В примерах из $\S 5,6$ мы нашли наилучшие несмещенные измерения параметров среднего значения гауссовского состояния в случае одной степени свободы. В однопараметрическом случае для этого использовалось неравенство (2.9), основанное на симметричной логарифмической производной, а в двухпараметрическом – неравенство

(6.2), основанное на правой логарифмической производной. Общим в обоих случаях является то, что наблюдаемые, определяющие наиболее точное измерение, являются л и не й ным и функциями канонических наблюдаемых $P, Q$.

Теперь нашей задачей будет обобщение этих результатов на произвольные гауссовские состояния для любого конечного числа степеней свободы. Мы покажем, что в общем случае равномерно наилучшее несмещенное измерение параметров среднего значения гауссовского состояния находится в классе канонических измерений, который будет описан в этом параграфе. Грубо говоря, канонические измерения соответствуют линейным функциям канонических наблюдаемых, однако с учетом возможной некоммутативности компонент, как в (6.13). С этим существенным дополнением теорему, которую мы докажем в $\S 9$, можно рассматривать как некоммутативный аналог известного результата математической статистики, утверждающего, что наилучшие несмещенные оценки параметров среднего зңачения гауссовского распределения являются линейными функциями от наблюдений.

Пусть $(Z, \Delta)$ – симплектическое пространство и $z \rightarrow V(z)$ неприводимое представление канонических коммутационных соотношений в $\mathscr{K}$. Измерение $M\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ параметра $\theta=\left[\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right]$ назовем каноническим, если для любого состояния $S$ в $\mathscr{K}$ с конечными вторыми моментами
1) измерение $\boldsymbol{M}$ имеет конечные вторые моменты, так что определены величины
\[
\begin{array}{l}
\theta_{0 j}=\int \theta_{j} \mu_{S}\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right) ; \\
b_{j k}=\int\left(\theta_{j}-\theta_{0 j}\right)\left(\theta_{k}-\theta_{0 k}\right) \mu_{S}\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right) ; \quad j, k=1, \ldots, n ;
\end{array}
\]
2) элементы $X I_{M}=\int \theta_{j} M\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ из $\mathscr{L} h(S)$ лежат в подпространстве канонических наблюдаемых $\mathfrak{N}$, так что
\[
X_{M}^{\prime}=R\left(z_{j}\right) ; \quad j=1, \ldots, n ;
\]
3) числа $x_{j k}=b_{f k}-\alpha\left(z_{j}, z_{k}\right)$, где $\alpha$-корреляционная функция состояния $S$, не зависят от выбора $S$.
Из общего неравенства (7.5) тогда вытекает, что
\[
\left[x_{j k}\right] \geqslant \pm \frac{i}{2}\left[\Delta\left(z_{j}, z_{k}\right)\right] .
\]

Набор элементов $z_{1}, \ldots, z_{n}$ и симметричная матрица чисел $\left[x_{f k}\right]$ называются параметрами канонического измерения.

Предложение 8.1. Пусть $z_{1}, \ldots, z_{n}$ – произвольные элементы из $Z,\left[x_{f k}\right]$-симметричная матрица, удовлетворяющая условию (8.1). Тогда сущестөует каіюническое измерение с параметрами $z_{1}, \ldots, z_{n} ;\left[x_{j k}\right]$.

Мы дадим доказательство при упрощающем предположении, что $z_{1}, \ldots, z_{n}$ образуют базис в $Z$.

Доказательство. Помимо представления $z \rightarrow V(z)$ канонических коммутационных соотношений в пространстве $\mathscr{K}$, рассмотрим представление $z \rightarrow V_{0}(z)$ в пространстве $\mathscr{H}_{0}$, отвечающее кососимметричной форме $\Delta_{0}\left(z, z^{\prime}\right)=$ $=-\Delta\left(z, z^{\prime}\right)$, так что
\[
V_{0}(z) V_{0}\left(z^{\prime}\right)=e^{-\frac{i}{2} \Delta\left(z_{1} z^{\prime}\right)} V_{0}\left(z+z^{\prime}\right) .
\]

Канонические наблюдаемые $R_{0}(z)$ в $\mathscr{K}_{0}$ удовлетворяют соотношению
\[
\left[R_{0}(z), R_{0}\left(z^{\prime}\right)\right]=i \Delta\left(z, z^{\prime}\right) I_{0} .
\]

Рассмотрим семейство операторов $\tilde{V}(z)=V(z) \otimes V_{0}(z)$; $z \in Z$, в $\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0}$. В силу (V.2.1) и (8.2) оно является коммутирующим, так что $z \rightarrow \tilde{V}(z)$ является унитарным представлением аддитивной группы $Z$. Применяя теорему Стоуна, получаем
\[
\tilde{V}(z)=e^{\imath \tilde{R}(z)},
\]

где $\tilde{R}(z)$ – самосопряженное расширение оператора
\[
R(z) \otimes I_{0}+I \otimes R_{0}(z) .
\]

Так как $\{\tilde{V}(z) ; z \in Z\}$ – коммутирующее семейство, то операторы
\[
\tilde{R}\left(z_{j}\right)=R\left(z_{j}\right) \otimes I_{0}+I \otimes R_{0}\left(z_{j}\right) ; \quad j=1, \ldots, n,
\]

коммутируют и имеют совместную спектральную меру $E\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$. Согласно (8.3)
\[
\tilde{v}\left(\sum_{i} t_{i} z_{l}\right)=\int \exp \left(i \sum_{l} t_{i} \theta_{l}\right) E\left(d \theta_{i} \ldots d \theta_{n}\right) .
\]

Определим в $Z$ билинейную снмметричную форму $x(\cdot, \cdot)$, полагая $x\left(z_{j}, z_{k}\right)=x_{j k}$ (здесь мы используем упрощающее предположение). Из условия (8.1) вытекает, что форма $x$ удовлетворяет условию (V.4.14). Поэтому, согласно теореме V.5.1, $x$ является корреляционной функцией гауссовского состояния $S_{0}$ в $\mathscr{K}$ о с характеристической функцией
\[
\exp \left[-\frac{1}{2} x(z, z)\right] \text {. }
\]

Для любого состояния $S$ в $\mathscr{K}$ формула
\[
\mu_{S}^{R} \otimes S_{0}(B) \equiv \operatorname{Tr} S \otimes S_{0} E(B), \quad B \in \mathcal{A}(\theta),
\]

определяет распределение вероятностей на $\boldsymbol{\theta}$, причем отображение $S \rightarrow \mu_{S \otimes S}^{E}$, является, очевидно, аффинным. Согласно теореме II.2.1, существует измерение $M\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ в $\mathscr{K}$ такое, что
\[
\mu_{S}(B)=\mu_{S}^{E} \otimes S_{0}(B), \quad B \in \mathcal{A t}^{t}(\Theta),
\]

где $\mu_{S}(B)=\operatorname{Tr} S M(B)$ – распределение вероятностей $M$ относительно состояния $S$. Другими словами, $\boldsymbol{M}$ – это измерение, реализацией которого является описанная выше тройка $\left(\mathscr{H}_{0}, S_{0}, \boldsymbol{E}\right)$. Покажем, что $\boldsymbol{M}$ является каноническим измерением с параметрами $z_{1}, \ldots, z_{n} ;\left[x_{j k}\right]$.
Введем характеристическую функцию
\[
\varphi\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=\int \exp i\left(\sum_{j} t_{j} \theta_{j}\right) \mu_{S}\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)
\]

распределения вероятностей $\mu_{S}$. Как известно из теории вероятностей, моменты распределения $\mu_{S}$ связаны с производными $\varphi$, а именно
\[
b_{f k}=-\left.\left[\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t_{j} \partial t_{k}}-\frac{\partial \varphi}{\partial t_{j}} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial t_{k}}\right]\right|_{t_{j}=0} .
\]

В силу (8.5)
\[
\begin{aligned}
\varphi\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=\operatorname{Tr} S \otimes S_{0} \tilde{V} & \left(\sum_{j} t_{j} z_{j}\right)= \\
& =\operatorname{Tr} S V\left(\sum_{i} t_{j} z_{j}\right) \cdot \operatorname{Tr} S_{0} V_{0}\left(\sum_{j} t_{j} z_{j}\right) .
\end{aligned}
\]

В правой части стоит произведение характеристических функций состояний с конечными вторыми моментами. Учитывая (8.7) и аналогичную формулу для корреляционной функции квантового состояния, вытекающую из (V.4.7). получим $b_{j k}=\alpha\left(z_{j}, z_{k}\right)+x_{j k}$, так как
\[
\operatorname{Tr} S_{0} V\left(\sum_{j} t_{j}\right)=\exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{j, k} t_{j} t_{k} x_{j k}\right) .
\]

Остается показать, что $\int \theta_{j} M\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)=R\left(z_{j}\right)$; $j=1, \ldots, n$. В силу линейности соотношения (8.6) по $S$ получаем
\[
\operatorname{Tr} T M(B)=\operatorname{Tr}\left(T \otimes S_{0}\right) E(B)
\]

для любого ядерного оператора $T$. Полагая $T=Y S$, где $Y$ – ограниченный оператор, $S$ – оператор плотности, находим
\[
\langle M(B), Y\rangle_{s}=\langle E(B), Y \otimes I\rangle_{s \otimes s_{*}} .
\]

Отсюда для любой простой функции $f(\cdot)$
\[
\left\langle\int f(\theta) M(d \theta), Y\right\rangle_{s}=\left\langle\int f(\theta) E(d \theta), Y \otimes I\right\rangle_{S \otimes s_{0} \cdot}
\]

Переходя к пределу в среднеквадратичном, получаем
\[
\begin{array}{l}
\left\langle X_{M}^{i}, Y\right\rangle_{S}=\left\langle\int \theta_{j} E(d \theta), Y \otimes I\right\rangle_{S \otimes S_{0}}= \\
=\left\langle\tilde{R}\left(z_{j}\right), Y \otimes I\right\rangle_{s \otimes s_{0}}=\left\langle R\left(z_{j}\right), Y\right\rangle_{s}+\left\langle R_{0}\left(z_{j}\right), I\right\rangle_{s_{0}}= \\
=\left\langle R\left(z_{j}\right), Y\right\rangle_{S}, \\
\end{array}
\]

так как $S_{0}$ имеет нулевое среднее. Поскольку это выполняется для всех ограниченных $Y$, имеем $X_{M}^{\prime}=R\left(z_{j}\right)$ в $\mathscr{L}_{h}^{2}(S)$.

Вернемся к случаю одной степени свободы $P, Q$. Очевидно, что измерение наблюдаемой $Q=\int \theta E(d \theta)$ является каноническим измерением с параметрами
\[
X_{R}^{Q}=Q, \quad x_{Q Q}=0 .
\]

В данном случае вектор $X_{E}^{\mathcal{E}}$ не образует базис в двумерном пространстве канонических наблюдаемых, поэтому конструкиия предложения 8.1 непосредственно неприменима. Однако измерение $Q$ можно рассматривать как «предельный случай измерений
\[
Q \otimes I_{0}+I \otimes Q_{0} \text {, }
\]

где вспомогательная степень свободы описывается состояниями $S_{0}$ с $D_{s_{0}}\left(Q_{0}\right) \rightarrow 0$.

Совместное измерение (6.13) является каноническим измерением с параметрами
\[
\begin{array}{c}
X_{M}^{P}=P, \quad X_{M}^{Q}=Q ; \\
x_{P P}=\frac{1}{2} \sqrt{g_{P} / g_{Q}}, \quad x_{Q Q}=\frac{1}{2} \sqrt{g_{Q} / g_{P}}, x_{P Q}=0 .
\end{array}
\]

В § III. 7 была дана кинематическая интерпретация совместного измерения (6.13) в случае, когда $Q$ является координатой, а $P$ – импульсом квантовой частицы. Здесь

для нас представляет интерес другой случай, когда $P$ и $Q$ возникают из представления квантового электромагнитного поля в виде суммы гармонических компонент
\[
E(t) \sim q \cos \omega t+p \omega^{-1} \sin \omega t,
\]

соответствующих разным частотам $\omega$. Дадим описание мысленного эксперимента, который отвечает совместному каноническому измерению (6.13). Рассмотрим плоскую монохроматическую волну $\boldsymbol{E}(t)$, распространяющуюся в направлении $z$, как показано на рис. 15 . Разлагая ее по двум взаимно ортогональным осям $x, y$, получим
\[
\begin{array}{l}
E_{x}(t) \sim q_{x} \cos \omega t+p_{x} \omega^{-1} \sin \omega t, \\
E_{y}(t) \sim q_{y} \cos \omega t+p_{y} \omega^{-1} \sin \omega t .
\end{array}
\]

Пусть $E(t)=E_{x}(t)$, и предположим, что $E_{y}(t)$ описывается вакуумным состоянием $S_{0}$; физически это означает, что волна поляризована в направлении $x$, а колебания поля вдоль оси $y$ обусловлены лишь неустранимыми квантовыми флуктуациями. Вводя в плоскости $x, y$ новые сси $x^{\prime}, y^{\prime}$, имеем
\[
\begin{array}{l}
E_{x^{\prime}}(t) \sim \frac{q_{x}+q_{y}}{\sqrt{2}} \cos \omega t+\frac{p_{x}+p_{y}}{\sqrt{2}} \omega^{-1} \sin \omega t, \\
E_{y^{\prime}}(t) \sim \frac{q_{x}-q_{y}}{\sqrt{2}} \cos \omega t+\frac{p_{x}-p_{y}}{\sqrt{2}} \omega^{-1} \sin \omega t .
\end{array}
\]

Ортогональные компоненты $E_{x^{\prime}}(t)$ и $E_{y^{\prime}}(t)$ могут быть разделены с помощью двоякопреломляющего фильтра; совместное измерение коммутирующих наблюдаемых
\[
\tilde{p}=p_{x}+p_{y}, \quad \hat{q}=q_{x}-q_{y}
\]

и дает нужную процедуру.
Рассмотрим общее каноническое измерение вида (8.4). Производя симплектическое преобразование в $Z$, можно свести семейство операторов (8.4) к набору пар операторов $\tilde{P}, \tilde{Q}$ типа (6.13); поэтому можно предположить, что всякое каноническое измерение, например, в оптическом диапазоне в принципе может быть реализовано устройством, состоящим из конечного числа линейных оптических фильтров. Было бы интересно более подробно исследовать этот вопрос, однако это выходит за рамки настоящей книги.