Рассмотрим семейство состояний $\left\{S_{\theta_{1}}, \ldots, \theta_{n}\right\}$, зависящее от параметра $\theta=\left[\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right]$, пробегающего область $\theta$ в $n$-мерном пространстве. Например, это может быть семейство гауссовских состояний $\left\{S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right\}$ с двумерным параметром $[P, Q]$. Мы предположим, что выполнены следующие условия:
1) семейство $\left\{S_{\theta_{1}}, \ldots, \theta_{n}\right\}$ сильно дифференцируемо по $\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}$ как функция со значениями в банаховом пространстве ядерных операторов;
2) существует некоторая постоянная с такая, что
\[
\left|\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \theta_{j}} S_{0} \cdot X\right|^{2} \leqslant c \cdot \operatorname{Tr} S_{0} X^{2} ; \quad X \in \mathfrak{B}_{h}(\mathscr{K}), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Как и в случае одномерного параметра, при этих условиях существуют симиетричные логарифмические производные $L / ; j=1, \ldots, n$, определяемые как элементы пространства $\mathscr{L}_{b}\left(S_{0}\right)$, удовлетворяющие уравнениям
\[
\frac{\partial S_{0}}{\partial \theta_{i}}=S_{0} \cdot L b .
\]

Нас будут интересовать измерения многомерного параметра $\theta=\left[\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right]$ в семействе состояний $\left\{S_{0}\right\}$. Как и в случае одномерного параметра, мы ограничимсч измерениями с конечными вторыми моментами, удовлетворяюцими условию локальной несмещенности
\[
\int \hat{\theta}_{j} \frac{\partial \mu_{\theta}}{\partial \theta_{k}}\left(d^{n} \hat{\theta}\right)=\delta_{j k} ; \quad j, k=1, \ldots, n,
\]

где
\[
\mu_{B}(B)=\operatorname{Tr} S_{\theta} M(B),
\]
\[
\frac{\partial \mu_{\theta}}{\partial \theta_{k}}(B)=\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \theta_{k}} S_{0} \cdot M(B), B \in \operatorname{et}(\Theta) .
\]

В силу конечности вторых иоментов, интегралы
\[
X_{M}^{\prime}=\int \hat{\theta}_{j} M\left(d^{n} \hat{\theta}\right)
\]

определяют элементы пространства $\mathscr{L} h\left(S_{9}\right)$. Рассуждая как в (2.7), получаем другую формулировку условия локальной несмещенности
\[
\left\langle X_{M}^{j}, L_{\theta}^{k}\right\rangle_{s_{1}}=\delta_{j k} .
\]

Введем икформачшонкую матрицу
\[
J_{0}=\left[\left\langle L_{\theta}^{l}, L_{\theta}^{k}\right\rangle_{s_{\theta}}\right],
\]

которая является матрицей Грама системы $\left\{L_{\partial}\right\}$. Мы предположим, что матрица $J_{6}$ невырождена. Тогда для матрицы ковариации (1.1) нюбого локально несмещенного измерения имеет место многомерный аналог неравенства (2.9):
\[
\boldsymbol{B}_{6}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \boldsymbol{J}_{0}^{-1} \text {. }
\]

Это означает, что для любого вектора-строки $\boldsymbol{v}=$ $=\left[v_{1}, \ldots, v_{n}\right]$ выполняется
\[
\boldsymbol{
abla} B_{0}\{\boldsymbol{M}\} \boldsymbol{\sigma}^{*} \geqslant \boldsymbol{
abla} \boldsymbol{J}_{0}^{-1} \boldsymbol{\sigma}^{*},
\]

где $\boldsymbol{\theta}^{*}$ – эрмитово сопряженный вектор-столбец. Так как обе матрицы вещественны, то, не ограничивая общности,

ными.

Доказательство опирается на следующий элементарный факт.

Лемм а 5.1. Пусть $\left\{X^{\prime}\right\},\left\{Y^{\prime}\right\}, j=1, \ldots, n,-$ биортогональные системь векторов в некотором гильбертовом пространстве, т. е.
\[
\left\langle X^{j}, Y^{k}\right\rangle=\delta_{j k},
\]

где $\langle\cdot, \cdot\rangle$-скалярное произведение, и матрица Грама $\Gamma_{Y}=\left[\left\langle Y^{\prime}, Y^{k}\right\rangle\right]$ невырождена. Тогда матрица Грама системы $\left\{X^{\prime}\right\}$ удовлетворяет неравенству
\[
\boldsymbol{\Gamma}_{X} \geqslant \boldsymbol{\Gamma}_{\bar{\gamma}}^{-1}
\]

Доказательство. Вводя векторы $X=\sum_{i} u_{j} X^{\prime}$, $Y=\sum_{k} v_{k} Y_{k}$, имеем
\[
\langle X, Y\rangle=\boldsymbol{v} \boldsymbol{u}^{*} .
\]

Используя неравенство Коши – Буняковского, получаем
\[
\boldsymbol{u} \Gamma_{X} \boldsymbol{u}^{*} \cdot \boldsymbol{
abla} \Gamma_{Y} \boldsymbol{v}^{*}=\langle X, X\rangle\langle Y, Y\rangle \geqslant\left(\boldsymbol{v} u^{*}\right)^{2},
\]

откуда, полагая $\boldsymbol{
abla}=\boldsymbol{u} \Gamma_{\bar{\gamma}}^{-1}$, получаем (5.4).
Для доказательства (5.3) прежде всего заметим, что
\[
\boldsymbol{B}_{0}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant B,
\]

где $B=\left[\left\langle X_{M}^{\prime}-\theta_{j}, X_{M}^{k}-\theta_{k}\right\rangle_{s_{\theta}}\right]$ – матрица Грама системы $\left\{X_{M}^{i}-\theta_{j}\right\}$. В самом деле, полагая в неравенстве (II.9.6) $f(\hat{\theta})=\sum_{j=1}^{n} v_{j}\left(\hat{\theta}_{j}-\theta_{j}\right)$, имеем
\[
\begin{array}{l}
v B_{0}\{M\} v^{*}=\int\left|\sum_{j} v_{j}\left(\hat{\theta}_{j}-\theta_{j}\right)\right|^{2} \mu_{0}\left(d^{n} \hat{\theta}\right) \geqslant \\
\geqslant \sum_{j, k} v_{j} v_{k}\left\langle X_{M}^{l_{M}}-\theta_{j}, X_{M}^{k}-\theta_{k}\right\rangle_{S_{i}}=v B v^{*}
\end{array}
\]

для любого вектора $\boldsymbol{\theta}=\left[v_{1}, \ldots, v_{n}\right]$. Далее, замечая, что
\[
\left\langle I, L_{0}^{k}\right\rangle_{s_{0}}=0
\]
аналогично (2.3), и учитывая (5.2), получаем
\[
\left\langle X_{m}^{i}-\theta_{j}, L_{i}^{k}\right\rangle=\delta_{j k} .
\]

Применяя доказанную лемму, имеем
\[
B \geqslant J_{0}^{-1} \text {. }
\]

Учитывая (5.5), получаем доказываемое неравенство (5.3).
Из этого неравенства сразу получается простая нижняя граница для среднеквадратичной погрешности $\boldsymbol{\Sigma}_{0}\{\boldsymbol{M}\}=\operatorname{Tr} \boldsymbol{O} B_{0}\{\boldsymbol{M}\}$, где $\boldsymbol{Q}$ – весовая матрица:
\[
\boldsymbol{\Sigma}_{\mathbf{0}}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \boldsymbol{\operatorname { T r }} \boldsymbol{G} \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{\theta}}^{-\mathbf{1}} .
\]

Для двухпараметрического семейства гауссовских состояний $\left\{S_{\bar{p}}, \bar{Q}\right\}$ с характеристической функцией (V.5.3) симметричные логарифмические производные даются формулами (V.6.10):
\[
L^{Q}=\sigma_{\bar{Q}}^{-2}(Q-\bar{Q}), \quad L^{P}=\sigma_{\vec{P}}^{2}(P-\bar{P}),
\]

так что
\[
J_{\bar{P}, \bar{Q}}=\left[\begin{array}{cc}
\sigma_{\bar{P}}^{2} & 0 \\
0 & \sigma_{\bar{Q}}^{2}
\end{array}\right] .
\]

Матричное неравенство (5.3) дает два скалярных неравенства:
\[
D_{P}\{M\} \geqslant \sigma_{P}^{2}, \quad D_{Q}\{M\} \geqslant \sigma_{Q},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
D_{P}\{M\}=\int(y-\bar{P})^{2} \mu_{\bar{P}, \bar{Q}}(d x d y), \\
D_{Q}\{M\}=\int(x-\bar{Q})^{2} \mu_{\vec{P}, \bar{Q}}(d x d y)
\end{array}
\]
– маргинальные дисперсии измерения параметров $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{Q}$. Отсюда для любых весов $\mathrm{gp}_{p}, \mathrm{~g}_{\mathrm{Q}}$
\[
g_{P} \mathrm{D}_{P}\{M\}+g_{Q} \mathrm{D}_{Q}\{M\} \geqslant g_{P} \sigma^{\circ}+g_{Q} \sigma_{Q}^{2} .
\]

Мы увидим, однако, ниже, что эта граница является недостижимой, и получим лучшую, достижимую границу, которая учитывает невозможность точного совместного измерения наблюдаемых $P$ и $Q$.