Предполагая перейти в дальнейшем к квантовой механике, попытаемся выделить в виде аксиом основные черты статистического описания эксперимента, уже не используя предположения о классичности объекта, т. е. не прибегая к понятию фазового пространства.
(A.1). Заданы некоторое множество $\mathbf{S}$, элементы которого называются состояниями, и множество $\mathbf{M}$, элементы которого называются измерениями. С каждым измерением $M$ связано пространство $U$ возможных исходов этого измерения. Для любой пары $S \in \mathbf{S}$, $M \in \mathbf{M}$ на пространстве $U$ определено распределение вероятностей $\mu_{S}^{M}(d u)$ исходов измерения $M$ в состоянии $S$.

Интуитивно $S$ можно представить себе как более или менее детальное задание приготовления некоторого «ансамбля», а $M$ – измерения в этом ансамбле. Попытка истолкования этих понятий с помощью введения фазового пространства в сущности и приводит к вопросу о скрытых параметрах. Но об этом пойдет речь дальше. Здесь же $S$ и $M$ рассматриваются как некоторые первичные понятия. Для любого (измеримого) подмножества $B \subset U$ величина $\mu_{S}^{M}(B)$ интерпретируется как теоретическое значение доли представителей ансамбля, приготовленного в состоянии $S$, для которых исход измерения $M$ попадает в множество $B$.

Таким образом, первая аксиома является формализацией требования воспроизводимости эксперимента и устойчивости частот. Следующая аксиома утверждает, что смешивание ансамблей представляет собой допустимый способ приготовления.
(А.2). Для любых состояний $S_{1}, S_{2}$ и числа $p, 0<p<1$ существует состояние $S$, называемое смесью $S_{1}, S_{2}$ в пропорции $p:(1-p)$, такое, что $\mu_{S}^{M}=p \mu_{S_{1}}^{M}+(1-p) \mu_{S_{2}}^{M}$ для всех измерений $M$.

Исходом измерения $M$ может быть показание одного или нескольких приборов, а также реализация любого другого способа представления информации – например, магнитофонная запись или картинка на экране дисплея. Очень часто информация, полученная в результате измерения, должна быть подвергнута некоторому преобразованию $f$. Результат такого преобразования можно рассматривать как исход сложной измерительной процедуры, включающей в себя и заданное преобразование. Если $M_{1}$ – измерение со значениями в $U_{1}$, а $M_{2}$ – измерение со значениями в $U_{2}$, такие, что существует (измеримая) функция $f: U_{2} \rightarrow U_{1}$, удовлетворяющая соотношению
\[
\mu_{S}^{M_{1}}(B)=\mu_{S}^{M_{2}}\left(f^{-1}(B)\right) ; \quad B \subset U_{1},
\]

то это означает, что статистические результаты измерения $M_{1}$ получаются из результатов измерения $M_{2}$ функциональным преобразованием $f$. (Напомним, что $f^{-1}(B)$ обозначает прообраз множества $B$, т. е. множество всех таких $u_{2} \in U_{2}$, что $f\left(u_{2}\right) \in B$.) В этом случае будем говорить, что $M_{1}$ подчинено измерению $M_{2}$. Если $U_{1}$ и $U_{2}$ – конечные множества, то это значит, что
\[
\mu_{S}^{M_{1}}\left(u_{1}\right)=\sum_{u_{2}: f\left(u_{2} !=u_{1}\right.} \mu_{S}^{M_{2}}\left(u_{2}\right),
\]
т. е. подчиненность определяется группировкой исходов измерения.
(А.3). Вместе с измерением $M$ множество $\mathbf{M}$ содержит все подчиненные ему измерения.

Пару множеств ( $\mathbf{S}, \mathbf{M}$ ), удовлетворяющую аксиомам (А.1)-(А.3), назовем статистической моделью. Статистическая модель называется отделимой, если выполняется
(А.4). Из того, что $\mu_{S_{1}}^{M}=\mu_{S_{2}}^{M}$ для всех $M \in \mathbf{M}$, следует $S_{1}=S_{2}$, а из того, что $\mu_{S}^{M_{1}}=\mu_{S}^{M_{2}}$ для всех $S \in \mathbf{S}$, следует $M_{1}=M_{2}$.

Для отделимой модели смесь состояний и подчиненное измерение определяются однозначно. Из аксиомы (А.2) вытекает, что состояния можно рассматривать как точки некоторого выпуклого множества – пространства состояний.

Чтобы проиллюстрировать общее понятие статистической модели, вернемся к классической картине, где состояния объекта описываются распределениями вероятностей на фазовом пространстве $\Omega$, так что $\mathbf{S}=\mathbf{S}(\Omega)$. Если мы рассматриваем только безошибочные измерения, соответствующие случайным величинам (см. формулу (1)), то М состоит из всевозможных ортогональных разложений единицы на $\Omega$. При этом вероятности исходов измерения в данном состоянии определяются формулой (3). Если же мы включаем в рассмотрение и измерения с ошибками, то $\mathbf{M}$ должно состоять из всевозможных, а не только ортогональных разложений единицы, при этом вероятности исходов измерений определяются формулой (4). Таким образом, получаются две основные классические модели, различающиеся запасом элементов множества $M$. Условно можно назвать первую модель колмогоровской, а вторую – вальдовской. Обе эти модели являются отделимыми.