В § III 2 мы анонсировали неравенство
\[
D_{\theta}\{M\} D_{\theta}(A) \geqslant \frac{1}{4}\left|\frac{d}{d \theta} E_{\theta}\{M\}\right|^{2}
\]

для дисперсии нзмерения параметра сдвига $\theta$ в семействе состояний вида
\[
S_{\theta}=e^{f A O} S e^{-1 A \theta} .
\]

Теперь мы дадим строгое доказательство этого неравенства и сравним его с полученным выше неравенством (2.5).

Прежде всего установим условие, при котором семейство (3.2) удовлетворяет необходимым требованиям 1), 2).

Предложение 3.1. Пусть оператор А квадратичносуммируем опносительно исходного состояния $S$; тогда он квадратинно-суммируем относительно состояний $S_{\theta},-\infty<$ $<\theta<\infty$. Семейство $\left\{S_{\theta}\right\}$ сильно дифференцируемо как функция ө со значениями в банаховом пространстве ядерных операторов $\mathfrak{T}^{1}(\mathscr{K})$, причем имеет место уравнение
\[
\frac{d}{d \theta} S_{\theta}=i\left[A, S_{\theta}\right]
\]

где коммутатор понимается в смысле § II.8.
Это предложение дает строгую версию формального соотношения (III.2.3).

Доказательство. Докажем сначала, что из $A \in$ $\in \mathscr{L} h(S)$ следует $A \in \mathscr{L} h\left(S_{\theta}\right)$. Как было сказано перед формулировкой теоремы Стоуна в § II.4, из того, что $\psi \in \mathscr{V}(A)$, следует $V_{\theta} \psi \in \mathscr{V}(A)$ и $A V_{\theta} \psi=V_{\theta} A \psi$, где $V_{\theta}=e^{A A \theta}$. Поэтому из $\mathscr{D}(A) \supset \mathscr{R}(\sqrt{S})$ следует, что $\mathscr{D}(A) \supset \mathscr{R}\left(V_{\theta} \sqrt{S} V_{\theta}^{*}\right)=\mathscr{R}\left(\sqrt{S_{\theta}}\right)$ и оператор $A \sqrt{S_{\theta}}=$ $=A V_{\theta} \sqrt{S} V_{\theta}^{*}=V_{\theta} A \sqrt{S} V_{\theta}^{*}$ является оператором Гильберта-Шмидта вместе с оператором $A \sqrt{\bar{S}}$. Остается сослаться на предложение II.8.1.
Положим теперь
\[
S_{\theta}=T_{\theta} R_{\theta}
\]

где $T_{\theta}=V_{\theta} \sqrt{S}, R_{\theta}=\sqrt{S} V_{\theta}^{*}$ – операторы ГильбертаШмидта. Покажем, что семейства $\left\{T_{\theta}\right\},\left\{R_{\theta}\right\}$ сильно дифференцируемы как функцни со эначениями в $\mathfrak{F}^{2}(\mathscr{K})$, причем
\[
\frac{d}{d \theta} T_{\theta}=-i A T_{\theta}, \quad \frac{d}{d \theta} R_{\theta}=i R_{\theta} A .
\]

Достаточно рассмотреть семейство $\left\{T_{\theta}\right\}$. Имеем
\[
\left|\frac{T_{\theta+\Delta \theta}-T_{\theta}}{\Delta \theta}+i A T_{\theta} \|_{2}=\right| F_{\Delta \theta}(A) \cdot A T_{\theta} \mathrm{l}_{2},
\]

где функция $F_{\Delta \theta}(x)=(\Delta \theta \cdot x)^{-1}\left(e^{i \Delta \theta \cdot x}-1-i \Delta \theta \cdot x\right)$ обладает свойствами
\[
\begin{aligned}
\left|F_{\Delta \theta}(x)\right| & \leqslant \text { const; } \\
\lim _{\Delta \theta \rightarrow 0} F_{\Delta \theta}(x) & =0, \quad x \in \mathbb{R} .
\end{aligned}
\]

Отсюда вытекает, что
\[
\begin{array}{c}
\left|F_{\Delta \theta}(A)\right|<\text { const; } \\
\lim _{\Delta \theta \rightarrow 0} F_{\Delta \theta}(A) \psi=0, \quad \psi \in \mathscr{K} .
\end{array}
\]

Покажем, что $\mid F_{\Delta \theta}(A) A T_{0} \mathrm{~h} \rightarrow 0$, когда $\Delta \theta \rightarrow 0$.
Заметим, что $Q=A T_{\theta} \in \mathfrak{F}^{2}(\mathscr{K})$, поэтому $Q$ можно аппроксимировать операторами конечного ранга $\tilde{Q}$. Из (3.6) вытекает, что $\mid F_{\Delta \theta}(A) \chi \tilde{z} \|_{i} 0$ при $\Delta \theta \rightarrow 0$. С другой стороны, согласно (II.7.14)

что в силу (3.5) может быть сделано сколь угодно мальм. Это доказывает соотношения (3.4).

Предложение вытекает теперь из следующего простого факта: если $S_{\theta}=T_{\theta} \cdot R_{\theta}$, где $\left\{T_{\theta}\right\},\left\{R_{\theta}\right\}$ сильно дифференцируемы как функции со значениями в $\mathfrak{F}^{2}(\mathscr{K})$, то $\left\{S_{\theta}\right\}$ сильно дифференцируемо как функция со значениями в $\mathfrak{T}^{1}(\mathscr{K})$ и
\[
\frac{d}{d \theta} S_{\theta}=\frac{d T_{\theta}}{d \theta} \cdot R_{\theta}+T_{\theta} \cdot \frac{d R_{\theta}}{d \theta} .
\]

В самом деле,
\[
\frac{S_{\theta+\Delta \theta}-S_{\theta}}{\Delta \theta}=\frac{T_{\theta+\Delta \theta}-T_{\theta}}{\Delta \theta} R_{\theta+\Delta \theta}+T_{\theta} \cdot \frac{R_{\theta+\Delta \theta}-R_{\theta}}{\Delta \theta} .
\]

По доказанному, $\Delta \theta^{-1}\left(T_{\theta+\Delta \theta}-T_{\theta}\right) \rightarrow \frac{d T_{\theta}}{d \theta}, \Delta \theta^{-1}\left(R_{\theta+\Delta \theta}-\right.$ $\left.-R_{\theta}\right) \rightarrow \frac{d R_{\theta}}{d \theta}$ в $\mathfrak{T}^{2}(\mathscr{K})$; семейство $\left\{R_{\theta}\right\}$, будучи дифференцируемым, является непрерывным, так что $R_{\theta}+\Delta \theta \rightarrow R_{\theta}$ в $\mathfrak{F}^{2}(\mathscr{K})$. Дальнейшее вытекает из неравенства (II.7.13), связывающего ядерную норму и норму Гильберта – Шмидта. Предложение доказано.

Предложение 3.2. Пусть инфинитезимальныа оператор А в семействе (3.2) принадлехит $\mathscr{L}_{h}(S)$, а измерение М удовлетворяет условияк 1), 2) из § 2. Тогда имеет место неравенство (3.1).

Доказательство. Если $X$ – ограниченная нәблюдаемая, то из (2.1) и (3.3) следует, что
\[
\frac{d}{d \theta} \mathrm{E}_{\theta}(X)=[A, X]_{s_{\theta}} \text {. }
\]

В частности, полагая $X=M(B)$, получаем
\[
\frac{d}{d \theta} \mu_{\theta}(B)=[A, M(B)]_{\varepsilon_{\theta}}, \quad B \in \operatorname{et}(\theta) .
\]

Используя это соотношение, докажем аналог равенства (3.7) для измерения, удовлетворяющего условиям 1), 2):
\[
\frac{d}{d \theta} \mathrm{E}_{\theta}\{M\}=\left[A, X_{M}\right]_{s_{\theta}},
\]

где $X_{\text {м }}$ определяется в (2.6).
В силу условия 2) $\frac{d}{d \theta} E_{\theta}\{\boldsymbol{M}\}=\int \hat{\theta} \frac{d \mu_{\theta}}{d \theta}(d \hat{\theta})$. Рассуждая как при доказательстве предложения 2.1 , получаем
\[
\int \hat{\theta} \frac{d \mu_{\theta}}{d \hat{\theta}}(d \hat{\theta})=\int \hat{\theta}[A, M(d \hat{\theta})] s_{s_{\theta}}=\left[A, X_{M}\right] s_{\theta},
\]
T. e. (3.8).

Из веравенства (II.9.8) и соотношения неопределенностей (II.9.3) следует
\[
\mathrm{D}_{\theta}\{\boldsymbol{M}\} \mathrm{D}_{\theta}(A) \geqslant \frac{1}{4}\left[\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{M}}, A\right] \boldsymbol{s}_{\theta} .
\]

Подставляя в правую часть (3.8), получаем (3.1).

Заметим теперь, что из (3.3), (3.7) вытекает выполнение для семейства $\left\{S_{\theta}\right\}$ условия 2) из § 3:
\[
\left|\operatorname{Tr} \frac{d}{d \theta} S_{\theta} \cdot X\right|=\left|[A, X] s_{\theta}\right|^{2} \leqslant 4\langle A, A\rangle_{s_{\theta}}\langle X, X\rangle_{S_{\theta}}
\]

в силу предложения II.9.1.
Таким образом, если оператор $A$ в семействе (3.2) квадратично суммируем, а несмещенное измерение $\boldsymbol{M}$ удовлетворяет условиям 1), 2), то для дисперсии измерения справедливы две нижние границы: неравенство (2.9) и неравенство
\[
\mathrm{D}_{\theta}\{M\} \geqslant\left[4 \mathrm{D}_{\theta}(A)\right\}^{-1} .
\]

Для того чтобы сравнить эти границы, найдем связь между симметричной логарифмической производной семейства (3.2) и инфинитезимальным оператором $A$. Сравнивая соотношения (2.2) и (3.3), получаем
\[
S_{\theta} \cdot L_{\theta}=i\left[A, S_{\theta}\right]
\]

или, что равносильно,
\[
\left\langle X, L_{\theta}\right\rangle_{s_{\theta}}=[X, A]_{s_{\theta}}
\]

для любого ограниченного эрмитова $X$. В силу определения коммутационного оператора $\mathfrak{D}_{\theta}$ состояния $S_{\theta}$ (см. § II.10) отсюда следует
\[
L_{\theta}=\mathfrak{D}_{\theta}(A) .
\]

Эта формула дает операторное решение уравнения (2.2) для частного случая семейства вида (3.2). На самом деле $L_{\theta}$ можно записать с помощью коммутационного оператора, отвечающего какому-либо частному значению $\theta$, например $\theta=0$. Из (3.10) и (3 2) вытекает
\[
S \cdot\left(e^{-r A \theta} L_{\theta} e^{A \theta}\right)=i[A, S],
\]

откуда, рассуждая как при выводе (3.11), получаем
\[
L_{\theta}=e^{A A \theta} \mathfrak{D}(A) e^{-t A \theta},
\]

где $\mathfrak{D}$ – коммутационный оператор состояния $S=S_{0}$.
Покажем, что граница (2.9), использующая симметринию логарифмическую производную, всегда не хуэке границы (3.9) и совпадает с ней в случае чистьх состояний. Для этого нам надо доказать, что $\frac{1}{4}-D_{\theta}(A)^{-1} \leqslant D_{\theta}\left(L_{\theta}\right)^{-1}$, причем в случае чистых состояний имеет место знак равенства. Имеем
\[
\mathrm{D}_{\theta}(A)=\langle A-A, A-\bar{A}\rangle_{s_{\theta}}
\]

где $\vec{A}=\mathrm{E}_{\theta}(A)$; используя (3.11), получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{4} \mathfrak{D}_{\theta}\left(L_{\theta}\right)=\frac{1}{4}\left\langle\mathfrak{D}_{\theta}(A), \mathfrak{D}_{\theta}(A)\right\rangle_{s_{\theta}} & \\
=\frac{1}{4}\left\langle\mathfrak{D}_{\theta}(A-\bar{A}), \mathfrak{D}_{\theta}\right. & (A-\bar{A})\rangle_{s_{\theta}}= \\
= & -\frac{1}{4}\left\langle(A-\bar{A}), \mathfrak{D}_{\theta}(A-\bar{A})\right\rangle_{s_{\theta} .}
\end{aligned}
\]

Учитывая тот факт, что $I+\frac{1}{4} \mathfrak{D}
Rightarrow 0$, получаем, что $D_{\theta}(A) \geqslant \frac{1}{4} D_{\theta}\left(L_{\theta}\right)$, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
\[
\left(I+\frac{1}{4} \mathfrak{D}_{\theta}^{2}\right)(A-A)=0 .
\]

Для того чтобы раскрыть смысл этого условия, рассмотрим матричное представление оператора $A \in \mathscr{L}^{2}(S)$, отвечающее спектральному разложению оператора плотности:
\[
S=\left[\begin{array}{cc:c}
s_{1} & 0 & \\
\ddots & 0 \\
0 & s_{1} & \\
\hdashline & 0 & 0
\end{array}\right] .
\]

Согласно (II.10.9) действие оператора $I+\frac{1}{4} \mathfrak{D}^{2}$ задается умножением элемента матрицы в $j$-й строке и $k$-м столбце на $4 s_{j} s_{k}\left(s_{j}+s_{k}\right)^{-1} \quad\left(s_{j}+s_{k}>0\right)$. Поэтому условие $(I+$ $\left.+1 / 4 \mathfrak{D}^{2}\right) \cdot X=0$ равносильно условию $S X S=0$; в частности, (3.12) означает
\[
S A S=A \cdot S^{2} .
\]

Обозначая через $E$ проектор на ортогональное дополнение к нулевому подпространству оператора $S$, получаем
\[
E A E=\bar{A} \cdot E \text {. }
\]

Это означает, что матрица оператора $A$ должна иметь вид
\[
A=\left[\begin{array}{ll:l}
A & & \\
\ddots & 0 & \sim \\
& A & \sim \\
0 & \ddots & \\
\hdashline & \sim & \sim . . .
\end{array}\right],
\]

где значком $\sim$ обозначены блоки, которые могут быть произвольными.

В случае чистого состояния левый верхний блок состоит из одного элемента, так что матрица $A$ всегда имеет требуемую форму, и утверждение доказано.

Отметим, что в примере с гауссовскими состояниями $\left\{S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right\}$ неравенство (3.9) дает вместо (2.11) лишь
\[
D_{\bar{Q}}\{M\} \geqslant\left(2 \sigma_{\bar{P}}\right)^{-2} .
\]

В силу соотношения неопределенностей, $\left(2 \sigma_{P}\right)^{-8}$ не превосходит $\sigma_{Q}^{\circ}$, причем равенство достигается только в случае чистого гауссовского квазиклассического состояния, т. е. для состояния минимальной неопределенности.