Здесь обсуждается вопрос: может ли классическое описание воспроизводить временные свойства, к которым относят а) квантовую динамику, определяемую уравнением Шредингера и б) скачкообразные изменения квантового состояния (редукции) в результате последовательных измерений?

Квантовая динамика уединенной системы переводится на язык классического описания, предложенного в предыдущем параграфе, без особых затруднений. Комплексный единичный вектор $\psi$ определяет координаты $\left[\psi_{j}, \bar{\psi}_{j}\right]$ на множестве чистых состояний $\Omega^{\prime}$, а уравнение Шредингера $\frac{d \psi}{d t}=$ $=-i \mathbf{H} \psi$ с гамильтонианом $\mathbf{H}$ порождает поток $\left\{T_{t}^{\prime}\right\}$ на $\Omega^{\prime}$, который в координатах $\left[\psi_{i}, \bar{\psi}_{j}\right]$ описывается классической гамильтоновой системой (в комплексной форме)
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \psi_{j}}{d t}=-i \frac{\partial}{\partial \bar{\psi}_{j}} \Gamma(\psi, \bar{\psi}) \\
\frac{d \bar{\psi}_{j}}{d t}=i \frac{\partial}{\partial \psi_{j}} \Gamma(\psi, \bar{\psi}), \quad j=1, \ldots, n,
\end{array}
\]

с функцией Гамильтона $\Gamma(\psi, \bar{\psi})=(\psi \mid \mathbf{H} \psi)$. Полагая $T_{t}^{\prime \prime} \omega^{\prime \prime}=\omega^{\prime \prime}$, получаем поток $T_{t}=T_{t}^{\prime} \times T_{t}^{\prime \prime}$ на фазовом пространстве $\Omega=\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$, определяющий динамику соответствующей классической системы.

Сложнее обстоит делом с последовательными измерениями и редукциями. Настоящая модель со скрытыми параметрами должна была бы полностью свести измерения к наблюдениям и тем самым разрешить так называемую «проблему измерения», составляющую еще одну тайну оснований квантовой механики. Этой проблеме уделялось много внимания в физической и философской литературе (см., например, [3], [12], [16], [19], [25], [33]), и нижеследующие замечания являются, конечно, очень краткими и неполными.

Сначала дадим описание результатов последовательных измерений в квантовой механике. Пусть над квантовой системой и состоянии $\widehat{S}$ производится сначала измерение $\widehat{E}=\left\{\widehat{E}_{i}\right\}$, а затем измерение $\widehat{F}=\left\{\widehat{F}_{j}\right\}$. Каково будет, совместное распределение исходов этих двух измерений? Формула (8), относящаяся к единичному измерению, не может дать ответа на этот вопрос в общем случае, и здесь требуется дополнительное предположение. Гипотеза воспроизводимости фон Неймана [3] приводит к следующей формуле для распределения вероятностей двух последовательно проведенных измерений
\[
\mu_{\widehat{S}}^{\widehat{E}, \widehat{F}}(i, j)=\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}_{i} \widehat{F}_{j} \widehat{E}_{i} .
\]

Если $\widehat{E}$ и $\widehat{F}$ – совместимые измерения, то эти величины не зависят от порядка проведения измерений и равны вероятностям совместного измерения $\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}_{i} \widehat{F}_{j}$. Если $\widehat{E}=\widehat{F}$, то $\mu_{\widehat{S}}^{\widehat{E}, \widehat{F}}(i, j)=\delta_{i j} \mu_{\widehat{S}}^{\widehat{E}}(i)$, что и объясняет название «гипотеза воспроизводимости». В общем случае несовместимых измерений $\mu_{\widehat{S}}^{\widehat{E}, \widehat{F}}
eq \mu_{\widehat{S}}^{\widehat{F}, \widehat{E}}$, что отражает невозможность придать объективное значение совместному распределению исходов двух измерений. Отметим также, что для фиксированной наблюдаемой $\widehat{X}$ распределение (16) зависит, вообще говоря, от выбора измерения $\widehat{E}$, отвечающего этой наблюдаемой.

Формула (16) непосредственно обобщается на любое число последовательных измерений. Например, для трех измерений $\widehat{E}, \widehat{F}, \widehat{G}$
\[
\mu_{\widehat{S}}^{\widehat{E}, \widehat{F}, \widehat{G}}(i, j, k)=\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}_{i} \widehat{F}_{j} \widehat{G}_{k} \widehat{F}_{j} \widehat{E}_{i} .
\]

Неопубликованные аргументы фон Неймана, о которых говорится в упоминавшемся уже замечании Вигнера, относятся как раз к возможностям воспроизведения результатов последовательных измерений. В этом замечании речь идет о частице со спином $1 / 2$, которая описывается двумерным пространством $\mathrm{H}$, а компоненты спина частицы в различных направлениях – некоммутирующими $2 \times 2$-матрицами (см. следующий параграф).
«Возражая против введения скрытых параметров, фон Нейман часто приводил в качестве примера измерение компонент спина в различных направлениях частицы со спином $1 / 2$. Ясно, что с помощью скрытых параметров нетрудно предсказать вероятности двух возможных исходов каждого такого измерения. Однако, по мнению фон Неймана, этого нельзя сделать, если речь идет о большом числе последовательных измерений компонент спина в различных направлениях. Результат первого из таких измерений ограничивает интервал значений, которые могли принимать скрытые параметры до того, как оно было проведено. Вследствие этого ограничения распределение вероятностей значений скрытых параметров, характеризующих спин, для частиц с положительным результатом измерения будет отличаться от аналогичного распределения значений для частиц с отрицательным результатом измерения. Для тех частиц, для которых второе измерение компоненты спина по некоторому (отличному от первого) направлению также приводит к положительному результату, интервал допустимых значений уменьшается еще сильнее. Большое число последовательных измерений позволит отобрать частицы со столь близкими значениями скрытых параметров, что компонента спина в любом направлении с большой вероятностью будет отлична от нуля и иметь определенный знак. Согласно квантовой теории такое состояние невозможно, и мы приходим к противоречию. Шредингер возразил против приведенного только что рассуждения, заметив, что измерение компоненты спина в одном направлении, хотя и может налагать определенные ограничения на область допустимых значений какой-то части скрытых параметров, одновременно вполне может восстанавливать случайное распределение значений остальных скрытых параметров. У автора настоящей статьи [Вигнера] сложилось впечатление, что фон Нейман не считал возражение Шредингера убедительным. По мнению фон Неймана, в возражении Шредингера неявно содержится предположение о скрытых параметрах измерительного прибора. В качестве контрпримера, наглядно демонстрирующего всю несостоятельность точки зрения Шредингера, фон Нейман предложил рассмогреть два прибора со взаимно перпендикулярными магнитными полями и последовательность измерений, производимых то одним, то другим прибором. В конце концов в результате многочисленных последовательных измерений компонент спина в направлениях, задаваемых магнитными полями приборов, мы сможем фиксировать даже скрытые параметры обоих приборов и, следовательно, всей системы. Это наглядное опровержение фон Нейманом возражения Шредингера так и не было опубликовано».

Обсудим, как должно меняться состояние в модели со скрытыми параметрами из § 2 , чтобы обеспечить воспроизведение результатов последовательных измерений. Для простоты ограничимся чистыми состояниями и максимальными
измерениями. Если в квантовом состоянии $\omega^{\prime}$ производится измерение $\widehat{E}$, а затем измерение $\widehat{F}$, то согласно (16) вероятность получить исход ( $i, j$ ) равна
\[
\mu_{\omega^{\prime}}^{\widehat{E}, \widehat{F}}(i, j)=\left|\left(\psi_{\omega^{\prime}} \mid e_{i}\right)\right|^{2} \cdot\left|\left(e_{i} \mid f_{j}\right)\right|^{2},
\]

где $\left\{e_{i}\right\},\left\{f_{j}\right\}$ – базисы, определяющие измерения $\widehat{E}$ и $\widehat{F}$. Нетрудно убедиться, что такие значения вероятностей будут обеспечены, если исходная точка фазового пространства $\omega=\omega^{\prime} \times \omega^{\prime \prime}$ после первого измерения перейдет в точку $\omega_{i}=\widehat{E}_{i} \times \widetilde{\omega}^{\prime \prime}$ при условии, что первое измерение дало $i$-й исход (т.е. если выполняется неравенство $\left.\sum_{k=1}^{i-1}\left|\left(\psi \mid e_{k}\right)\right|^{2}<\pi_{\widehat{E}}\left(\omega^{\prime \prime}\right) \leqslant \sum_{k=1}^{i}\left|\left(\psi \mid e_{k}\right)\right|^{2}\right)$. Изменение компоненты $\omega^{\prime}$ представляет собой, таким образом, управляемый марковский процесс. Следует еще описать переход $\omega^{\prime \prime} \rightarrow \widetilde{\omega}^{\prime \prime}$. Если второе измерение совпадает с первым, то из формулы (16) вытекает, что его исход должен совпадать с исходом первого измерения. Чтобы это выполнялось, должно быть $\pi_{\widehat{E}}\left(\widetilde{\omega}^{\prime \prime}\right)=\pi_{\widehat{E}}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ т. е. «рулетка», соответствующая измерению $\widehat{E}$, сохраняет сзое состояние после розыгрыша результата первого измерения. Для выполнения формулы (16) несущественно, что будет происходить с остальными «рулетками», лишь бы они сохраняли равномерное распределение.

Рассмотрим, однако, три последовательных измерения $\widehat{E}, \widehat{F}, \widehat{E}$. По формуле (17) вероятность получить последовательность результатов $(i, j, k)$ равна
\[
\mu_{\omega^{\prime}}^{\widehat{E}, \widehat{F}, \widehat{E}}(i, j, k)=\left|\left(\psi_{\omega^{\prime}} \mid e_{i}\right)\right|^{2} \cdot\left|\left(e_{i} \mid f_{j}\right)\right|^{2} \cdot\left|\left(f_{j} \mid e_{k}\right)\right|^{2} .
\]

Чтобы в классической модели могло получиться такое соотношение, необходимо, чтобы после второго измерения $\widehat{F}$ распределение вероятностей «рулетки», отвечающей измерению $\widehat{E}$, полностью обновилось, т. е. чтобы $\pi_{\widehat{E}}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ стало случайной величиной, не зависящей от своих предыдущих значений. Поскольку $\widehat{E}$ произвольно, это приводит к следующему окончательному правилу изменения состояния рулеток $\omega^{\prime \prime}$ : в результате проведения измерения $\widehat{F}$ состояния всех рулеток $\lambda_{\widehat{E}}=\pi_{\widehat{E}}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ с $\widehat{E}
eq \widehat{F}$ полностью обновляется, тогда как $\lambda_{\widehat{F}}=\pi_{\widehat{F}}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ сохраняет свое значение. Это вполне соответствует замечанию Шредингера. Легко убедиться, что такое предписание позволяет воспроизвести вероятности всевозможных последовательных максимальных измерений. Для того чтобы рассмотреть все, а не только максимальные измерения, потребуется соответствующим образом расширить множество «рулеток» в конструкции классического описания.

Скрытые переменные $\omega$ состоят из двух компонент $\omega^{\prime}$ и $\omega^{\prime \prime}$, из которых первая, по-видимому, может рассматриваться как характеристика самой системы. Вопрос – к чему следует отнести $\omega^{\prime \prime}$ – собственно к системе или к взаимодействующим с ней приборам, весьма интересен, хотя и не дает прямых аргументов, опровергающих предписание Шредингера. С одной стороны, кажется естественным рассматривать $\lambda_{\widehat{E}}=\pi_{\widehat{E}}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ как параметры прибора $\widehat{E}$. Взаимодействие прибора $\widehat{E}$ с системой фиксирует параметры прибора, и $\lambda_{\widehat{E}}$ не меняется после повторного измерения $\widehat{E}$. С другой стороны, совокупность всевозможных измерений $\widehat{\mathbf{E}}$, которые могут быть произведены над системой, и описывающую ее совокупность параметров $\omega^{\prime \prime}=\prod_{\widehat{E}} \lambda_{\widehat{E}}$ можно рассматривать уже как характеристику системы в целом, тем более что измерение $\widehat{F}$ затрагивает все параметры $\lambda_{\widehat{E}}, \widehat{E}
eq \widehat{F}$. Здесь уместно вспомнить слова Бора о том, что «мы сталкиваемся в атомной физике с совершенно новой ситуацией, когда принципиально невозможно провести четкое разграничение между внутренними свойствами объектов и их взаимодействием с измерительными приборами, которые необходимо использовать для самого обнаружения этих свойств» ([1], с. 383). Так или иначе существует способ определить стохастическое правило изменения состояний классической системы, позволяющее воспроизвести вероятности всех последовательных квантовых измерений.
Для случая квантовой системы со спином $1 / 2$ это было отмечено Дж. Клаузером [34] в дискуссии, которая последовала за опубликованием статьи Вигнера. Рассмотрев модель Белла, Клаузер предложил очень простое правило изменения состояния после измерения, использующее в сущности предписание Шредингера и воспроизводящее вероятности всех последовательных измерений. В своем ответе Вигнер выдвинул следующее возражение, которое применимо и к нашей модели: модель со скрытыми параметрами должна давать объяснение изменения состояния в «механических», т. е. детерминированных, а не стохастических терминах. Постоянный приток случайности, который необходим для частичного обновления распределения $\omega^{\prime \prime}$ после каждого измерения, находится, как отмечает Вигнер, в конфликте с теоремой типа Лиувилля (о сохранении фазового объема механической системы). Чтобы описать такое перманентное обновление, требуется радикальное увеличение размерности. Поясним это на простейшем примере последовательности независимых случайных величин $\left\{X_{i}\right\}$ со значениями в $\mathbb{R}$. Чтобы представить эту последовательность как динамическую систему с инвариантной мерой, придется перейти к пространству траекторий $\mathbb{R}^{\mathbb{Z}}$. Стохастическое обновление состояния одномерной системы можно представить как эволюцию механического типа лишь в бесконечномерном пространстве последовательностей.

В заключение своего ответа Вигнер поясняет, что «все схемы со скрытыми параметрами, которые сам фон Нейман или кто-либо из известных ему лиц мог себе представить и которые воспроизводили бы вероятности последовательных измерений направлений спина, имели некоторые черты, которые делали их непривлекательными и, по существу, неприемлемыми». По мнению Вигнера, «это и было действительной причиной убежденности фон Неймана в неадекватности теорий со скрытыми параметрами».

Таким образом, требование воспроизведения результатов последовательных измерений в теории со скрытыми параметрами, по-видимому, приводит к непривлекательным конструкциям, вызывающим отрицательные эмоции как у физиков, так и у математиков. Однако каких-либо точных результатов, определенно закрывающих поиски в этом направлении, получено все же не было. После опубликования работ Белла центр тяжести исследований переместился на другой аспект скрытых параметров, связанный с описанием составных квантовых систем.