Рассмотрим квантовый объект с одной степенью свободы, например осциллятор с каноническими наблюдаемыми $q=Q$ и $p=\hbar P$. Основное состояние $\mid 0$ ) (0| является состоянием минимальной неопределенности, в котором $Q$ и $P$ имеют нулевые средние значения. Состояние
\[
\mid \bar{P}, \bar{Q})\left(\bar{Q}, \bar{P}\left|=W_{\bar{Q}, n \bar{P}}\right| 0\right)\left(0 \mid W_{\bar{Q}, n \bar{P}}^{*}\right.
\]
(где для сокращения обозначений положено $\mid \bar{P}, \bar{Q}$ ) $\equiv$ $\left.=\mid P, \bar{Q} ; \frac{\hbar}{2 \omega}\right), \omega$ – частота осциллятора) можно рассматриватъ как результат внешнего воздействия на основное состояние, «смещающего средние значения канонических наблюдаемых, но не изменяющего их неопределенностей.

Предположим теперь, что это воздействие носит случайный характер, т. е. параметры воздействия $\bar{P}$ и $\bar{Q}$ являются случайными величинами с некоторым распределением $\mu(d \bar{P} d \bar{Q})$. Тогда с точки зрения экспериментатора, которому доступны наблюдения только над данным квантовым объектом, но не над источником воздействия, определяющим значения $\bar{P}, \bar{Q}$ в индивидуальном эксперименте, состояние квантового объекта описывается оператором плотности
\[
\left.S=\int \mid \bar{P}, \bar{Q}\right)(\bar{Q}, \bar{P} \mid \mu(d \bar{P} d \bar{Q}),
\]

представляющим собой усреднение операторов плотности (1.1), соответствующих индивидуальным значенням случайных величин $\bar{P}, \bar{Q}$, по их распределению вероятностей. При этом среднее значение любого измерения $\boldsymbol{M}$

получается усреднением по распределению $\mu(d \bar{P} d \bar{Q})$ средних значений $E_{\bar{P}, \bar{Q}}\{M\}$, отвечающих состояниям (1.1):
\[
\mathrm{E}_{S}\{M\}=\int \mathrm{E}_{\bar{P}, \bar{Q}}\{M\} \mu(d \bar{P} d \bar{Q}) .
\]

В частности, средние значения канонических наблюдаемых в этом состоянии равны средним значениям классического распределения $\mu(d \bar{P} d \bar{Q})$,
\[
\mathrm{E}_{s}(P)=\int \bar{P}_{\mu}(d \bar{P} d \bar{Q}), \quad \mathrm{E}_{s}(Q)=\int \bar{Q}_{\mu}(d \bar{P} d \bar{Q}) .
\]

Состояния вида (1.2) называются квазиклассическими: формула (1.2) определяет аффинное отображение симплекса распределений вероятностей $\mu$ в выпуклое множество квантовых состояний. Можно показать, что это отображение взаимно-однозначно; отсюда вытекает, что не всякое квантовое состояние представимо в виде (1.2), где $\mu$ – распределение вероятностей; в противном случае квантовые состояния образовывали бы симплекс.

Предположим, что объект подвергается большому числу независимых одинаковых случайных воздействий, так что результирующее воздействие характеризуется параметрами $P=\sum_{j=1}^{s} P_{j}, Q=\sum_{j=1}^{s} Q_{j}$, где $\left(P_{j}, Q_{j}\right)$ – независимые одинаково распределенные пары случайных величин. Тогда в силу классической центральной предельной теоремы распределение $\mu(d \bar{P} d \bar{Q})$ будет близко к гауссовскому, а в пределе $s \rightarrow \infty$ будет равно ему. Получаемые таким образом состояния являются частным случаем гауссовских состояний, которые будут подробно изучены в настоящей главе.

Введем комплексную переменную $\zeta=\frac{\omega \bar{Q}+i \hbar P}{\sqrt{2 \hbar \omega}}$ (см. §II.11) и рассмотрим специальное квазиклассическое гауссовское состояние
\[
\left.\left.S=\frac{1}{\pi N} \int \right\rvert\, \zeta\right)\left(\zeta \mid e^{-1 \zeta \mid 2 / \bar{N}} d^{2} \zeta .\right.
\]

Вещественный параметр $\vec{N}$, как мы сейчас покажем, равен среднему эначению наблюдаемой числа квантов $N$ (III.10.9). Вычислим матричные элементы оператора $S$

в базисе $\{\mid n)\}$ из собственных векторов оператора $N$. Имеем
\[
(n|S| m)=\frac{1}{\pi \bar{N}} \int(n \mid \zeta)(\zeta \mid m) e^{-\left.1 \zeta\right|^{2} / \bar{N}} d^{2} \zeta ;
\]

учитывая формулу (III.11.6) и полагая $\zeta=r e^{\ell \varphi}$, получаем
\[
\begin{array}{l}
(n|S| m)=\frac{1}{\pi N} \int_{0}^{2 \pi} e^{i(n-m) \varphi} d \varphi \int_{0}^{\infty} r d r \cdot r^{n+m} e^{-r^{2} \frac{\bar{N}+1}{\bar{N}}}= \\
=\delta_{n m} \cdot \frac{1}{\bar{N}+1}\left(\frac{N}{N+1}\right)^{n} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что оператор $S$ диагонален в представгении Фока, а именно
\[
\left.\left.S=\frac{1}{\bar{N}+1} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\bar{N}}{\bar{N}+1}\right)^{n} \right\rvert\, n\right)(n \mid .
\]

Вычисляя среднее значение наблюдаемой числа квантов
\[
\frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{N}{N+1}\right)^{n},
\]

убеждаемся, что оно совпадает с $\vec{N}$.
В статистической физике большую роль играют так называемые гиббсовские состояния, которые определяются следующим образом. Если энергия обекта может принимать дискретный ряд значений $\left\{E_{n}\right\}$, то гиббсовское состояние является смесью чистых состояний с определенными значениями энергии, причем вес состояния, отвечающего значению $E_{n}$, пропорционален $e^{-E_{n} / k T}$. Здесь $T$ – физический параметр, имеющий смысл температуры, $k$ – коэффициент пропорциональности (постоянная Больцмана). В статистической физике показывается, что гиббсовское состояние – это равновесное состояние, к которому приходит объект в результате неограниченно долгого взаимодействия с бесконечной средой (термостатом), поддерживаемой при постоянной температуре $T$. Учитывая, что для гармонического осциллятора $E_{n}=$ $=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right)$, получаем, что состояние (1.3) является гиббсовским для гармонического осциллятора с частотой $\omega$

при температуре $T$, если положить
\[
N=\frac{1}{j^{\pi / / k T}-1} \text {. }
\]

Принято говорить, что состояние (1.3) описывает ктепловой шум» квантового осциллятора, находящегося в состоянии теплового равновесия с термостатом при температуре $T$. Средние значения канонических наблюдаемых в этом состоянии равны нулю, так как гауссовское распределевие в (1.3) имеет нулевое среднее.

Предположим, что осциллятор, находящийся в состоянии теплового равновесия, подвергается внешнему воздействию, описываемому оператором $W_{\bar{a}}$, где $a$-«комплексная амплитуда воздействия (см. § III.11). Тогда его состоянием будет
\[
S_{\bar{a}}=W_{\bar{a}} S W_{\bar{a}} .
\]

Учитывая (III.11.1), получаем
\[
\left.\left.S_{\bar{a}}=\frac{1}{\pi N} \int \right\rvert\, \zeta\right)\left(\zeta \mid e^{-|\zeta-\bar{a}|^{2} / \bar{N}} d^{2 \xi},\right.
\]

так тто канонические наблюдаемые принимают ненулевые значения, зависящие от амплитуды воздействия а (именно, $\left.E_{S}(Q)=\sqrt{\frac{2 \pi}{\omega}} \operatorname{Re} a, E_{s}(P)=\sqrt{\frac{2 \omega}{\hbar}} \operatorname{Im} a\right)$.

Состояния (1.6) и их многомерные аналоги используются в квантовой оптике для описания излучения оптических квантовых генераторов (лазеров). Известно, что электромагнитное поле математически эквивалентно бесконечному набору осцилляторов. Для наших целей можно ограничиться конечньм набором осцилляторов с частотами $\omega_{j} ; j=1, \ldots$, s. Пусть $P_{j}, Q_{j} ; j=1, \ldots, s$-канонические наблюдаемые такого кполя иялучения». Тогда мфоновое тепловое излучение в отсутствие внешних источников описывается оператором плотности
\[
S=\bigotimes_{j}(),
\]

где $S^{(n)}$-гиббсовское состояние (1.3) -го осциллятора со средним числом квантов $\vec{N}_{j}=\left(e^{n \omega j / k T}-1\right)^{-1}$. Воздействие источника на поле, находящееся в состоянии $S$, приводит х ивменению состояния излучения. Если принять простейшую модель воздействия (1.5), то результирующее состояние излучения будет определяться оператором плотности
\[
S_{\bar{a}}=\bigotimes_{j} S_{a_{j}}^{(l)}
\]

где $S_{a_{j}}^{(n)}$-состояния вида (1.6) для $i$-го осциллятора. Многомерный параметр $\overline{\boldsymbol{a}}=\left[\bar{a}_{f}\right]$ характеризует источник излучения. Подобная модель применяется для описания излучения лазерного источника.

Состояния типа (1.7), (1.8) обладают привлекательными аналитическими свойствами, представляющими интерес как для физических моделей, так и чисто в математическом плане. Поскольку все эти свойства в конечном счете обусловлены «гауссовостью состояния, нам будет удобно принять более общую точку зрения и отвлечься от конкретного вида состояний излучения (1.7), (1.8). В этой главе мы введем и изучим общий класс квантовых гауссовских состояний, обладающих замечательными аналогиями с гауссовскими распределениями теории вероятностей.