Пусть $\theta$-вообще говоря, многомерный параметр, описывающий определенные аспекты приготовления состояния (например, положение экспериментальной установки). Каждому $\theta$ из области допустимых значений $\theta$ соответствует свой оператор плотности $S_{\theta }$, так что имеется семейство $\{S_{\theta };\theta \in \mathrm{\Theta }\}$ состояний в $\mathcal{K}$. Допустим, что на параметрическом множестве $\mathit{\theta }$ действует группа преобразований $g:\theta \to g\theta$, которая имеет представление $g\to V_g$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{K}$. Семейство $\left\{S_{\theta }\right\}$ называется ковариантным по отношению к этому представлению, если
$$S_{g\theta }=V_g{S}_{\theta }{V}_g^{\ast };\theta \in \theta ,g\in G.$$

Фиксируем кначало отсчета» ${\theta }_0$; состояние $S_{{\theta }_0}=S$ должно быть инвариантно относительно подпредставления стационарной подгруппы $G_0$ точки ${\theta }_0:S=V_{g}S{V}_g^{\ast },g\in G_0$,

так что можно написать
$$S_{\theta }=V_{g}S{V}_g^{\ast }(\theta =g{\theta }_0).$$

Предположим теперь, что объект находится в одном из состояний $\left\{S_{\theta }\right\}$, но истинное значение параметра $\theta$ неизвестно и задача заключается в том, чтобы по возможности точно оценить это значение, основываясь на измерениях, допускаемых квантовой теорией. Мы рассмотрим этот вопрос, руководствуясь идеями статистической теории оценивания.

Зададимся некоторой функцией отклонения $W_{\theta }(\hat{\theta })$, которая дает численную меру отклонения наблюдавшегося значения $\hat{\theta }$ от истинного $\theta$. Мы предположим, что $W_{\theta }(\hat{\theta })-$ непрерывная функция своих аргументов, причем ${\mathbb{W}}_{\theta }(\hat{\theta })⩾$ $⩾W_{\theta }(\theta )$. Естественно предположить также, что функция отклонения инвариантна:
$$W_{g\theta }(g\hat{\theta })=W_{\theta }(\hat{\theta });g\in G;\theta ,\hat{\theta }\in \mathrm{\Theta }.$$

Для всех рассматриваемых нами групп существуют «естественные» функции отклонения (например, квадратичное отклонение $(\hat{\theta }-\theta {)}^2$, для группы сдвигов $\mathbb{R}$ ). Примечательно, однако, что, как будет показано, конечный результат — «наиболее точное измерение — в значительной мере не зависит от конкретного выбора функции $W_{\theta }(\hat{\theta })$, определяющей точность измерения.

Среднее отклонение результатов измерения $\mathit{M}=$ $=\{M(d\hat{\theta })\}$ при условии, что истинным значением является $\theta$, равно
$${\mathcal{R}}_{\theta }\{\mathit{M}\}=\int {\mathit{W}}_{\theta }(\hat{\theta }){\mu }_{s_{\theta }}(d\hat{\theta }),$$

где ${\mu }_{s_{\theta }}(d\hat{\theta })=\mathrm{Tr}{S}_{\theta }M(d\hat{\theta })$ — распределение вероятностей измерения $\mathit{M}$ относительно состояния $S_{\theta }$. Желая найти наилучшее измерение параметра $\theta$, следовало бы потребовать, чтобы $\mathit{M}$ минимизировало среднее отклонение (3.2) при всех возможных значениях $\theta \in \mathrm{\Theta }$. Однако из математической статистики хорошо известно, что подобное требование обычно невыполнимо: то, что хорошо для одних значений $\theta$, будет плохо для других. Чтобы ввести разумное понятие оптимальности, следует пойти на компромисс и образовать некоторый функционал от величин ${\varkappa }_{\theta }\{\mathit{M}\},\theta \in \mathrm{\Theta }$, который служил бы «интегральной» мерой точности.

Следуя классической теории оценивания, можно предложить два разных функционала.

При байесовском подходе берется среднее величин $\{{\mathcal{R}}_{\theta }\{\mathit{M}\}\}$ по некоторому априорному распределению $\pi (d\theta )$. Измерение, минимизирующее эту меру точности:
$${\mathcal{R}}_{\pi }\{\mathit{M}\}=\int {\mathcal{R}}_{\theta }\{\mathit{M}\}\mathit{\pi }(d\theta ),$$

называется байесовским. Величина ${\mathcal{R}}_{\mathit{\pi }}\{\mathit{M}\}$ дает среднюю ошибку в ситуации, когда $\theta$ является случайным параметром с известным распределением $\pi (d\theta )$. В частности, если $\theta$ компактно и о $\theta$ кзаранее ничего не известно», то в качестве $\pi (d\theta )$ принято брать «равномерное распределение на $\mathrm{\Theta }$, т. е. нормированную инвариантную меру $v(d\theta )$.

При минимаксном подходе берется максимальное отклонение
$$\hat{\mathcal{R}}\{\mathit{M}\}=\underset{\theta }{max}{\mathcal{R}}_{\theta }\{\mathit{M}\}.$$

Минимизирующее его измерение называется микимаксным. Измерение, на котором достигается минимум той или иной меры точности, мы будем называть также оп т и мальным.

Ограничившись здесь случаем компактной группы, мы покажем, что для ковариантного семейства состояний как байесовская, так и минимаксная меры точности достигают минимума на ковариантном измерении. Этот факт является некоммутативным аналогом известной теоремы Ханта-Стейна в математической статистике.

Среднее отклонение, а значит, и байесовская мера точности являются аффинными функционалами на выпуклом множестве всех $\mathrm{\Theta }$-измерений $\mathfrak{M}(\mathit{\theta })$. В случае компактного $\mathrm{\Theta }$ и непрерывной функции отклонения $W_{\theta }(\hat{\theta })$ выполнены условия, при которых байесовская мера точности достигает минимума в крайней точке множества $\mathfrak{M}(\mathit{\theta })$. Доказательство этого утверждения, а также подробное рассмотрение вопросов интегрируемости мы здесь проводить не будем (см. комментарии).

Теорема 3.1. Минимум байесовской меры тоиности ${\mathcal{R}}_v\{M\}$ с инвариантным априорным распределением и минимаксной меры точности $\hat{\mathcal{R}}\{M\}$ по всем Ө-измерениям
достигается на множестве ковариантных измерений. Для ковариантного иямерения М среднее отклонение ${\mathcal{R}}_{\theta }\{\mathit{M}\}$ не зависит от $\theta$, так ито
$${\mathcal{R}}_v\{\mathit{M}\}=\hat{\mathcal{R}}\{\mathit{M}\}={\mathcal{R}}_{\theta }\{\mathit{M}\},\mathit{\theta }\in \mathit{\theta }.$$

Доказательство. Введем измерение ${\mathit{M}}_{\mathit{g}}=$ $=\{M_g(d\hat{\theta })\}$, полагая
$$M_g(B)=V_g^{\ast }M\left(B_g\right)V_g,B\in \text{ et }(\theta ),$$

и заметим, что измерение $\mathit{M}$ ковариантно тогда и только тогда, когда ${\mathit{M}}_g=\mathit{M},g\in G$. Из ковариантности семейства $\left\{S_{\theta }\right\}$ и инвариантности функции отклонения $W_{\theta }(\hat{\theta })$ получаем
$${\mathcal{R}}_{\theta }\left\{{\mathit{M}}_{\mathit{g}}\right\}={\mathcal{R}}_{\mathit{\epsilon }\theta }\{\mathit{M}\}.$$

В частности, для ковариантного измерения ${\mathcal{R}}_{\theta }\{M\}$ не зависит от $\theta$, так что выполняется (3.3). Рассмотрим байесовскую меру точности
$${\mathcal{R}}_v\{\mathit{M}\}=\int {\mathcal{R}}_{\theta }\{\mathit{M}\}\mathit{v}(d\theta ).$$

Используя (3.4), получаем ${\mathcal{R}}_v\{\mathit{M}\}={\mathcal{R}}_v\left\{{\mathit{M}}_g\right\}$.
Введем кусредненное» измерение $\overline{M}$, полагая
$$M(B)={\int }_a{M}_{g-1}(B)\mu (dg).$$
(В конечномерном случае определение этого интеграла очевидно.) Так как ${\mathcal{R}}_v\{M\}$ — аффинный функционал измерения, то ${\mathcal{R}}_v\{\overline{M}\}=\int {\mathcal{R}}_v\left\{M_{g-1}\right\}\mu (dg)={\mathcal{R}}_v\{M\}$ и $\underset{\theta }{max}{\mathcal{R}}_{\theta }\{\mathit{M}\}⩾{\mathcal{R}}_v\{\mathit{M}\}={\mathcal{R}}_v\{\overline{M}\}$. Но усредненное измерение, очевидно, ковариантно, так что
$${\mathcal{R}}_v\{\overline{M}\}\equiv {\mathcal{R}}_{\theta }\{\overline{M}\}=\underset{\theta }{max}{\mathcal{R}}_{\theta }\{\overline{M}\}.$$

Таким образом, для любого измерения $M$ мы построили ковариантное измерение $\overline{M}$ с тем же значением байесовской меры точности и с, возможно, меньшим значением минимаксной меры. Поэтому минимум этих функционалов достигается на ковариантном измерении.
Теорема 3.1 сводит проблему оптимального измерения к минимизации среднего отклонения
$${\mathcal{R}}_{{\theta }_{\theta }}\{\mathit{M}\}\cdot =\int {\mathit{W}}_{{\theta }_0}(\theta ){\mu }_{s_{{\theta }_0}}(d\theta )$$
вопрос, предполагая, что $\dim \mathcal{K}<\mathrm{\infty }$. Тогда мы находимся в условиях теоремы 2.1 и ${\mathcal{R}}_{{\theta }_0}\{\mathit{M}\}$ можно переписать в виде
$${\mathcal{R}}_{{\theta }_0}\{M\}=\int W_{{\theta }_0}(\theta )\mathrm{Tr}{V}_g^{\ast }S{V}_g{P}_{0}v(d\theta )=\mathrm{Tr}{\hat{W}}_0{P}_0,$$

где
$${\hat{W}}_0={\int }_{\theta }{W}_{{\theta }_0}(\theta )V_g^{\ast }S{V}_{g}v(d\theta )={\int }_G{W}_{{\theta }_0}\left(g{\theta }_0\right)V_g^{\ast }S{V}_g\mu (dg)$$
— оператор, коммутирующий с $\{V_g;g\in G_0\}$. Основываясь на аналогиях с классической статистикой, можно назвать ${\hat{\mathit{W}}}_0$ оператором апостериорного отклонения. Таким образом, необходимо найти
$$min\mathrm{Tr}{\hat{W}}_0{P}_0$$

по всем эрмитовым операторам $P_0$ из множества $\mathrm{\$}$ (см. § 2) или же по крайним точкам этого множества.

Эта задача имеет простое решение в случае неприводимого представления, когда $\mathrm{\$}$ состоит из операторов, коммутирующих с $\{V_g;g\in G_0\}$ и таких, что
$$P_0⩾0,\mathrm{Tr}{P}_0=d.$$

Обозначим ${\hat{w}}_{\text{min }}$ наименьшее собственное значение оператора ${\hat{W}}_0$, а через ${\hat{E}}_{min}$ — проектор на соответствующее инвариантное подпространство. Тогда ${\hat{W}}_0⩾{\hat{\mathit{w}}}_{\text{min }}\cdot I$, откуда
$$\mathrm{Tr}{\hat{W}}_0{P}_0⩾{\hat{\mathit{w}}}_{min}\mathrm{Tr}{P}_0={\hat{\mathit{v}}}_{\text{min }}d.$$

Равенство здесь достигается, если
$$P_0={\hat{E}}_{min}\frac{d}{d_{min}},$$

где ${\hat{d}}_{min}$-размерность инвариантного подпространства, соответствующего минимальному собственному значению ${\hat{\mathit{w}}}_{\text{min }}$. Так как ${\hat{W}}_0$ коммутирует с $\{V_g;g\in G_0\}$, то это же верно и для ${\hat{E}}_{min}$, так что оператор (3.7) удовлетворяет всем необходимым условиям. Сформулируем полученный результат.

ПІредложение 3.1. Пусть $g\to V_g$ — жеприводимое представление компактной группы $G$ преобразований множества $\mathit{\theta }$. Тогда оптимальным является ковариантное измерение
$$M_{\ast }(d\theta )=\frac{d}{{\hat{d}}_{min}}\cdot V_g{\hat{E}}_{min}{V}_{\mathrm{g}}^{\ast }v(d\theta )(\theta =g{\theta }_0).$$

Минимум среднего отклонения равен ${\hat{\omega }}_{min}\cdot d$, где ${\hat{\mathit{v}}}_{min}-$ минимальное значение, ${\hat{E}}_{min}$ — проектор на соответствуюцее инвариантное подпространство оператора апостериорного отклокения (3.5).

В классической статистике, помимо байесовского и минимаксного, существуют и другие подходы к определению точности оценок параметров, например, основанные на понятии несмещенности и неравенстве Рао — Крамера. Мы рассмотрим их в гл. VI, а сейчас коротко остановимся на некоммутативном аналоге метода максимального правдоподобия. Формально критерий максимального правдоподобия соответствует байесовскому с равномерным априорным распределением и функцией отклонения
$${\mathbb{W}}_{{\theta }_0}(\theta )=\{\begin{array}{cc}0,& \theta eq{\theta }_0,\\ -\mathrm{\infty },& \theta ={\theta }_0.\end{array}$$

Точнее, определим дельта-функцию на $\mathrm{\Theta }$ формальным соотношением
$$\int {\delta }_{{\theta }_0}(\theta )f(\theta )v(d\theta )=f\left({\theta }_0\right)$$

для любой непрерывной $f$. Тогда взятая с обратным знаком байесовская мера отклонения, соответствующая функции $W_{{\theta }_0}(\theta )=-{\delta }_{{\theta }_0}(\theta )$, имеет вид
$$\int \mathrm{Tr}{S}_{\theta }M(d\theta ).$$

Этому выражению можно придать прямой смысл, если Ө-компактное множество и пространство $\mathcal{K}$ конечномерно. В этом случае, рассуждая как и при доказательстве теоремы 2.1, можно показать, что операторная мера $M(d\theta )$ дифференцируема от носительно скалярной меры

$m(d\theta )=\mathrm{Tr}M(d\theta )$, так что $M(d\theta )=P(\theta )m(d\theta )$, и интеграл (3.8) можно определить как
$$\int \mathrm{Tr}{S}_{\theta }M(d\theta )=\int (\mathrm{Tr}{S}_{\theta }P(\theta ))m(d\theta ).$$

Измерение, максимизирующее этот функционал, называется измерением максимального правдоподобия. Можно показать, что для ковариантного семейства состояний $S_{\theta }=V_{g}S{V}_g^{\ast }$ максимум величины (3.9) достигается на ковариантном измерении. Для ковариантного измерения (2.5) функционал (3.9) принимает вид $\mathrm{Tr}S{P}_0$. Таким образом, ковариантное измерение максимального правдоподобия имеет вид (2.5), где $P_0$ — решение задачи
$$max\mathrm{Tr}S{P}_0;P_0\in \mathrm{\Re }.$$

В случае неприводимого представления $g\to V_g$ решение этой задачи совершенно аналогично решению задачи (3.6) и измерение максимального правдоподобия имеет вид
$$M(d\theta )=\frac{d}{d_{max}}{V}_g{E}_{max}{V}_g^{\ast }v(d\theta )(\theta =g{\theta }_{\theta }),$$

где $E_{max}$ — проектор на собственное подпространство, отвечающее максимальному собственному числу оператора $S=S_{{\theta }_0}$, а $d_{max}$ — размерность этого подпространства.