В § III. 2 было установлено общее неравенство
\[
D_{\theta}\{M\} D_{\theta}(A) \geqslant \frac{1}{4}\left|\frac{d}{d \theta} \mathrm{E}_{\theta}\{M\}\right|^{2} .
\]

ограничивающее дисперсию измерения параметра сдвига $\theta$ в семействе состояний
\[
S_{\theta}=e^{i A \theta} S e^{-i A \theta} .
\]

C помощью этого неравенства мы получили соотношения неопределенностей для несмещенных измерений параметров координаты $x$ и времени $t$. Угол $\varphi$ является параметром сдвига в семействе (6.1), и поэтому можно ожидать наличия соотношения, ограничивающего янеопределенность» угла $\varphi$ через неопределенность углового момента $D(J)$. Однако то обстоятельство, что естественной областью определения угла $\varphi$ является не вся прямая $R$, a группа сдвигов $T$ интервала $[0,2 \pi$ ) по модулю $2 \pi$, вносит существенные изменения в трактовку неравенства (7.1), которые заставляют искать другой путь для установления соотношения неопределенностей кугол-угловой моменту.

В самом деле, значения угла $\varphi=0$ и $\varphi=2 \pi$ следует рассматривать как совпадающие, а значения $\varphi \approx 0$ и $\varphi \approx$ $\approx 2 \pi$ – как «близкие». С точки зрения естественного определения «близости» множество $\theta$ следует представлять себе не как интервал $[0,2 \pi)$, а как единичную окружность $T$. В связи с этим возникает вопрос-как задать меру «неопределенности» случайной величины $\varphi$, принимающей значения в T? Обычная дисперсия $D(\varphi)=\int_{0}^{2 \pi}(\varphi-E(\varphi))^{2} P(d \varphi)$ в данном случае не подходит; так, симметричное относительно точки $\varphi=\pi$ распределение $P$, сосредоточенное на краях интервала $[0,2 \pi)$, будет иметь дисперсию $\approx \pi^{2}$, тогда как всякая разумная мера неопределенности такого распределения должна быть близка к нулю.

Рассмотрим комплексную величину $e^{i \varphi}$, пробегающую единичную окружность. Ее дисперсия равна
\[
\mathrm{D}\left(e^{i \varphi}\right)=\int_{0}^{2 \pi}\left|e^{i \varphi}-\mathrm{E}\left(e^{i \varphi}\right)\right|^{2} P(d \varphi)=1-\left|\mathrm{E}\left(e^{i \varphi}\right)\right|^{2},
\]

где $E\left(e^{i \varphi}\right)=\int_{0}^{2 \pi} e^{i \varphi} P(d \varphi)$, а $P(d \varphi)$ – распределение угла $\varphi$. Введем следующую меру неопределенности распределения угла $\varphi$ :
\[
\Delta(\varphi)=\frac{\mathrm{D}\left(e^{(\varphi)}\right)}{\left|\mathrm{E}\left(e^{i \varphi}\right)\right|^{2}}=\left|\mathrm{E}\left(e^{i \varphi}\right)\right|^{-3}-1 .
\]

Заметим, что $\Delta(\varphi)=\infty$ для равномерного распределения на $[0,2 \pi$ и $\Delta(\varphi)=0$ для вырожденных распределений; величина $\left|\mathrm{E}\left(e^{i \varphi}\right)\right|$ равна расстоянию от центра единичной окружности, на которой сосредоточено распределение $e^{i \varphi}$, до геометрического центра масс этого распределения.

Другое обстоятельство, побуждающее отказаться от использования неравенства (7.1), связано с тем, что понятие несмещенности для измерений, принимающих значения в $T$, уже не может играть прежней роли; в частности, из ковариантности измерения уже не следует его несмещенность. Пусть $\mu_{\varphi}(d \hat{\varphi})$ – распределение вероятностей ковариантного измерения $\boldsymbol{M}=\{\boldsymbol{M}(\boldsymbol{d} \hat{\varphi})\}$ относительно состояния $S_{\varphi}$. Предполагая для простоты, что это распределение имеет плотность $p_{\varphi}(\hat{\varphi})$, из условия ковариантности получаем
\[
p_{\varphi}(\hat{\varphi})=p_{0}((\hat{\varphi}-\varphi)(\bmod 2 \pi)) .
\]

Используя это соотношение, получаем
\[
E_{\varphi}\{M\}=E_{0}\{M\}+\varphi+\left[\pi-2 \pi \int_{2 \pi-\varphi}^{2 \pi} p_{0}(\hat{\varphi}) d \hat{\varphi}\right],
\]

так что $\frac{d}{d \varphi} E_{\varphi}\{M\}=1+2 \pi p_{0}(2 \pi-\varphi)
eq 1$. Конечно, мы можем подставить это в неравенство (7.1) и получить некоторую границу для дисперсий ковариантных измерений, содержащую, кроме дисперсий, функцию $\rho_{0}(2 \pi-\varphi)$, однако это вряд ли можно считать аналогом соотношения неопределенностей. Мы пойдем по другому пути и получим неравенство для меры неопределенности, задаваемой формулой (7.2), которое будет иметь форму соотношения неопределенностей:
\[
\Delta(\varphi) D(J) \geqslant 1 / 4 .
\]

Пусть $\left.\mid \psi)=\sum_{m=-1}^{\prime} \Psi_{m} \mid m\right)$ – вектор чистого состояния и $\Delta(\varphi)$ – неопределенность (7.2) для распределения вероятностей результатов измерения $P(d \varphi)=(\psi \mid M(d \varphi) \psi)$.

Предложение 7.1. Дая побого ковариактного измерекия $M$ угла $\varphi$
\[
\begin{array}{l}
\Delta(\varphi) \geqslant \\
\geqslant\left[1-\frac{1}{2}\left(\left|\Psi_{-j}\right|^{2}+\left|\Psi_{j}\right|^{2}\right)\right]^{-1}\left[\frac{1}{4} D(J)^{-1}+\frac{1}{2}\left(\left|\Psi_{-j}\right|^{2}+\left|\Psi_{j}\right|^{2}\right)\right] .
\end{array}
\]

Соотношение неопределенностей (7.3) получается отсюда, если отбросить неотрицательные слагаемые $\frac{1}{2}\left(\left|\psi_{-j}\right|^{2}+\left|\psi_{j}\right|^{2}\right)$.

Доказательство. Пусть $\boldsymbol{M}$ – ковариантное измерение (6.2). Тогда $E\left(e^{i \varphi}\right)=\sum_{m=-j+1}^{\prime} \bar{\Psi}_{m} \psi_{m-1} p_{m, m-1}$, откуда, согласно (6.7),
\[
\left|E\left(e^{i \varphi}\right)\right| \leqslant E_{*}\left(e^{i \varphi}\right)=\sum_{m=-j+1}^{j}\left|\psi_{m-1}\right|\left|\psi_{m}\right|,
\]

где звездочкой отмечено математическое ожидание, отвечающее распределению $P_{*}(d \varphi)=\left(\psi \mid M_{*}(d \varphi) \psi\right)$ оптимального измерения (6.4). Поятому
\[
\Delta(\varphi) \geqslant \Delta_{*}(\varphi)
\]

и нам достаточно рассмотреть измерение $\boldsymbol{M}_{0}$.
Введем операторы
\[
E_{ \pm}=\int_{0}^{2 \pi} e^{ \pm \iota \varphi} M_{*}(d \varphi) .
\]

Используя (6.4) и полагая $\gamma_{m}=\psi_{m} /\left|\psi_{m}\right|$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\left.E_{-}=\sum_{m=-l+1}^{\prime} \gamma_{m-1} \bar{\gamma}_{m} \mid m-1\right)(m \mid, \\
\left.E_{+}=\sum_{m=-l+1}^{\prime} \gamma_{m} \gamma_{m-1} \mid m\right)(m-1 \mid .
\end{array}
\]

Отметим, что, выбирая новый базис $\left.\mid m)^{\prime}=\gamma_{m} \mid m\right)$, мы всегда можем привести $E_{ \pm}$к каноническому виду
\[
\left.E_{-}=\sum_{m} \mid m-1\right)\left(m\left|, \quad E_{+}=\sum_{m}\right| m\right)(m-1 \mid .
\]

Из (7.4) легко получаем, что $E_{-}=E_{+}^{*}$ и
\[
\begin{array}{cc}
\left.E_{-} E_{+}=\mathrm{I}-\mid j\right)(j \mid, & \left.E_{+} E_{-}=|-|-i\right)(-j \mid ; \\
{\left[E_{-}, J\right]=E_{-},} & {\left[E_{+}, J\right]=-E_{+} .}
\end{array}
\]

Введем операторы $C=\frac{1}{2}\left(E_{+}+E_{-}\right), S=\frac{l}{2}\left(E_{+}-E_{-}\right)$. Из (7.5) и (7.6) получаем соответственно
\[
\begin{array}{c}
C^{2}+S^{2}=1-\frac{1}{2}[\mid j)(j|+|-j)(-j \mid], \\
{[C, S]=\frac{i}{2}[-\mid j)(j|+|-j)(-j \mid] ;} \\
{[C, J]=i S,[S, J]=-i c .}
\end{array}
\]

Из двух последних соотношений и соотношения неопределенностей (I I.6.9) получаем
\[
\mathrm{D}(C) \mathrm{D}(J) \geqslant \frac{1}{4} S^{2}, \quad \mathrm{D}(S) \mathrm{D}(J) \geqslant \frac{1}{4} C^{2},
\]

где $A=(\boldsymbol{\psi} \mid A \psi)$-среднее значение наблюдаемой $A$ относительно состояния $S=\mid \psi)(\psi \mid$.

Легко видеть, что $E_{*}\left(e^{l \varphi}\right)=\int_{0}^{2 \pi} e^{j \varphi}(\varphi \mid M(d \varphi) \psi)=E_{-}=$ $=\bar{C}+i \bar{S}$, откуда
\[
\left|\mathrm{E}_{*}\left(e^{i \varphi}\right)\right|^{2}=\bar{C}^{2}+S^{2}, \quad \Delta_{*}(\varphi)=\left(1-C^{2}-S^{2}\right) /\left(\bar{C}^{2}+S^{2}\right) .
\]

Используя первое из соотношений (7.7) и тот факт, что $\mathrm{D}(C)=\overline{C^{2}}-\bar{C}^{2}, \mathrm{D}(S)=\overline{S^{2}}-\overline{S^{2}}$, получаем
\[
\Delta_{*}(\Phi)=\frac{D(C)+D(S)+\frac{1}{2}(\pi)(D+1-D)(-T)}{\bar{C}^{1}+\bar{S}^{2}} .
\]

Применив неравенство (7.9), получаем
\[
\Delta_{*}(\varphi) \geqslant \frac{1}{4} D(J)+\frac{1}{2}\left(\left|\psi_{-\rho}\right|^{n}+\left|\psi_{j}\right|^{2}\right) \cdot\left|E_{*}\left(e^{/ \varphi}\right)\right|^{-s},
\]

поскольку $\overline{f)(j \mid}=\left|\psi_{j}\right|^{2}$. Учитывая, что $\left|\mathrm{E}_{*}\left(e^{i \varphi}\right)\right|^{-2}=$ $=\Delta_{f}(\varphi)+1$, приходим к искомому неравенству.

Установим также соотношение между средним отклонением (6.9) и неопределенностью результатов иямерения угла $\Delta(\varphi)$. Для любого ковариантного измерения $M$
\[
\begin{aligned}
\mathscr{R}_{0}\{M\}=E\left(4 \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}\right) & =E\left(\left|e^{l \varphi}-1\right|^{2}\right)=2\left(1-\operatorname{Re} E\left(e^{\prime \varphi}\right)\right) \geqslant \\
& \geqslant 2\left(1-\left|E\left(e^{j \varphi}\right)\right| \geqslant 1-\left|E\left(e^{\prime \varphi}\right)\right|^{2}=\frac{\Delta(\varphi)}{1+\Delta(\varphi)} .\right.
\end{aligned}
\]

Используя соотношение неопределенностей, получаем нижнюю границу для минимального среднего отклонения (6.9)
\[
\mathscr{R}_{0}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \frac{1}{4\left[\mathrm{D}(J)+\frac{1}{4}\right]} .
\]