В предыдущем параграфе мы видели, что неортогональное разложение единицы $\{M(B)\}$ в $\mathscr{K}$ может возникать как ограничение ортогонального разложения $\{E(B)\}$ в некотором более широком пространстве $\tilde{\mathscr{H}}$ :
\[
M(B)=\tilde{E} E(B) \tilde{E} ; \quad B \in \operatorname{ot}(U),
\]

где $\tilde{E}$ – проектор из $\tilde{\mathscr{K}}$ на $\mathscr{\mathscr { H }}$. Легко понять, что, проецируя таким образом любое, в частности, ортогональное разложение единицы, мы всегда получим некоторое разложение единицы в $\mathscr{K}$. Қак показал Наймарк, верно и обратное утверждение.

Теорема 5.1. Всякое раяложение единицы $\{M(B)\}$ в $\mathscr{K}$ момет быть продолосено до ортогонального раялоэсения едикичы $\{E(B)\}$ в более широком пространстве $\tilde{\mathscr{F}}$, так ито будет выиолняться (5.1).

Основываясь на этом результате, мы покажем, что произвольное квантовое измерение $\boldsymbol{M}$ в определенном смысле сводится к простому измерению $\boldsymbol{E}$ над некоторой квантовой системой, включающей кроме исходного объекта некоторые дополнительные независимые «степени свободы».

Для этого нам понадобится понятие тензорного произведения гильбертовых пространств, служащее для математического описания системы квантовых объектов.

Пусть $\mathscr{\mathscr { H }}_{1}, \mathscr{\mathscr { K }}_{2}$ – гильбертовы пространства со скалярными произведениями $(\cdot \mid \cdot)_{1}$ и $(\cdot \mid \cdot)_{2}$ соответственно. Рассмотрим множество $\mathscr{L}$ формальных конечных линейных комбинаций элементов $\psi_{1} \times \psi_{2} \in \mathscr{K}_{1} \times \mathscr{K}_{2}$. Введем в линейном пространстве $\mathscr{L}$ положительно определенную эрмитову форму (.|.), полагая
\[
\left(\varphi_{1} \times \varphi_{2} \mid \psi_{1} \times \psi_{2}\right)=\left(\varphi_{1} \mid \psi_{1}\right)_{1} \cdot\left(\varphi_{2} \mid \psi_{2}\right)_{2}
\]

и продолжая ее на $\mathscr{L}$ по линейности. Пусть $\mathscr{r}$ – нулевое подпространство этой формы; тогда фактор-пространство $\mathscr{L} / \boldsymbol{\alpha}$ является предгильбертовым пространством со скалярным произведением, определяемым формой (5.2). Пополнение $\mathscr{L} / \mathscr{C}$ и называется текзорным произедением гильбертовых пространств $\mathscr{K}_{1}, \mathscr{H}_{2}$ и обозначается $\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{K}$. Вектор пространства $\mathscr{K}_{1}^{2} \otimes \mathscr{H}_{2}$, соответствующий классу эквивалентности вектора $\psi_{1} \times \psi_{2} \in \mathscr{L}$, обозначается $\psi_{1} \otimes \psi_{2}$. Из (5.2) следует, что
\[
\left(\varphi_{1} \otimes \varphi_{2} \mid \psi_{1} \otimes \psi_{2}\right)=\left(\varphi_{1} \mid \psi_{1}\right)_{1} \cdot\left(\varphi_{2} \mid \psi_{2}\right)_{2} .
\]

Хорошую иллюстрацию этой абстрактной конструкции дает следующий пример. Пусть $\mathscr{K}_{1}=\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ – пространство квадратично-интегрируемых функций $\psi_{1}(x), x \in \mathbb{R}^{n}$, и $\mathscr{K}_{9}=\mathscr{L}^{3}\left(\mathbb{R}^{m}\right)$ – пространство квадратично-интегрируемых функций $\psi_{2}(y), y \in R^{m}$. Тогда $\mathscr{L} / \circ \mathscr{C}$ состоит из конечных сумм вида
\[
\psi(x, y)=\sum_{i} \psi_{i}^{\prime}(x) \psi_{i}^{\prime}(y),
\]

причем
\[
(\varphi \mid \Psi)=\iint \overline{\varphi(x, y)} \Psi(x, y) d^{n} x d^{m} y,
\]

а $\mathscr{K}, \otimes \mathscr{K _ { 2 }}$ состонт из всех квадратично интегрируемых фувкций $\varphi(x, y) ; x \in R^{n}, y \in \mathbb{R}^{m}$, с тем же скалярным произведением. Вектор $\psi_{1} \otimes \psi_{2}$ соответствует функции $\Psi_{1}(x) \psi_{2}(y)$.

Вернемся к общему случаю. Если $\left\{e_{1}^{\prime}\right\}$-базис в $\mathscr{H}_{1}$, a $\left\{e_{3}^{k}\right\}$ – базис в $\mathscr{H}_{2}$, то система $\left\{e_{1}^{J} \otimes e_{1}^{k}\right\}$ образует базис в $\mathscr{K}_{1} \otimes \mathscr{K}_{2}$ (имеются в виду ортонормированные базисы). Рассмотрим элемент $\varphi=\sum_{j} \varphi_{1}^{\prime} \otimes \varphi_{3}^{\prime} \in \mathscr{K}_{1} \otimes \mathscr{K}_{2}$. Разлагая $\varphi_{9}^{\prime}$ по базису $\left\{e_{q}^{k}\right\}$ и оъединяя множители при каждом векторе $e_{2}^{k}$, получим $\varphi=\sum_{k} \psi_{1}^{k} \otimes e_{q}^{k}$, где $\psi_{1}^{k}$ – некоторые одноэначно определяемые векторы пространства $\mathscr{K}_{1}$. Заметим, что подпространства $\mathscr{H}_{1} \otimes e_{3}^{k} \subset \mathscr{K}_{1} \otimes \mathscr{K}_{2}$, состоящие из векторов внда $\Psi_{1} \otimes e_{7}^{k} ; \psi_{1} \in \mathscr{K}_{1}$, взаимноортогональны. Таким образом, фиксируя базис в $\mathscr{K}_{2}$, мы получаем разложение $\mathscr{K}_{1} \otimes \mathscr{K}_{2}$ в ортогональную сумму подпространств, изоморфных $\mathscr{C}_{1}:$
\[
\mathscr{K}_{1} \otimes \mathscr{K}_{2}=\sum_{k} \oplus\left[\mathscr{K}_{1} \otimes e_{3}^{k}\right] .
\]

Тензорное произведение операторов $X_{1} \otimes X_{2}$, где $X_{1}-$ ограниченный оператор в $\mathscr{K}_{1}$, определяется формулой
\[
\left(X_{1} \otimes X_{2}\right)\left(\psi_{1} \otimes \psi_{2}\right)=X_{1} \psi_{1} \otimes X_{2} \psi_{2}
\]
на элементах вида $\psi_{1} \otimes \psi_{2}$ и однозначно продолжается на $\mathscr{K}_{1} \otimes \mathscr{K}$, по линейности и непрерывности.

Рассмотрим фиксированное разложение (5.4). Тогда всякий ограниченный оператор $X$ в $\mathscr{K}_{1} \otimes \mathscr{K}_{2}$ задается блочной матрицей $\left[X_{f h}\right]$, элементами которой являются операторы в $\mathscr{K}_{1}$, по фориуле
\[
X\left(\sum_{k} \psi_{1}^{k} \otimes e_{i}^{k}\right)=\sum_{i}\left(\sum_{k} X_{j k} \psi_{1}^{k}\right) \otimes e_{3}^{j} .
\]

В частности, оператору $X_{1} \otimes X_{2}$ соответствует матрица $\left[X_{1}\left(e_{8}^{J} \mid X_{2} e_{2}^{k}\right)_{2}\right]$.

Предложение 5.1. Дая любого измерения $\boldsymbol{M}=$ $=\{M(B)\}$ в $\mathscr{K}$ найдутся аильбертово пространство $\mathscr{K}_{0}$, чистое состояние $S_{0}$ в $\mathscr{K}$, и простое измерение $E=\{E(B)\}$ в $\mathscr{K} \otimes \mathscr{K}_{0}$ maкue, umo
\[
\mu_{S \otimes S_{0}}^{E}(B)=\mu_{S}^{M}(B), \quad B \in \operatorname{ct}(U),
\]

для любого состояния $S$ в $\mathscr{K}$.
Здесь $\mu_{S \otimes S_{0}}^{E}$ – распределение вероятностей измерения $\boldsymbol{E}$ относительно состояния $S \otimes S_{0}$, а $\mu_{S}^{M}$ – распределение вероятностей измерения $M$ относительно состояния $S$.

Доказательство. Пусть $\boldsymbol{E}$ – ортогональное разложение единицы в $\mathscr{Z}$, существование которого утверждается в теореме 5.1. Расширяя дополнительно, если необходимо, пространство $\mathscr{\mathscr { C }}$ и продолжая $\boldsymbol{E}$, мы можем считать, что $\mathscr{K}=\mathscr{K} \oplus \mathscr{K} \oplus \ldots$ причем так, что $\mathscr{K}=$ $=\mathscr{K} \oplus[0] \oplus[0] \oplus \ldots$ Тогда $\mathscr{K}=\mathscr{K} \otimes \mathscr{K}_{0}$, где $\mathscr{H}_{0}=$ $=l^{2}$ – пространство квадратично-суммируемых последовательностей $\left\{c_{j} ; j=1,2, \ldots\right\}$. Пусть $S_{0}=S_{\psi}$, где $\psi=\{1$, $0,0, \ldots\}$; тогда оператор $S \otimes S_{0}$ имеет матрицу
\[
\left[\begin{array}{ccc}
s & 0 & \ldots \\
0 & 0 & \ldots \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots
\end{array}\right]
\]

и непосредственно очевидно, что для любого ограниченного оператора $E$ в $\mathscr{K} \otimes \mathscr{C _ { 0 }}$ выполняется $\operatorname{Tr}\left(S \otimes S_{\psi}\right) E=$ $=\operatorname{Tr} S \tilde{E} E \tilde{E}$. Учитывая (5.1), получаем (5.5).

Это предложение утверждает, что измерения $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{M}$ статистически эквивалентны в том смысле, что имекот одинаковые распределения вероятностей результатов для любого состояния $S$.

Мы будем называть тройку ( $\mathscr{K}_{0}, S, E$ ) реализацией измерения $M$. Реализация соответствует простому измерению над системой $\mathscr{K} \otimes \mathscr{K}_{0}$, состоящей из исходной системы $\mathscr{H}$ и вспомогательных независимых кстепеней свободы» $\mathscr{K}_{0}$ в фиксированном состоянии $S_{0}$. В классической статистике это соответствует рандомизированной процедуре, в которой вспомогательная система может рассматриваться как ерулетка», выдающая случайные числа в соответствии с законом распределения $S_{0}$. Роль $\mathscr{H}_{\text {。 }}$ в квантовом случае будет более ясной в дальнейшем, когда мы рассмотрим некоторые примеры (см. § III.7).