Наиболее важными примерами параметров сдвига на всей прямой являются кордината $x$ и время $t$. Мы рассмотрим ковариантные измерения параметра сдвига сначала с общей точки зрения.

Рассмотрим произвольное проективное унитарное представление группы сдвигов $\mathbb{R}$. Согласно предложению II 1.2.1, оно всегда сводится к унитарному представлению
\[
x \rightarrow e^{-i A x} \text {, }
\]

где $A$-самосопряженный оператор в $\mathscr{K}$. В общем случае спектральная теорема фон Неймана позволяет утверждать, что $A$ может быть реализован как оператор умножения на независимую переменную в непрерывной сумме гильбертовых пространств. Мы дадим описание этой конструкции в частном случае, когда оператор $A$ «имеет спектральный тип $d \lambda$ ». Как и все содержание этого параграфа, построение будет носить формальный характер, так как строгое обоснование заняло бы слишком много места. Полезно рассматривать результаты этого параграфа как непрерывный аналог результатов § 10 , когда расстояние между собственными значениями оператора $A$ стремится к нулю и они непрерывно заполняют некоторый интервал $\Lambda$ вещественной прямой.

Пусть для почти любого $\lambda \in \Lambda$ задано гильбертово пространство $\mathscr{K}_{\lambda}$ со скалярным произведением $(\cdot \mid \cdot)_{\lambda}$ и нормой $\left|\psi_{\lambda}\right|_{\lambda}^{2}=\left(\psi_{\lambda} \mid \psi_{\lambda}\right)_{\lambda} ; \quad \psi_{\lambda} \in \mathscr{K}_{\lambda}$. Непрерьвной суммой пространств $\mathscr{\mathscr { C }}{ }_{\lambda}$ относительно меры $d \lambda$
\[
\mathscr{H}=\int_{\Lambda} \oplus \mathscr{K}{ }_{\lambda} d \lambda
\]

называется пространство, состоящее из функций $\psi={ }^{r}{ }^{\prime} \psi_{\lambda}$ ], где $\psi_{\lambda} \in \mathscr{H}_{\lambda}$, таких, что
\[
\|\psi\|^{2} \equiv \int_{\Lambda}\left\|\psi_{\lambda}\right\| \lambda d \lambda<\infty .
\]

Скалярное произведение в $\mathscr{C}$ определяется формулой
\[
(\varphi \mid \Psi)=\int_{\boldsymbol{A}}\left(\varphi_{\lambda} \mid \psi_{\lambda}\right)_{\lambda} d \lambda
\]

Таким образом, мы предполагаем, что наше пространство $\mathscr{~}$ разлагается в непрерывную сумму (11.2), а оператор А действует в $\mathscr{K}$ как оператор умножения на $\lambda$ :
\[
A \psi=\left[\lambda \psi_{\lambda}\right], \text { если } \psi=\left[\psi_{\lambda}\right] .
\]

Отсюда следует, что $e^{i A x_{\psi}} \psi=\left[e^{i \lambda x_{2}} \psi_{\lambda}\right.$. Формулы (11.2) — (11.3) являются непрерывным аналогом- соотношений (10.2) — (10.3).

Мы будем рассматривать операторы $K$ в $\mathscr{\mathscr { H }}$, задаваемые ядрами $\left[K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right]$, где $K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)$ — оператор из $\mathscr{K}_{\lambda^{\prime}}$ в $\mathscr{K}_{\lambda}$, по формуле
\[
K \psi=\left[\int_{\Lambda} K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \psi_{\lambda^{\prime}} d \lambda^{\prime}\right]
\]

Этому соответствию можно придать непосредственный смысл, если оператор $K$ — ядерный (ср. § II.7); для эрмитова ядерного оператора $\left.K=\sum_{j} x_{j} \mid \psi^{\prime}\right)\left(\psi^{j} \mid, \quad\right.$ очевидно, $\left.K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)=\sum_{i} x_{i} \mid \psi_{\lambda}^{\prime}\right)\left(\Psi_{\lambda}^{\prime} \mid \cdot\right.$ Здесь $\psi^{\prime}=\left[\psi_{\lambda}^{\prime}\right]$, так что $K^{\prime}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)=$ $\left.=\mid \Psi_{\lambda}^{\prime}\right)\left(\Psi_{\lambda}^{\prime} \mid\right.$ есть оператор из $\mathscr{K}_{\lambda}$, в $\mathscr{K}_{\lambda}$, действующий по формуле
\[
K^{\prime}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \psi_{\lambda}=\psi_{\lambda}^{\prime}\left(\psi_{\lambda}^{\prime} \mid \psi_{\lambda^{\prime}}\right)_{\lambda^{\prime}} .
\]

Однако мы будем пользоваться формальным соответствием между операторами и ядрами и в тех случаях, когда $K$ не является ядерным; например, единичному оператору будем сопоставлятъ ядро [ $\left.\delta\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right) I_{\lambda}\right]$, где $I_{\lambda}$ — единичный оператор в $\mathscr{K}_{\lambda}$.

Положительным операторам $K$ соответствуют положительно определенные ядра
\[
\iint\left(\psi_{\lambda} \mid K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \psi_{\lambda^{\prime}}\right)_{\lambda} d \lambda d \prime^{\prime} \geqslant 0 ; \quad \psi=\left[\psi_{\lambda}\right] .
\]

Подставляя вместо $\psi_{\lambda}$ выражение $f(\lambda) \psi_{\lambda}$, где $f(\cdot)$ — произвольная скалярная функция, получаем, что (11.6) выполняется тогда и только тогда, когда для любого $\boldsymbol{\psi}=\left[\psi_{\lambda}\right]$ скалярное ядро ( $\left.\psi_{\lambda} \mid K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \psi_{i} \cdot\right)_{\lambda}$ является положительно определенным. Отсюда следует, что для положительно определенного ядра $\left[K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right]$ выполняется
\[
\begin{aligned}
\mid\left(\Psi_{\lambda} \mid K(\lambda,\right. & \left.\left.\lambda^{\prime}\right) \psi_{\lambda^{\prime}}\right)\left._{\lambda}\right|^{2} \leqslant \\
& \leqslant\left(\psi_{\lambda} \mid K(\lambda, \lambda) \psi_{\lambda^{\prime}}\right)_{\lambda^{\prime}} \cdot\left(\psi_{\lambda^{\prime}} \mid K\left(\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime}\right) \psi_{\lambda^{\prime}}\right)_{\lambda^{\prime}}
\end{aligned}
\]

для почти всех $\lambda, \lambda^{\prime} \in \Lambda$.
Приведем непрерывный аналог теоремы 10.1, дающий общий вид измерения, ковариантного относительно представления (11.1) группы сдвигов:
\[
M(d x)=\left[K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) e^{i\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) x}\right]_{2 \pi}^{d x},
\]

где $\left[K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right]$ — положительно определенное ядро, удовлетворяющее условию $K(\lambda, \lambda)=I_{\lambda}$. Формально легко проверяется, что (11.8) действительно является разложением единицы: $M(d x) \geqslant 0$ в силу положительной определенности ядра $\left[K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) e^{t\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) x}\right]$, и $\int M(d x)=\left[\delta\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right) I_{\lambda_{-}}^{-}=\mathrm{I}\right.$.

Пусть $S=\mid \psi)\left(\psi \mid\right.$, где $\psi=\left[\Psi_{\lambda}\right]$, — чистое состояние. Обозначая через $\Phi_{\psi}^{M}(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \lambda x}(\psi \mid M(d x) \psi)$ характеристическую функцию распределения вероятностей результатов измерения $\boldsymbol{M}$ относительно состояния $\mathcal{S}$, получаем, интегрируя (11.8),
\[
\Phi_{\psi}^{M}(\lambda)=\int\left(\psi_{\mu} \mid K(\mu, \mu-\lambda) \psi_{\mu-\lambda}\right) d \mu .
\]

Интеграл сходится, поскольку, в силу (11.7) и условия $K(\lambda, \lambda)=I_{\lambda}$,
\[
\left|\left(\psi_{\mu} \mid K(\mu, \mu-\lambda) \psi_{\mu-\lambda}\right)\right| \leqslant\left.\left|\psi_{\mu} \|_{\mu}\right| \psi_{\mu-\lambda}\right|_{\mu-\lambda}
\]

и обе функции в правой части квадратично-интегрируемы. Если дополнительно предположить, что
\[
\int_{\Lambda}\left|\Psi_{\lambda}\right| \lambda d \lambda<\infty,
\]

то характеристическая функция оказывается интегрируемой и тогда распределение вероятностей измерения имеет плотность
\[
\begin{array}{l}
p_{\phi}^{M}(x) \equiv \frac{1}{2 \pi} \int e^{-i x \lambda} \Phi_{\phi}^{M}(\lambda) d \lambda= \\
=\frac{1}{2 \pi} \iint\left(\Psi_{\lambda} \mid K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \Psi_{\lambda^{\prime}}\right) e^{\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) x} d \lambda d \lambda^{s}
\end{array}
\]

$\mathbf{2 2 1}$
Это согласуется с выражением для $M(d x) / d x$, которое формально получается непосредственно из (11.8).

Рассмотрим случай, когда dim $\mathscr{K}_{\lambda}=$ const. Пусть $\left\{U\left(\lambda, \quad \lambda^{\prime}\right)\right\}$ — согласованное семейство изометрических отображений $\mathscr{H}_{\lambda^{\prime}}$ на $\mathscr{K}_{\lambda} ; \lambda^{\prime} ; \lambda \in \Lambda$. Тогда $\left[U\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right]$ является ядром, определяющим ковариантное измерение. Отождествляя между собой пространства $\mathscr{K}_{\lambda}$, получаем «каноническое измерение»
\[
M(d x)=\left[I_{\lambda} e^{i\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) x}\right] \frac{d x}{2 \pi} .
\]

Обратимся теперь к проблеме оденивания параметра сдвига $x$ в ковариантном семействе состояний
\[
S_{x}=e^{-i A x} S e^{i A x}, \quad-\infty<x<\infty .
\]

Так как группа $G=\mathrm{R}$ некомпактна, то мы уже не можем применить теорему 3.1. Более того, байесовская мера точности с еравномерным распределением» $d x$ вообще не определена. Можно было бы доказать аналог теоремы 3.1 для минимаксного критерия, однако мы огра ничимся рассмотрением минимума среднего отклонения
\[
\mathscr{R}_{x}\{M\}=\int_{-\infty}^{\infty} W(\hat{x}-x) \mu_{s_{x}}^{M}(d \hat{x})
\]

вклассе ковариантных измерений. В силу ковариантности, эта величина фактически не зависит от $x$, так что нужно минимизировать
\[
\mathscr{R}_{0}\{M\}=\int_{-\infty}^{\infty} W(x) \mu_{S}^{M}(d x) .
\]

Мы предположим, что функция отклонения является вещественной непрерывной отрицательно определенной функцией, т. е. имеет вид
\[
W(x)=-\int e^{(\lambda x} \tilde{W}(d \lambda),
\]

где $\tilde{W}(d \lambda)$ — положительная симметричная мера на прямой. Тогда для ковариантного измерения (11.8) имеем
\[
\mathscr{R}_{0}\{\boldsymbol{M}\}=-\int \Phi_{\psi}^{M}(\lambda) \tilde{W}(d \lambda) .
\]

[F.J. IV
В силу неравенства (11.10)
\[
\operatorname{Re} \Phi_{\psi}^{M}(\lambda) \leqslant \Phi_{*}(\lambda) \equiv \int\left|\psi_{\mu}\right|_{\mu}\left|\psi_{\mu-\lambda}\right|_{\mu-\lambda} d \mu,
\]

так что

где
\[
\mathscr{R}_{0}\{M\} \geqslant-\iint\left\|\psi_{\mu} i_{\mu}\right\| \psi_{\mu-\lambda} \psi_{\mu-\lambda} d \mu \tilde{W}(d \lambda)=\mathscr{R}_{0}\left\{M_{0}\right\},
\]
\[
M_{0}(d x)=\left[\frac{\left.\mid \psi_{\lambda}\right)_{\lambda} \cdot \lambda^{\prime}\left(\psi_{\lambda^{\prime}} \mid\right.}{\left|\psi_{\lambda}\right| \lambda_{\lambda} \cdot\left|\psi_{\lambda^{\prime}}\right| \lambda^{\prime}} e^{t\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) x}\right] \frac{d x}{2 \pi} .
\]

Как и в дискретном случае, мера $M_{0}(d x)$, вообще говоря, не является разложением единицы, так как $\int M_{0}(d x)=E_{0}
eq I$ (равенство будет лишь в случае $\operatorname{dim} \mathscr{K _ { \lambda }} \equiv 1$ ), но ее можно продолжить до разложения единицы, добавляя произвольное разложение единицы в ортогональном дополнении пространства $E_{0}(\mathscr{\mathscr { C }})$ :
\[
M_{*}(d x)=M_{0}(d x) \oplus \ldots
\]

В частности, мы будем использовать продолжение
\[
\begin{array}{l}
M_{*}(d x)= \\
=\left[\frac{\left.\mid \psi_{\lambda}\right)_{\lambda} \cdot \lambda^{\prime}\left(\psi_{\lambda^{\prime}} \mid\right.}{\left|\psi_{\lambda} \|_{\lambda} \cdot\right| \psi_{\lambda^{\prime}} \mid \lambda^{\prime}} e^{t\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) x}\right]_{\frac{2 \pi}{2 \pi}}^{d x} \oplus\left(I-E_{0}\right) \delta(x) d x,
\end{array}
\]

где $\delta(x) d x$-скалярная мера, сосредоточенная в нуле.
Таким образом, измерекия вида (11.12) (в частности, измерение (11.13)) являются оптимальными для любод фуккции отклонения указанного выше вида.

Рассмотрим теперь метод максимального правдоподобия. Предположим, что исходное состояние удовлетворяет условию (11.11), так что характеристическая функция $\Phi_{\psi}^{M}(\lambda)$ интегрируема и существует непрерывная плотность $p_{\psi}^{M}(x)$. Формальная байесовская мера точности с функцией отклонения $W(x)=-\delta(x)$ и априорным распределением $\pi(d x)=d x$ имеет вид
\[
-p_{\phi}^{M}(0)=-\int \Phi_{\psi}^{M}(\lambda) d \lambda=-\iint\left(\psi_{\lambda} \mid K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \psi_{\lambda^{\prime}}\right) d \lambda d \lambda^{\prime} ;
\]

она должна быть минимизирована по всем положительно определенным ядрам $\left[K\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right]$, удовлетворяющим условию $K(\lambda, \lambda)=I_{\lambda}$. Очевидно, что решение этой задачи также дается измерением вида (11.12).

Рассмотрим, наконец, представляющий наибольший интерес случай квадратичной функции отклонения
\[
W(\hat{x}-x)=(\hat{x}-x)^{2} .
\]

Достаточно рассматривать только измерения с конечным вторым моментом, для которых величина
\[
\mathscr{R}_{0}\{\boldsymbol{M}\}=\int x^{2} \mu_{S}^{M}(d x)
\]

конечна. Как известно из теории вероятностей, конечность второго момента эквивалентна существованию второй производной хаэактеристической функции в нуле, причем
\[
\int x^{2} \mu_{S}^{M}(d x)=-\left.\frac{d^{2}}{d \lambda^{2}} \Phi_{\psi}^{M}(\lambda)\right|_{\lambda \rightarrow 0}=-\left.\frac{d^{2}}{d \lambda^{2}} \operatorname{Re} \Phi_{\psi}^{M}(\lambda)\right|_{\lambda \rightarrow 0} .
\]

Предположим, что исходное состояние таково, что функция $\mid \psi_{\lambda} \|_{\lambda}, \lambda \in \Lambda$, дифференцируема,
\[
\int_{\Delta}\left|\frac{d}{d \lambda}\right| \psi_{\lambda}|\lambda|^{2} d \lambda<\infty,
\]

и $\psi_{\lambda}=0$ на краях интервала $\Lambda$ (если интервал бесконечный, то это условие считается выполняющимся автоматически). Это озвачает, что, продолжая $\left|\psi_{\lambda}\right| h$ нулем вне интервала $\Lambda$, мы получаем дифференцируемую функцию на всей прямой.

Тогда для измерения (11.12) характеристическая функция $\Phi_{*}(\lambda)$ дважды диффференцируема в нуле, причем
\[
\left.\frac{d^{8}}{d \lambda^{2}} \Phi_{*}(\lambda)\right|_{\lambda-0}=\frac{d^{2}}{d \lambda^{2}} \int_{\Lambda}\left|\psi_{\mu}\right|_{\mu}\left|\psi_{\mu-\lambda}\right|_{\mu-\lambda} d \mu=-\left.\int_{\Lambda}\left|\frac{d}{d \lambda}\right| \psi_{\lambda} b\right|^{2} d \lambda .
\]

Рассмотрим функции $\operatorname{Re} \Phi_{\phi}^{M}(\lambda)$ и $\Phi_{*}(\lambda)$. Они связаны неравенством $\operatorname{Re} \Phi_{\psi}^{M}(\lambda) \leqslant \Phi_{*}(\lambda)$, дважды дифференцируемы в нуле, и $\operatorname{Re} \Phi_{\phi}^{\mu}(0)=\Phi_{*}(0)$. Отсюда следует, что $\left.\frac{d^{2}}{d \lambda^{2}} \Phi_{*}(\lambda)\right|_{\lambda-0} \geqslant\left.\frac{d^{2}}{d \lambda^{2}} \operatorname{Re} \Phi_{*}^{M}(\lambda)\right|_{\lambda-0}$, так что $\mathscr{R}_{0}\{M\} \geqslant \mathscr{R}_{0}\left\{M_{*}\right\}$. Таким образом, измерение -(11.12) имеет наименьшее среднеквадратичное отклонение в классе всех ковариантных иямерений параметра сдвига $x$.

Не ограничивая общности, мы можем считать измерения несмеценными. Тогда из полученного результата вытекает достижимая граница для дисперсии ковариантного измерения
\[
D\{M\} \geqslant\left.\int_{\Lambda}\left|\frac{d}{d \lambda}\right| \Psi_{\lambda} h\right|^{2} d \lambda .
\]

В качестве первого примера рассмотрим измерения параметра координаты в случае одной степени свободы. В этом случае роль оператора $A$ играет оператор импульса $P$, который диагонализируется в импульсном представлении
\[
\begin{aligned}
\psi & =[\tilde{\psi}(\eta)] ; \quad|\phi|^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}|\tilde{\psi}(\eta)|^{2} d \eta, \\
P \psi & =[\eta \tilde{\psi}(\eta)] .
\end{aligned}
\]

Таким образом, пространство $\mathscr{K}=\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$ разлагается в непрерывную сумму одномерных пространств $\mathscr{K}_{\eta}$; в этом случае $\Lambda=(-\infty, \infty)$.

Оптимальное измерение параметра $x$ в семействе состояний
\[
\left.S_{x}=e^{-I P x} \mid \psi_{0}\right)\left(\Psi_{0} \mid e^{I P x}, \quad-\infty<x<\infty,\right.
\]

дается ортогональным разложением единицы
\[
M_{*}(d x)=\left[p_{\eta} \bar{\gamma}_{\eta} e^{l\left(\eta^{\prime}-\eta\right) x}\right] \frac{d x}{2 \pi},
\]

где $\gamma_{\eta}=\tilde{\psi}_{0}(\eta) /\left|\tilde{\psi}_{0}(\eta)\right|$. Ему соответствует существенно самосопряженный оператор
\[
\int_{-\infty}^{\infty} x M_{*}(d x)=\left[\gamma_{\eta} i \frac{d}{d \eta} \bar{\gamma}_{\eta}\right] .
\]

Соотношение (11.15) является «ядерной» записью формулы типа (II.4.9):
\[
\left(\psi \mid M_{*}(d x) \psi\right)=\left[\iint \overline{\tilde{\psi}(\eta)} \tilde{\Psi}\left(\eta^{\prime}\right) \gamma_{\eta} \bar{\gamma}_{\eta}, e^{l\left(\eta^{\prime}-\eta\right) x} d \eta d \eta^{\prime}\right] \frac{d x}{2 \pi} .
\]

Если $\tilde{\psi}_{0}(\eta)>0$, то $\gamma_{\eta} \equiv 1$ и мы получаем разложение единицы внда (II.4.9), отвечающее канонической наблюдаемой координаты $Q=i \frac{d}{d \eta}$ в импульсном представлении. Оптимальное измерение отличается от канонического мно-

$2 P 5$
жителями $\gamma_{\eta}$, учитывающими априорную информацию о6 исходном состоянии.

Рассмотрим теперь измерения параметра времени $t$ в семействе состояний
\[
\left.S_{t}=e^{-i E t} \mid \Psi_{0}\right)\left(\Psi_{0} \mid e^{i E t}, \quad-\infty<t<\infty .\right.
\]

Оператор энергии $E$ ограничен снизу; мы примем, что он имеет непрерывный спектр, лежащий на положительной полупрямой $\boldsymbol{\Lambda}=(0, \infty)$. Точнее, мы предполагаем, что пространство $\mathscr{K}$ разлагается в непрерывную сумму
\[
\mathscr{K}=\int_{0}^{\infty} \oplus \mathscr{\mathscr { C } _ { \varepsilon }} d \varepsilon,
\]

так что $E$ действует в $\mathscr{K}$ как оператор умножения на $\varepsilon$ : $E \psi=\left[\varepsilon \psi_{e}\right]$.

Оптимальное измерение параметра $t$ дается неортогональным разложением единицы
\[
M_{*}(d t)=\left[\frac{\left.\mid \Psi_{\mathrm{g}}\right)_{\mathrm{E}} \cdot \varepsilon^{\prime}\left(\Psi_{\mathrm{E}^{\prime}} \mid\right.}{\left\|\Psi_{\mathrm{B}}\right\|_{e} \cdot\left|\Psi_{\mathrm{g}^{\prime}}\right| \mathrm{e}^{\prime}} e^{t\left(\varepsilon^{\prime}-\varepsilon\right) t}\right] \frac{d t}{2 \pi} \oplus\left(\mathrm{I}-E_{0}\right) \delta(t) d t,
\]

которому отвечает симметричный оператор
\[
\int_{-\infty}^{\infty} t M_{*}(d t)=\left[\frac{\left.\mid \psi_{B}\right)_{B}}{\mid \psi_{B} l_{e}} i \frac{d}{d \varepsilon} \frac{e}{\left|\psi_{B}\right|}\right] .
\]

Если $\operatorname{dim} \mathscr{K}_{\varepsilon}=$ const и пространства $\mathscr{K}_{8}$ каким-то образом отождествляются, то можно ввести кканоническое измерение»
\[
M(d t)=\left[I_{\mathrm{e}} e^{t\left(e^{\prime}-\varepsilon\right) t}\right] \frac{d t}{2 \pi} \oplus \ldots,
\]

которому отвечает симметричный оператор $T=i \frac{d}{d \varepsilon}$. Таким оразом, мы вновь приходим к конструкции § III.9.
Комментарии к гл. IV
6 1. Теорин непрерывных групп посвящена книга Повтрягнна [82]. Подробное изложенне теории компактных параметрических групп и их представлений, адресованное как математикам, так и физикам, дается в книге Желобенко [42]. Общей теории представлений посвя: щена кннга Кириллсеа [48].
Понятие ковариантного измерения является обобщением на неортогональные разложения единицы важного понятия системы импримитнвности, введенного Мерряем и фон Неиманом и подробно нзученного Макки [64]. Изложение результатов Макки с приложениями к квантовой теории можно найти у Варадарайана [23] и Яуха [134]. Ковариантные измерения вознихают также нз ековариантвых инструментову, рассмотренных Дэвисок [38].

В работе Бауэра [7] доказана теорема: пусть $\mathfrak{R}$-выпуклое компактное подмножество отделимого локально выпуклого пространства и $f$-полунепрерывньй сннзу аффиннхй функционал на $\mathfrak{M}$. Тогда $f$ достигает минимума в крайней точке $\mathfrak{R}$. Относительно применений этой теоремы в вопросах существования оптимального квантового измөрения см. Холево [122].
8 2. По поводу инвариантного интегрирования и сотношений ортогональности см. Понтрягин [82], Кириллов [48], Варадараћан [23]. Описание ковариантных измеревий получено в работах автора [115], [122], [125] (см. также Дэвис [38]).

Относительно теоремы Радона — Никодима и интеграла Бохнера см., например, Данфорд и Шварц [36]. Тот факт, что $\mathscr{R}\{\boldsymbol{M}\}=$ $=g_{x} D_{x}\{M\}+g_{v} \mathrm{D}_{v}\{\boldsymbol{M}\}$ достигает минимума в крайней точке, вытекает из теоремы 7.1 работы [118].
§ 3. Математическая статистика (см., напрнмер, Крамер [53], Фергюсон [98]) является естественной базой для статистнческой теории измерений в классических системах. Если нензвестный параметр $\theta$ принимает конечное число значений, то говорят о еразличении гипотез; если же $\theta$ непрерьвен- 06 соцениваниил.

На вояможность и плодотворность перенесения идей математической статистики в теорию квантового измерения указал Хелстром в работе [106], посвященной задаче различения двух квантовых состояний. Холево [113], [114] ввел общие разложения единицы как некоммутативный аналог рандомизированных статистическнх процедур. Подробное изложение результатов квантовой теории различения гипотез и оценивания на теоретико-физнческом уровне содержится в книге Хелстрома [109]. Рассмотревие общей байесовской задачи, с исследованием возникающих здесь проблем интегрирования, провел Холево [118], [122]. Квантовый аналог метода максимального правдоподобия введен в работах [115], [118]. Связь с классическим методом максимального правдоподобня подробно рассматрнвается B [122].
8 4. Задача оценивания чистого состояния рассматривалась Хелстромом [108], [109], который показал, что (4.4) является измерением мак:имального правдоподобия. Результаты этого параграфа принадлежат автору.
§5. Измерения параметров ориентации были рассмотрены в работе Холево [125]. Векторы $\{\mid i ; n)\}$ являются когерентними векторами» для представления группы вращений, рассмотренными Переломовым [78], [79], который ввел когерентные состояния для произвольных непрерывных групп. Формуль для матричных элементов представления грулпы вращений выводятся в книгах Вигнера [26] и Гельфанда, Минлоса, Шапиро [32].
\$8 6-10. Измерения угла поворота рассматричал Хелстром [108], [109], показавший оптимальность измерения (6.4) по крнтерию макснмального правдоподобня н для фунхцни отклонения $4 \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}$.
Теорема 6.1 и предложение 7.1 получены автором [125]. Операторы $C, S, E_{ \pm}$были введеня Каррутерсом и Нието [45], которые получвлн также соотношения веопределенностей для $C$ и $S$.
5 11. О непрерывных суммах гильбертовых пространств см., например, Гельфанд и Виленкин [31]. Матернал этого параграфа взят из работь Холево [124], где рассмотрены также измерения координат трехмерной нерелятнвистской частицы и фотона. Исследования Нвотона и Внгнера [76] (см. также Вайтман [18], Варадарайан [23]) показывают, что релятивистские квантовые объекты с нулевой массой (фотон) кнелокалнзуемь в том смысле, что нд координатном пространстве не существует снстемы импримитивности, т. е. ортогонального разложения единицы, удовлетворяющего подходяцему условию ковариантности. Этот вывод плохо согласуется с экспериментальными доказательствами локализуемости фотонов. Вопрос был рассмотрен далее Яухом и Пироном [135], которые ухазали на две возможности теоретического описания локализуемости фотонов. Первая нз них, которой отдают предпочтенне Яух и Пирон, использует неаддитивную проекторнозначную «меру»; см. Амрейн [2]. Вторая возможность, использующая ковариантное неортогональное разложение еднннцы, была рассмотрена в работе автора [124], где было также получено строгое соотношение неопределенностей для коордннат фотона.