Полагая $\boldsymbol{n}=1$, рассмотрим семейство состояний
\[
S_{\varphi}=e^{-\ll \varphi} S e^{i L \varphi} ; \quad 0 \leqslant \varphi<2 \pi,
\]

где $L$ – оператор углового момента вокруг фиксированной оси (см. § III.12). Опуская несущественные аргументы, мы можем считать, что $L=t^{-1} \frac{d}{d \alpha}$ в пространстве $\mathscr{L}^{2}(0,2 \pi)$

с областью определения $\mathscr{D}(L)=\{\psi: \psi(0)=\psi(2 \pi)$, $\left.\int_{0}^{2 \pi}\left|\frac{d}{d \alpha} \psi(\alpha)\right|^{2} d \alpha<\infty\right\}$. Функции $\frac{1}{\sqrt{\overline{2} \pi}} e^{i m \alpha}, m=0, \pm 1, \ldots$, образуют ортонормированный базис из собственных векторов оператора $L$. Обозначая $m$-й собственный вектор через (m), будем иметь
\[
L(m)=m(m), \quad m=0, \pm 1, \ldots
\]

Операторы $\left\{e^{-i L \varphi}\right\}$ образуют бесконечномерное представление группы поворотов окружности, и нас интересуют измерения $\boldsymbol{M}$, ковариантные по отношению к представлению $\varphi \rightarrow e^{-i L \varphi}$. Иs доказываемого в следующем параграфе общего результата вытекает, что, как и в рассмотренных выше случаях,
\[
\left(m|M(d \varphi)| m^{\prime}\right)=e^{\left(m^{\prime}-m\right) \varphi} p_{m m^{\prime}} \frac{d \varphi}{2 \pi},
\]

где $\left[p_{m m^{\prime}}\right]$-бесконечная в обе стороны положительно определенная матрица с единицами на диагонали.

Пусть в формуле (9.1) $S=\mid \boldsymbol{\psi})(\boldsymbol{\psi} \mid$. Из результатов $\$ 10$ вытекает, что измерение
\[
\left(m\left|M_{*}(d \varphi)\right| m^{\prime}\right)=e^{\delta\left(m^{\prime}-m\right) \varphi \eta_{m} \bar{\gamma}_{m}} \frac{d \varphi}{2 \pi},
\]

где $\gamma_{m}=(m \mid \psi) /|(m \mid \psi)|$, яаляется опмимальньм для любой функции отклонения, удоалетворяющеи условию (6.5). Переходя к новому базису $\left.\mid m)^{\prime}=\gamma_{m} \mid m\right)$, получаем
\[
‘\left(m\left|M_{*}(d \varphi)\right| m^{\prime}\right)^{\prime}=e^{\left(m^{e}-m\right) \varphi} \frac{d \varphi}{2 \pi},
\]

или, более строго,
\[
‘\left(m\left|M_{*}(B)\right| m^{\prime}\right)^{\prime}=\int_{\delta}^{d\left(m^{\prime}-m\right) \varphi} \frac{d \varphi}{2 \pi}, \quad B \in e t([0,2 \pi)) .
\]

Это разложение единицы ортогонально; в самом деле, для любых $B_{1}, B_{2} \in$ of $([0,2 \pi))$ таких, что $B_{1} \cap B_{2}=\varnothing$, $\left(m\left|M_{*}\left(B_{1}\right) M_{*}\left(B_{2}\right)\right| m^{\prime}\right)^{\prime}=$
\[
\begin{array}{l}
=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{B_{t}} e^{f(n-m) \varphi} \frac{d \varphi}{2 \pi} \int_{B_{a}} e^{f\left(m^{\prime}-n\right) \varphi^{\prime}} \frac{d \varphi^{\prime}}{2 \pi}= \\
=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int_{0}^{2 \pi} e^{\operatorname{lm} 1_{B_{1}}}(\varphi) e^{-\ln \varphi 1_{B_{2}}}(\varphi) d \varphi=0 \\
\end{array}
\]

в силу равенства Парсеваля для рядов Фурье.
Покажем, что отвечающи спектральной мере $M_{*}(d \varphi)$ эрмитов оператор совпадает с канонической наблюдаемой угла поворота, введенной в § III.12. Для этого заметим, что оператор $U=\int e^{\ell \Phi} M_{*}(d \varphi)$ имеет матричные элементы $\left[\delta_{m, m^{\prime}+1}\right]$, т. е. $\left.U(m)=\mid m+1\right)$. Но это совпадает с действием оператора умножения $e^{l \alpha}$ на базисные функции $\left\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \alpha}\right\}$. Таким бразом, $U=e^{i \Phi}$, где $Ф$-оператор умножения на независимую переменную в $\mathscr{L}([0,2 \pi)$ ).

Каждое из ортогональных разложений единицы (9.2) описывает некоторую наблюдаемую, которая дает наиболее точное измерение угла для соответствующего семейства состояний. Таким образом, существует бесконечно много наблюдаемых угла поворота, которые, впрочем, получаются одна из другой простым изменением базиса $\left.\mid m)^{\prime}=\gamma_{m} \mid m\right)$, где $\left|\gamma_{m}\right|=1$. Поскольку мы не знаем всех крайних точек множества ковариантных измерений, остается открытым интересный вопрос-все ли крайние точки являются в этом случае простыми измерениями.

Чтобы установить соотношения неопределенностей чугол-угловой моментя, введем эрмитовы операторы
\[
C=\frac{1}{2}\left(U+U^{*}\right), \quad S=\frac{i}{2}\left(U^{*}-U\right),
\]

удовлетворяющие соотношениям
\[
\begin{aligned}
C^{2}+S^{2} & =1, \quad[C, S]=0, \\
{[C, L] } & =i S, \quad[S, L]=-i C .
\end{aligned}
\]

Имеем
\[
\mathrm{E}_{*}\left(e^{i \varphi}\right)=\bar{C}+i \bar{S}, \quad \mathrm{D}_{*}\left(e^{i \varphi}\right)=\mathrm{D}(C)+\mathrm{D}(S) \text {, }
\]
откуда, вновь вводя постоянную Планка $h$, получаем, как выше,
\[
\Delta(\varphi) D(L) \geqslant \hbar^{2} / 4,
\]

где $\Delta(\cdot)$ определяется формулой (7.2