Мы переходим к рассмотрению специфики статистического описания квантовомеханических объектов, обусловленной той исключнтельной ролью, которую играет в нем наличие пространственно-временио́ структуры. Обратимся сначала к классической механике. Фундаментальный принцип относительности Галилея гласит, что законы механики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Всякая система отсчета состоит из декартовой прямоугольной системы координат и часов, осуществляющих отсчет времени. Если ( $\xi, \tau$ )-координаты материальной точки в фиксированной инерциальной системе отсчета, то переход к другой инерциальной системе отсчета описывается преобравованием Галилея
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=R \xi+x+\tau, \\
\tau^{\prime}=\tau+t,
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{R}$-ортоговальная матрица (вращение), задающая положение осей новой декартовой системы координат относительно старон, $\boldsymbol{x}$ – вектор пространственного сдвига начала координат, $v$-вектор скорости, с которой двнжется старая система координат относительно новой, а $t$-разность хода часов в старой и новой системах отсчета. Совокупность всех преобразований вида (1.1) образует полную галилееву груплу; она содержит подгруппу кинематических (одновременні́х) преобразований
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=R_{\xi}+x+\tau \tau, \\
\tau^{\prime}=\tau,
\end{array}
\]

и евкиндов подеруппу пространственных преобразований (авижений)
\[
\boldsymbol{\xi}^{\prime}=\boldsymbol{R}^{\xi}+\boldsymbol{x} .
\]
Математическая формулировка принципа относительности в классической механике состоит в том, что уравнения механики должны быть инвариантны при заменах переменных вида (1.1), описывающих переход от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это требование относится, конечно, к изолированному объекту; если же рассматривается движение в поле внешних сил, то этот принцип следует заменить ограниченным принципом инвариантности, учитывающим степень симметрии внешнего поля. Так, уравнения движения в потенциальном поле, не зависящем от времени, должны быть инвариантны относительно преобразований
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=\xi+\boldsymbol{\tau} \tau \\
\tau^{\prime}=\tau+t ;
\end{array}
\]

если же поле, например, изотропно, то сюда следует присоединить повороты $\xi^{\prime}=R \xi$ и т. п.

Переходя к квантовой механике, примем, что принцип равноправия инерциальных систем отсчета сохраняет свою справедливость и для микрообъектов. Однако мы не можем взять точную формулировку принципа относительимеют непосредственный смысл как пространственно-временные координаты материальной точки; в ситуации, описываемой квантовой теорией, непосредственно данными можно считать статистические результаты экспериментов над рассматриваемым микрообъектом. С этой точки зрения подходящей словесной формулировкой принципа относительности представляется следующая: статистика результатов любого эксперимента не зависит от вьбора икерциальной системь отсчета, в которой проводится эксперимент.

Дадим математическую формулировку принципа относительности. Предположим, что состояние квантового объекта приготовляется некоторой установкой, с которой связана система отсчета ( $\xi, \tau$ ) (рис. 7). После приготовления состояния $S$ проводится измерение $M$, так что конечным результатом эксперимента является распределение вероятностей $\mu_{S}^{M}$. Измерение осуществляется прибором, имеющим определенную ориентацию в пространстве-времени. Будем считать, что с ним также связана система отсчета ( $\tilde{\xi}, \tilde{\tau}$ ).

Предположим теперь, что положение и установки, и прибора изменяется одинаковым образом, так что связанные с ними системы отсчета подвергаются одному и тому же галилееву преобразованию g. Приготовление состояния $S$ данной установкой с последующим преобразованием $g$ положения установки можно рассматривать как некоторый новый способ приготовления $g S$; аналогично, измерение $M$, проведенное после преобразования $g$, можно
Рис. 7.

рассматривать как некоторое вовое измерение $\boldsymbol{g}$. Однако, поскольку относительное положение прибора и установки не изменяется, должно быть
\[
\mu_{\mathrm{ES}}^{\mathrm{EM}}=\mu_{S}^{M}
\]

для любого состояния $S$ घ измерения $M$. Из равноправности всех систем отсчета следует также, что отображение $S \rightarrow g S$ (соответственно $M \rightarrow g M$ ) должно быть взаимнооднозначным отображением множества состояний (соответственно измерений) на себя. Отсюда вытекает, что отображение $S \rightarrow g S$ является аффинным: пусть $S=\sum_{i} p_{j} S_{j}$; тогда
\[
\mu_{g S}^{g M}=\mu_{s}^{M}=\sum_{j} p_{f} \mu_{s_{j}}^{M}=\sum_{j} p_{j} \mu_{2 s_{j}}^{E M} .
\]

Поскольку gM пробегает всевозможние измерения, то, в силу отделимости рассматриваемой статистической модели, это означает, qто
\[
g S=\sum_{j} p_{i}\left(g S_{j}\right)
\]
т. е. аффинность отображения $S \rightarrow g S$. Взаимно-однозначное аффинное отображение множества состояний на себя называется автоморфизмом. Примем также, что последовательное применение двух преобразований $g_{1}, g_{2}$ положения установки или прибора эквивалентно преобразованию $g_{1} g_{2}$, так что
\[
\begin{array}{c}
g_{1}\left(g_{2} S\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) S, \\
g_{1}\left(g_{2} M\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) M .
\end{array}
\]

Это означает, что заданы действия группы $G=\{g\}$, с одной стороны, как группы автоморфизмов $S \rightarrow g S$ множества состояний $\mathscr{O}$ и, с другой стороны, как группы взаимнооднозначных преобразований $\boldsymbol{M} \rightarrow g M$ множества измерений $\mathfrak{M}$, причем действия этих групп связаны условием (1.3). В этом и состоит математическая формулировка пр и нципа относительности. В рассматриваемой нами нерелятивистской квантовой механике под группой $G$ подразумевается галилеева группа, а ( $\mathcal{S}, \mathfrak{M}$ ) является статистической моделью квантовой теории.

Заметим, однако, что все эти рассуждения применимы и к любой другой группе симметрий $G$. Кроме того, мы пока не использовали специфику модели квантовой теории. Следующий результат, принадлежащий Вигнеру, раскрывает структуру автоморфизмов множества квавтовых состояний.

Теорема 1.1. Всякий автоморфиям множества квантовьх состояний $\mathcal{S}(\mathscr{K})$ имеет вид
\[
S \rightarrow V S V^{*}
\]

где $V$ – унитарный или антиунитарный оператор в гильбертовом пространстве $\mathscr{K}$.
(Оператор $V$, отображающий $\mathscr{K}$ на $\mathscr{K}$, называется антиунитарньм, если он антилинеен: $V(\lambda \varphi+\mu \psi)=\Sigma . V \varphi+$ $+\bar{\mu} V \psi$ и удовлетворяет условию ( $V \varphi \mid V \psi)=(\varphi \mid \psi)$.)

Важно отметить, что оператор $V$ определяется в (1.5) неоднозначно: $V$ можно умножить на произвольное комплексное число, равное по модулю единице, не изменив состояния $\tilde{S}=V S V^{*}$. Рассмотрим произвольную группу симметрий $G$ (ею может быть галилеева, евклидова или какая-либо другая группа). Из (1.4) тогда вытекает, что для любого состояния $S$

пРинцИп относительности
$\mathbf{I I I}$
где $V_{g} S V_{g}^{*}=g \mathcal{S}$, откуда
\[
V_{\mathrm{g}_{2}} V_{\mathrm{g}_{1}}=\omega\left(g_{2}, g_{1}\right) V_{\mathrm{B}_{2} \mathrm{~g}_{1}} ; \quad\left|\omega\left(g_{2}, g_{1}\right)\right|=1 .
\]

Рассматриваемые нами группы являются не прерыв ными: в них естественно определяются понятия близости и сходимости. Практически ве ограничивая общности, можно считать, что отображение $g \rightarrow V_{g}$ непрерывно в том смысле, что $\left(\varphi \mid V_{g} \psi\right) \rightarrow\left(\varphi \mid V_{g} \psi\right)$ при $g^{\prime} \rightarrow g$ для всех $\varphi$, $\psi \in \mathscr{K}$. Будет считать также, что $V_{e}$, где $e$-единица группы $G$, всегда выбирается так, что $V_{e}^{e}=1$. Кроме того, предположим, что группа является с в я зной, т. е. любые два ее элемента можно соединить непрерывной кривой. Тогда ни один из операторов $V_{g}$ не может быть антиунитарным – в противном случєе можно было бы перейти непрерывным образом от линейного оператора $V_{e}=I$ к антилинейному оператору $V_{g}$. Итак, в предположении связности группы $G$, все операторы $\left\{V_{g}\right\}$ являются унитарными.

Семейство унитарных операторов $g \rightarrow V_{g} ; g \in G$, в некотором гильбертовом пространстве $\mathscr{K}$, удовлетворяющее условию (1.6), называется проективным (унитарным) представлением груплы $G$ в $\mathscr{K}$. Если $\omega \equiv 1$, то оно называется просто унитарным. Мы будем рассматривать только непрерывные в указанном выше смысле представления.

Одной из основных задач теории представлений является классификация представлений данной группы. Из сказанного выше видно, что, имея такую классификацию для некоторой группы симметрий $G$, мы можем описать все теоретически возможные квантовые объекты с данным типом симметрии. Особую роль играют неприводимье представления $g \rightarrow V_{g}$, для которых в пространстве $\mathscr{K}$ не существует нетривиального (замкнутого) подпространства, инвариантного относительно всех операторов $V_{g}$. Неприводимые представления являются в этом смысле минимальными, и при определенных условиях регулярности всякое представление может быть разложено в дискретную или непрерывную сумму (интеграл) неприводимых представлений. Условимся считать, что неприводимое (т. е. неразложимое) представление описывает кэлементарный объект с данным типом симметрии. Очевидно, что здесь решающую роль играет определение фундаментальной группы симметрий, которая включает в себя все физически значимые симметрии. Если в нерелятивистской квантовой механике эту роль играет полная галилеева группа, то в релятивистской ее заменяет группа Пуанкаре. Большое место занимают группы симметрий в попытках классификации элементарных частиц *).

Уравнения для свободных частиц в квантовой механике представляют собой по существу удобный способ описания неприводимых представлений соответствующих групп. Последовательный вывод квантовой динамики, основывающийся на принципе галилеевой относительности, представляет большой методический интерес, однако он требует привлечения ряда результатов теории проективных представлений, которые выходят за рамки настоящей книги. Ограничиваясь достаточно элементарными средствами, мы рассмотрим подробно лишь простейший случай нерелятивистской частицы в одном измерении, чтобы показать, каким образом соображения симметрии позволяют связать с механическими параметрами, такими как координата, скорость, время, энергия, те или иные квантово-теоретические иямерения, т. е. разложения единицы в гильбертовом пространстве представления.