В конечномерном пространстве всякий эрмитов оператор $X$ имеет спектральное разложение
\[
X=\sum_{k} \lambda_{k} E_{h}
\]

где $\lambda_{h}$-собственные эначения оператора $X$ (без учета кратности), $E_{k}$ – проекторы на инвариантные подпространства, отвечающие значениям $\lambda_{\lambda}$. Набор проекторов $\left\{E_{k}\right\}$ образует ортогональное разложение единицы, так что
\[
\sum_{k} E_{k}=I, \quad E_{k} E_{j}=0 \text { при } k
eq j .
\]

Бесконечномерный аналог формулы (3.1) имеет место для вполне непрерывных эрмитовых операторов (см. § 7). Однако далеко не всякий ограниченный оператор вполне непрерывен и вообще имеет хотя бы один собственный вектор. Примером может служить оператор умножения на независимую переменную $x$ в пространстве $\mathscr{L}^{\mathscr{1}}(a, b)$, где $(a, b)$-ограниченный интервал на прямой. Уравнение
\[
x \psi(x)=\xi \psi(x)
\]

имеет континуальный набор формальных решений
\[
\psi_{\xi}(x) \sim \delta(x-\xi) ; \quad a<\xi<b,
\]

однако им не соответствукт ненулевые векторы в $\mathscr{L}^{2}(a, b)$.

Тем не менее всякий эрмитов оператор в гильбертовом пространстве имеет спектральное разложение, в котором появляется уже непрерывный аналог суммы (3.1). Чтобы пояснить переход от суммы к интегралу, введем ортогональное разложение единицы на прямой, полагая
\[
E(B)=\sum_{k: \lambda_{k} \in B} E_{k}, \quad B \in \operatorname{et}(\mathrm{R})
\]
(еt (R)- $\sigma$-алгебра борелевских множеств *) в $\mathbb{R}$ ), или, формально,
\[
E(d \lambda)=\left[\sum_{k} \delta\left(\lambda-\lambda_{k}\right) E_{k}\right] d \lambda .
\]

Тогда соотношение (3.1) можно записать в виде
\[
X=\int \lambda E(d \lambda) .
\]

Пусть теперь $E$ ( $d \lambda$ ) – произвольное ортогональное разложение единицы в $\mathscr{C}$. Предположим, что оно сосредоточено на ограниченном множестве $\Lambda \subset \mathbb{R}$, т. е. $E(\Lambda)=1$. Тогда для любого $\psi \in \mathscr{K}$ носителем вероятностной меры $\mu_{\psi}(d \lambda)=\operatorname{Tr} S_{\psi} E(d \lambda)=(\psi \mid E(d \lambda) \psi)$ будет ограниченное множество $\Lambda$, и поэтому интеграл
\[
\int \lambda(\psi \mid E(d \lambda) \psi)=\int \lambda \mu_{\psi}(d \lambda)
\]

сходится. Этот интеграл определяет непрерывную эрмитову форму на $\mathscr{K}$, которой соответствует эрмитов оператор $X$, так что
\[
(\psi \mid X \psi)=\int \lambda(\psi \mid E(d \lambda) \psi), \quad \psi \in \mathscr{K} .
\]

Таким образом, имеет место равенство (3.6), где интеграл понимается в смысле слабой сходимости. (Более детальный анализ показывает, что интеграл (3.6) сходится также в сильном смысле.)

Теорема 3.1 (спектральная теорема для ограниченных операторов). Соотношение (3.6) устанавливает взаимнооднозначное соотөетствие мелду эрмитовьми оператов $\mathscr{C}$, сосредоточенными на ограниченных подмномсествах $\mathbb{R}$.
*) $\sigma$-алгебра борелевских миожеств-это намменьшая $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые множества,
Разложение единицы $E(d \lambda)$ называется также спектральной мерой оператора $X$.

Вернемся на время к операторам, отвечающим конечным разложениям единицы (3.5). Из (3.2) вытекает, чіо для любого многочлена $p(\lambda)$
\[
p(X)=\sum_{k} p\left(\lambda_{k}\right) E_{k}=\int p(\lambda) E(d \lambda) .
\]

Аппроксимируя в общем случае интегралы суммами, можно показать, что для произвольного эрмитова оператора $X$ выполняется
\[
p(X)=\int p(\lambda) E(d \lambda) .
\]

Пользуясь этим, определим эрмитов оператор $f(X)$, где $f$-ограниченная измеримая функция, соотношением
\[
(\psi \mid f(X) \psi)=\int f(\lambda)(\psi \mid E\langle d \lambda) \psi) ; \quad \psi \in \mathscr{H} .
\]

Отображение $f \rightarrow f(X)$ сохраняет алгебраические функциональные соотношения: линейная комбинация и произведение функций переходят соответственно в линейную комбинацию и произведение соответствующих операторов. Обозначая $1_{B}(\lambda)$ индикатор множества $B \in$ ef $(R)$, имеем
\[
E(B)=1_{B}(X) .
\]

Отображение $f \rightarrow f(X)$ сохраняет также отношения упорядоченности. Например, полагая
\[
|X|=\int|\lambda| E(d \lambda),
\]

имеем $\pm X \leqslant|X|$, так как $\pm x \leqslant|x|$ для всех $x \in R$. Из равенства

вытекает, что
\[
X^{2}=\int \lambda^{2} E(d \lambda)
\]
\[
|X \psi|^{2}=\int \lambda^{2}(\psi \mid E(d \lambda) \Psi) .
\]

В качестве примера рассмотрим оператор $Q$ умножения на независимую переменную $x$ в пространстве $\mathscr{L}^{2}(a, b)$, где $(a, b)$ – ограниченный интервал. Имеем
\[
Q=\int_{a}^{b} \xi E(d \xi)
\]

где $E(B)=1_{B}(x)$. В самом деле, (3.10) означает, что
\[
(\psi \mid Q \psi)=\int_{a}^{b} \xi \mu_{\psi}(d \xi)
\]

где $\mu_{\psi}(B)=(\psi \mid E(B) \psi)=\int_{a}^{b} 1_{B}(x):\left.\psi(x)\right|^{2} d x=\left.\int_{B} \psi(x)\right|^{2} d x$, так что $\mu_{\phi}(d \xi)=|\psi(\xi)|^{2} d_{\xi}^{a}$ и равенство (3.10) очевидно. Таким образом, спектральной мерой оператора умножения на $\boldsymbol{x}$ является семейство проекторов $\left\{\mathbf{1}_{B}(x) ; B \in\right.$ $\in$ et $((a, b))\}$.

Оператор умножения является типичным примером оператора с непрерывным спектром. Как мы вндели, он не имеет собственных векторов в $\mathscr{L}^{2}(a, b)$, хотя уравнение (3.3) имеет интуитивно понятные формальные решения (3.4). В этой связи уместно сказать несколько слов о формализме Дирака применительно к операторам с непрерывным спектром. Следуя Дираку, обозначим через [६) формальную собственную функцию (3.4). Набор $\{\xi) ; \xi \in(a, b)\}$ является кортонормированным в том смысле, что
\[
\left(\xi^{\prime} \mid \xi\right)=\boldsymbol{\delta}\left(\xi-\xi^{\prime}\right),
\]

и удовлетворяет формальному условию полноты
\[
\left.\int_{a}^{b} \mid \xi\right)(\xi \mid d \xi=1 .
\]

На самом деле (3.12) является сокращенной формой записи равенства
\[
\int_{a}^{b}(\psi \mid \xi)(\xi \mid \psi) d \xi=(\psi \mid \psi), \quad \psi \in \mathscr{K},
\]

которое становится осмысленным, если понимать символ $(\xi ; \psi)$ как
\[
(\xi \mid \psi)=\int_{a}^{b} \delta(x-\xi) \psi(x) d x=\psi(\xi) .
\]

Таким образом, семейство $\{(\xi)\}$ является формальным континуальным аналогом ортонормированного базиса, а соотношение (3.12) является непрерывным аналогом условия полноты (1.11). Спектральное разложение оператора умножения на $x$ в дираковских обозначениях имеет вид
\[
\left.Q=\int_{a}^{b} \xi \mid \xi\right)(\xi \mid d \xi
\]

и выглядит как непосредственный континуальный аналог спектрального разложения с дискретным спектром. Фактически (3.14) означает, что
\[
(\psi \mid Q \psi)=\int_{a}^{b} \xi(\psi \mid \xi)(\xi \mid \psi) d \xi, \quad \psi \in \mathscr{C},
\]

а это то же самое, что (3.11). Таким образом, мы получаем связь между (3.10) и (3.14), полагая
\[
E(d \xi)=\mid \xi)(\xi \mid d \xi \text {. }
\]

Конечно, это соотношение нельзя понимать буквально, ференцируемой (не имеет плотности) относительно меры Лебега $d \xi$. Однако скалярные меры $\mu_{\phi}(d \xi)=(\psi \mid E(d \xi) \psi)$ уже дифференцируемы относительно $d \xi$, причем
\[
\mu_{\psi}(d \xi)=|\Psi(\xi)|^{2} d \xi=(\psi \mid \xi)(\xi \mid \psi) d \xi .
\]

Наглядность формализма Дирака дает определенные методические преимущества в иэложении квантовой теории. По существу можно пользоваться этим формализмом в тех рамках, в которых он эквивалентен спектральному разложению.