и распределению вероятностей $\left\{p_{\mathrm{a}}\right\}$ сопоставлен однозначный элемент-смесь $S$ (\{S $S_{\alpha }\},\left\{p_{\alpha }\right\})$. Примером пространства смесей является выпуклое множество, если смесь определяется как выпуклая комбинация.

Пусть $\mathit{F}$ — отображение пространства смесей ( ) в какоелибо линейное пространство. Оно называется аффинным, если для любой смеси $S(\left\{S_{\alpha }\right\},\left\{p_{\alpha }\right\})$ выполняется
$$F\left(S(\left\{S_{\alpha }\right\},\left\{p_{\alpha }\right\})\right)=\sum _{\alpha }{p}_{\alpha }F\left(S_{\alpha }\right).$$

Очевидно, что образ выпуклого множества при аффинном отображении является выпуклым множеством. В линейных пространствах существует тесная связь между аффинными и линейными отображениями: именно, всякое аффинное отображение выпуклого множества $\mathcal{E}\subset \mathcal{L}$ является сужением на $\cong$ отображения вида $T\to L(T)+L_0;T\in \mathcal{L}$, где $L$ — линейное отображение. В частности, всякий аффинный функционал (т. е. отображение на вещественную прямую $\mathbb{R}$ ) с точностью до постоянного слагаемого совпадает с сужением на $\mathcal{S}$ линейного функционала на $\mathcal{L}$.

Пространство смесей называется отделимым, если для любых двух элементов $S_1,S_2\in \mathcal{S}$ найдется аффинный функционал $\phi$ на $\mathcal{E}$ такой, что $\phi \left(S_1\right)eq\phi \left(S_2\right)$.

Примером отделимого пространства смесей является множество состояний из § 1. В самом деле, для любого измерения $S\to {\mu }_S$ и любого подмножества $B\in \mathcal{e}\mathcal{t}(U)$ функционал $S\to {\mu }_S(B)$ является аффинным в силу (1.2). По построению, для любых состояний $S_1$ и $S_2$ должно найтись измерение такое, что ${\mu }_{S_1}eq{\mu }_{S_2}$, т. е. ${\mu }_{S_1}(B)eq{\mu }_{S_1}(B)$ для некоторого $B$. Из следующего предложения вытекает, что всякое множество состояний можно рассматривать как выпуклое подмножество некоторого линейного пространства с операцией выпуклой комбинации в качестве смешивания.

Предложение 2.1. Всякое отделимое пространство смесей (ङ взаимно-однознанно и аффинно отображсается на вылуклое подмножество яинейного пространства.

Доказательство. Пусть $\mathit{A}(\mathcal{)}$ — линейное пространство всех аффинных функционалов на $\mathfrak{O}$. Рассмотрим сопряженное пространство $\mathcal{L}=A(\mathcal{S}{)}^{\prime }$ всех линейных функционалов на $A(\mathrm{\Im })$. Для каждого $S\in \mathcal{S}$ введем $\hat{\mathcal{S}}\in \mathcal{L}$, полагая
$$\hat{S}(\phi )=\phi (S),\phi \in \mathcal{L}.$$

Отображение $S\to \hat{S}$ является аффинным, так как
$$\begin{array}{rl}\sum _j{p}_j{\hat{S}}_j(\phi )=\sum _j{p}_j\phi \left(S_j\right)=\phi \left(S(\left\{S_j\right\},\left\{p_j\right\})\right)& =\\ & =\hat{S}(\left\{S_j\right\},\left\{p_j\right\})(\phi ),\end{array}$$

и взаимно-однозначным, так как ${\hat{S}}_1(\phi )={\hat{S}}_2(\phi )$ влечет $\phi \left(S_1\right)=\phi \left(S_2\right)$ для всех аффинных функционалов $\phi$. Предложение доказано.

Простейшим примером выпуклого множества является n-мерный симплекс, который определяется как выпуклая оболочка $n+1$ точек общего положения в пространстве
Рис. 2.

размерности $⩾n$ (точки $S_0,S_1,\dots ,S_n$ называются точками общего положения, если $n$ векторов $\overline{S_0{\overrightarrow{S}}_1},\dots ,\overrightarrow{S_0}\overrightarrow{S_n}$ линейно независимы). В случае $n=1$ симплекс является отрезком, в случае $n=2$-треугольником, в случае $n=3$ тетраэдром (рис. 2). Точки $S_0,\dots ,S_n$ называются вериинами симплекса.

Фундаментальную роль в теории выпуклых множеств играет понятие крайней точки. Точка $S$ называется крайней точкой выпуклого множества $\mathcal{C}$, если она не является не может быть представлена в виде $S=p_0{S}_0+p_1{S}_1$, где $p_0,p_1>0,p_0+p_1=1;S_0,S_1\in \mathcal{S}$ и $S_{0}eq{S}_1$.

Множество всех крайних точек назовем остовом выпуклого множества. В конечномерном линейном пространстве имеет место

Теорема 2.1. Всякое компактное (ограниченное и гамкнутое) вылуклое множество ( совпадает с вылуклой оболочкой мнолсества своих крайних точек.

В произвольном выпуклом множестве одну и ту же точку $S$ можно представить в виде выпуклой комбинации крайних точек, вооще говоря, разными способами. Раэложение по крайним точкам одноэнано для мобой точки $S\in ⋐$ тогда и только тогда, когда § является симплексом. Заметим, что крайними точками симплекса являются его вершины.

Теорема 2.1, определение и характеристическое свойство симплекса обобщаются и на бесконечномерный случай, однако аккуратное иэложение этнх вопросов потребовало бы больпе места, чем позволяют рамки этой книги. В то же время для понимания следующих разделов достаточно приведенных выше конечномерных результатов. Остановимся лишь на одном примере, который встретится дальше.

Рассмотрим множество всевозможных распределений вероятностей $\mathfrak{P}(\mathrm{\Omega })$ на некотором фиксированном измеримом пространстве $\mathrm{\Omega }$. Это множество является выпуклым, так как всякая выпуклая комбинация или «смесь» распределений $P_j(d\omega )$, очевидно, является распределением на $\mathbf{\Omega }$ :
$$P(A)=\sum _i{p}_j{P}_j(A),A\in \mathrm{et}(\mathrm{\Omega }).$$

Всякой точке $\omega \in \mathrm{\Omega }$ отвечает 8 -распределение, сосредоточенное в точке $\omega$ :
$${\delta }_{\omega }(A)=\{\begin{array}{ll}1,& Ai\omega ,\\ 0,& A\mathrm{\Xi }\omega .\end{array}$$

Не ограничивая общносту, можно считать, что б-алгебра существует $A\in \mathrm{et}(\mathrm{\Omega })$ такое, что ${\omega }_1\in A,{\omega }_3\stackrel{\mathrm{\Xi }}{E}A$. Тогда соответствие $\omega \to {\delta }_{\omega }$ является взаимно-однозначным. Крайними точками множества $\mathfrak{P}(\mathrm{\Omega })$ являются $\delta$-распределения и только они. Очевидно, что для любого $P\in \mathrm{\Re }(\mathrm{\Omega })$
$$P(A)={\int }_{\mathrm{\Omega }}P(d\omega ){\delta }_{\omega }(A),A\in \mathrm{et}(\mathrm{\Omega }).$$

Это представление является вепрерывным аналогом разложения по крайним точкам, причем роль набора коэффициентов $p_j$ здесь играет распределение $\mathit{P}(d\omega )$. Представление (2.1) однозначно, так что выпуклое множество $\mathfrak{P}(\mathrm{\Omega })$ обладает своіством, характеризующим в конечномерном случае симплекс, и мы сохраним за ним это название.

Для иллюстрации рассмотрим случай, когда $\mathbf{\Omega }={\mathbf{\Omega }}_n$ состоит из конечного числа $n$ точек (е $\mathit{t}(\mathrm{\Omega })$ является булевой алгеброй всех подмножеств ${\mathrm{\Omega }}_n$ ). Тогда множество
$${\mathcal{P}}_n=\{P=[p_1,\dots ,p_n]:p_j⩾0,\sum _{j=1}^n{p}_j=1\},$$

очевидно, является ( $n-1$ )-мерным симплексом с вершинами $[1,0,\dots ,0],\dots ,[0,\dots ,0,1]$.

Для нас будет удобно записывать $P$ в виде диаговальной матрицы:
$$P=\left[\begin{array}{cc}{p}_1& 0\\ & \ddots \\ 0& p_n\end{array}\right].$$

Тогда условия, характеризующие $P$, запншутся в виде
$$P⩾0,\mathrm{Tr}P=1,$$

где $\mathrm{Tr}$ обозначает след матриць, т. е. сумму диагональных элементов.

Если $X$-случайная величина на ${\mathrm{\Omega }}_n$, принимающая значения $x_1,\dots ,x_n$, то, полагая
$$X=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& 0\\ & \ddots \\ 0& x_n\end{array}\right],$$

получаем, что математическое ожидание величины $\mathit{X}$ относительно распределения вероятностей $P$ равно
$$\sum _{j=1}^n{p}_j{x}_j=\mathrm{Tr}PX.$$

Рассмотрим множество ${\mathbf{\Omega }}_n$ случайных величин, удовлетворяющих условию $0⩽x_j⩽1$, т. е.
$$0⩽X⩽I\text{, где }I-\text{ единичная матрица. }$$

Тогда ${\mathfrak{a}}_n$ будет выпуклым множеством — единичным гиперкубом, а его крайними точками — вершины гиперкуба, т. е. такие матрицы $X$, для которых $x_j$ равно 0 или 1 . Для таких матриц $X^2=X$, так что крайними точками множества ${\mathfrak{Q}}_n$ являются проекционные матрицы.
Этот простейший пример поэволяет естественно подойти к другому, который представляет основной интерес в связи с квантовой теорией.

Рассмотрим множество ${\mathcal{O}}_n$ всех комплексных эрмитовых $n\times n$-матриц $S=\left[s_{m{m}^{\prime }}\right]$, удовлетворяющих условиям типа (2.2):
$$S⩾0,\mathrm{Tr}S=1.$$

Согласно конеиномернои спектральнод теореме, всякая эрмитова матрица представляется в виде
$$S=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{S}_{\psi j},$$

где ${\lambda }_f$ — (вещественные) собственные числа (без учета кратности), а $S_{{\psi }_j}={\psi }_j{\psi }_i^{\ast }$ — взаимно-ортогональные проекторы *) на единичные собственные векторы матрицы $S$. Это называется спектральньк раяложением матрицы $S$. Из условий (2.5) следует, что собственные числа матрицы $S\in {\mathcal{G}}_n$ оразуют распределевие вероятностей
$${\lambda }_f⩾0,\sum _{l=1}^n{\lambda }_j=1.$$

В частности, $0⩽{\lambda }_f⩽1$, и из (2.6) получаем
$$S-S^2=\sum _{l=1}^n{\lambda }_l(1-{\lambda }_j)S_{{\psi }_1}⩾0.$$

При этом $S=S^2$ тогда и только тогда, когда $S=S_{{\psi }_k}$ для некоторого единичного вектора ${\psi }_k$, т. е. когда $S$ является одномерным проектором.

Предложение 2.2. Мномсетьо ${\mathcal{O}}_n$ вылукло; его остов образуют одномерные проекторы.
$\cdot$) Подразумевается, что скалярное произведение векторов-столбцов $\phi =\left[{\phi }_m\right]$ и $\mathit{\psi }=\left[{\psi }_m\right]$ определяется хак ${\phi }^{\ast }\psi =\sum _{m=1}^n{\mathrm{\Phi }}_m{\psi }_m$, где ${\phi }^{\ast }$ — эрмитово сопряженный вектор-строка. Произведение столбца $\varphi$ на строку ${\mathit{\psi }}^{\ast }$ является $n\times n$-матрицен с компонентами $\left[{\mathit{\psi }}_m{\overline{\psi }}_m\right]$. Если $\psi$-единичныи вектор, ${\psi }^{\ast }\psi =1$, то. $S_{\psi }=\psi {\psi }^{\ast }$ является матрицей ортогонального проектврования на вектор $\psi$.
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что оба условия (2.5) выдерживают образование выпуклых комбинаций. Докажем, что всякий одномерный проектор $S$ является крайней точкой. Пусть
$$S=p_0{S}_0+p_1{S}_1;p_0,p_1>0,p_0+p_1=1;S_0,S_1\in {\mathcal{S}}_n.$$

Возводя это соотношение в квадрат, вычитая $S^2$ из $S$ и учитывая, что $S⩾S^2$ для $S\in {\mathcal{E}}_n$, получаем
$$\begin{array}{l}S-S^2=p_0(S_0-S_0^2)+p_1(S_1-S_1^2)+p_0{p}_1{(S_0-S_1)}^2⩾\\ ⩾p_0{p}_1{(S_0-S_1)}^2.\end{array}$$

Таким образом, из $S=S^2$ следует $S_0=S_1$, так что $S$ является крайней точкой Докажем обратное утверждение. Рассмотрим спектральное разложение (2.6). Так как $S_{{\psi }_j}\in {⨀}_n$ и $S_{{\psi }_j}eq{S}_{{\psi }_k}$ при $jeqk$, то для матрицы $S$, являющейся крайней точкой множества ${\mathcal{S}}_n$, сумма (2.6) может содержать только одно ненулевое слагаемое. Следовательно, $S=S_{{\psi }_j}$ для некоторого $\mathrm{f}$, что и требовалось доказать.

Формула (2.6) дает один из вариантов разложения $S$ по крайним точкам.

Рассмотрим также выпуклое множество ${\mathcal{P}}_n$ всех $n\times n$-эрмитовых матриц $X$, удовлетворяющих ограничениям (2.4). Покажем, что крайними точками множества ${\mathcal{X}}_n$ являются проекторы, $m$. е. эрмитовы матрицы, удовлетворяющие условию $X^2=X$, и только они. Доказательство того, что всякий проектор является крайней точкой, проводится так же, как для ${\mathcal{C}}_n$; докажем, что всякая крайняя точка обязательно является проектором. Запишем спектральное разложение матрицы $X$ :
$$X=\sum _{k=1}^m{x}_k{E}_k;0⩽x_k⩽1,m⩽n,$$

где $x_k$ — собственные числа $X$ (с учетом кратности), $E_k$ проектор на собственное подпространство, отвечающее $x_k$. Пусть $x_1>x_2>\dots >x_m$, тогда, применяя к сумме (2.7) преобразование Абеля и учитывая, что $E_1+\dots +E_m=\mathrm{I}$, имеем
$$X=(1-x_1)\cdot 0+\sum _{k=1}^{m-1}\cdot (x_k-x_{k+1})\cdot E_k^{\prime }+x_m\cdot 1,$$

где $E_k^{\prime }=E_1+\dots +E_k$. Так как 0 , I, а также $E_k^{\prime }$ принадлежат ${\mathcal{X}}_n$, а все коэффициенты при них неотрицательны и в сумме составляют 1, то (2.8) является выпуклой комбинацией (несовпадающих) проекторов. Если $X$ крайняя точка, то сумма (2.8) должна состоять из одного слагаемого, так что матрица $X$ должна быть проектором.

Еще раз подчеркнем, что разница между множествами ${\beta }_n$ и $\underset{n}{⨀}$ (соответственно между ${\mathfrak{Q}}_n$ и ${\mathfrak{X}}_n$ ) заклочается в том, что во втором случае рассматриваются в се эрмитовы матрицы, тогда как в первом — только д и агональные или, что то же, одновременно диагонализуемые (коммутирующие) матрицы. Поэтому второй случай можно рассматривать как кнекоммутативный» аналог первого; так, матрицу $S\in \underset{n}{⨀}$ можно назвать «некоммутативным распределением вероятностей», эрмитову матрицу $X$ — «некоммутативной случайной величиной», задав среднее значение формулой типа (2.3). Дальше мы увидим, что здесь кроется нечто большее, чем простая аналогия.

Аналогичным образом можно было бы рассмотреть и случай вещественных симметричных матриц, однако для квантовой теории основной интерес представляет именно комплексный случай.

В заключение рассмотрим подробнее структуру выпуклого множества ${\mathcal{O}}_n$ в простейшем «некоммутативном» слуqае $n=2$. Всякая матрица $S\in {\mathcal{S}}_2$ может быть записана в виде
$$S=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+{\theta }_3& {\theta }_1-i{\theta }_2\\ {\theta }_1+i{\theta }_2& 1-{\theta }_3\end{array}\right],$$

где ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ — вещественные числа, называемые параметрами Стокса. Условие $S⩾0$ равносильно неравенству ${\theta }_i+{\theta }_9+{\theta }_i^{\prime }⩽1$.

Таким образом, ${\mathbb{C}}_2$ как выпуклое множество представляет собой шар в трехмерном вещественном пространстве; крайними точками являются матрицы (2.9), для которых точка $[{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3]$ лежит на сфере ${\theta }_1^2+{\theta }_3^2+{\theta }_3^2=1$.

В случае $n>2$ множество ${\mathcal{O}}_n$ является уже некоторым собственным подмножеством ( $n^2-1$ )-мерного вещественного шара и дать ему компактное геометрическое описание представляется затруднительным.