Предложение 9.1. Скалярное произведение $\langle\cdot, \cdot\rangle_{s}$ равенствами:
1) $\langle X, X\rangle_{s} \geqslant \frac{l}{2}[X, X]_{s}, \quad X \in \mathscr{L}^{2}(S) ;$
2) $\langle X, X\rangle_{s} \geqslant-\frac{i}{2}[X, X]_{s}, X \in \mathscr{L}^{3}(S)$;
3) $\left\langle X_{1}, X_{1}\right\rangle_{s}+\left\langle X_{2}, X_{2}\right\rangle_{s} \geqslant\left[X_{1}, X_{2}\right]_{s}, X_{1}, X_{8} \in \mathscr{L}_{h}(S)$;
4) $\left\langle X_{1}, X_{1}\right\rangle_{s} \cdot\left\langle X_{2}, X_{3}\right\rangle_{s} \geqslant \frac{1}{4}\left[X_{1}, X_{2}\right]_{s}, X_{1}, X_{3} \in \mathscr{L}_{h}(S)$.
Доказательство. Для проверки 1), 2) достаточно заметить, что
\[
\langle X, X\rangle_{s} \pm \frac{i}{2}[X, X]_{s}=\langle X, X\rangle_{s}^{t} \geqslant 0, \quad X \in \mathscr{L}^{2}(S) .
\]

Полагая $X=X_{1}+i X_{2}$, где $X_{j} \in \mathscr{L} h(S)$, и учитывая (8.8), находим
\[
0 \leqslant\langle X, X\rangle_{\bar{s}}=\left\langle X_{1}, X_{1}\right\rangle_{s}+\left\langle X_{3}, X_{2}\right\rangle_{s}-\left[X_{1}, X_{2}\right]_{s},
\]

откуда вытекает, что 1) равносильно 3). Наконец, подставляя в 3) $t X_{1}$ вместо $X_{1}$, получаем
\[
t^{2}\left\langle X_{1}, X_{1}\right\rangle_{s}-t\left[X_{1}, X_{2}\right]_{s}+\left\langle X_{3}, X_{2}\right\rangle_{s} \geqslant 0, \quad-\infty<t<\infty,
\]
что равносильно 4).

Из неравенства 4) легко получается соотношение неопределенностей для наблюдаемых сконечным вторым моментом. Если $X$ такая наблюдаемая, которая задается плотно определенным симметричным оператором со спектральным разложением $X=$ $=\int \lambda M(d \lambda)$, тo
\[
\begin{array}{c}
E_{s}(X)=\langle\mathrm{I}, X\rangle_{s}, \\
D_{s}(X)=\left\langle X-E_{s}(X), X-E_{S}(X)\right\rangle_{s} .
\end{array}
\]

Докажем, например, второе соотношение. Учитывая (4.14) и (8.3), имеем
\[
\begin{array}{l}
D_{s}(X)=\int\left(\lambda-E_{s}(X)\right)^{2} \mu_{s}(d \lambda)= \\
=\sum_{j} s_{j} \int\left(\lambda-E_{s}(X)\right)^{2}\left(\psi_{j} \mid M(d \lambda) \psi_{j}\right)= \\
=\sum_{j} s_{j}\left(\left(X-E_{s}(X)\right) \psi_{j} \mid\right.\left.\left(X-E_{s}(X)\right) \psi_{j}\right)= \\
=\left\langle X-E_{s}(X), X-E_{s}(X)\right\rangle_{s}
\end{array}
\]

причем все переходы законны в силу конечности второго момента.

Пусть $X_{1}, X_{2}$ – две такие наблюдаемые. Применяя 4) к $X_{1}-E_{s}\left(X_{1}\right), \quad X_{2}-E_{s}\left(X_{2}\right)$ и учитывая (8.9), получаем обобщение соотношения неопределенностей (6.7) в виде
\[
\mathrm{D}_{S}\left(X_{1}\right) \cdot \mathrm{D}_{S}\left(X_{2}\right) \geqslant \frac{1}{4}\left[X_{1}, X_{2}\right]_{s} .
\]

Из доказательства предложения 9.1 легко усмотреть, что равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда для некоторого вещественного $c$ X $X_{1}-E_{s}\left(X_{1}\right)+$ $+i c\left(X_{2}-E_{S}\left(X_{2}\right)\right)=0$ в $\mathscr{L}^{2}(S)$, т. е.
\[
\left[\left(X_{1}-E_{S}\left(X_{1}\right)\right)+i c\left(X_{2}-E_{S}\left(X_{2}\right)\right)\right] S=0 .
\]
[กл. $\mathbf{n}$
Неравенство (9.3) относится к измерениям, которые задаются спектральными мерами наблюдаемых. Получим теперь обобщение соотношения неопределенностей на произвольные вещественные измерения.

В теории вероятностей элементами пространства $\mathscr{L} 2$ являются случайные величины с конечными вторыми моментами. В некоммутативном случае имеет место аналогичное соответствие между элементами пространства $\mathscr{L} h(S)$ и вещественными измерениями с конечными вторыми моментами. Пусть $\boldsymbol{M}=\{\boldsymbol{M}(d x)\}$ – измерение, имеющее конечный второй момент относительно состояния $S$,
\[
\int x^{2} \mu_{s}(d x)<\infty,
\]

где $\mu_{S}(d x)=\operatorname{Tr} S M(d x)$. Для такого измерения определены среднее и дисперсия (6.1). Покажем, что интеграл
\[
X_{M}=\int x M(d x)
\]

сходится в $\mathscr{L}(S)$ и определяет элемент этого пространства. Эту формулу можно рассматривать как некоторое обобщение спектрального соответствия на произвольные разложения единицы; если $\boldsymbol{M}$-спектральная мера, то $\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{M}}$ является классом эквивалентности соответствующей наблодаемой.
Определим интеграл
\[
\int f(x) M(d x)
\]

сначала для простых веще твенных функций вида $f(x)=$ $=\sum_{f} f_{j} 1_{B_{j}}(x)$ как
\[
\int f(x) M(d x)=\sum_{i} f_{i} M\left(B_{j}\right) .
\]

Имеет место неравенство
\[
\left[\int f(x) M(d x)\right]^{2} \leqslant \int f(x)^{2} M(d x) .
\]

В самом деле, для простой $f$ это означает, что
\[
\left[\sum_{i} f_{j} M\left(B_{j}\right)\right]^{2} \leqslant \sum_{l} f_{j} M\left(B_{j}\right),
\]

и непосредственно следует из очевидного неравенства
\[
\sum_{j}\left[f_{f}-\sum_{k} f_{k} M\left(B_{k}\right)\right] M\left(B_{j}\right)\left[f_{j}-\sum_{k} f_{k} M\left(B_{k}\right)\right] \geqslant 0 .
\]

Умножая (9.5) на $S$ и беря след, получаем
\[
\left\langle\int f(x) M(d x), \quad \int f(x) M(d x)\right\rangle_{s} \leqslant \int f(x)^{2} \mu_{s}(d x) .
\]

Пусть теперь $\left\{f_{n}\right\}$ – последовательность простых функций, которая сходится к некоторой функции $f$ в среднеквадратичном по мере $\mu_{s}(d x)=\operatorname{Tr} S M(d x)$,
\[
\int\left(f_{n}(x)-f(x)\right)^{2} \mu_{s}(d x) \rightarrow 0 .
\]

Тогда из неравенства (9.6), примененного к $f_{n}-f_{m}$, вытекает, что последовательность ограниченных операторов $\left\{\int f_{n}(x) M(d x)\right\}$ является фундаментальной в $\mathscr{L}_{h}(S)$. Предел этой последовательности является элементом $\mathscr{L} h(S)$, который обозначается символом (9.4). Очевидно, что неравенство (9.6) сохраняется для любой $f$, квадратичноинтегрируемой по мере $\mu_{s}(d x)$. Мы доказали

Предложение 9.2. Дая любой вещественнои $f \in$ $\in \mathscr{L}^{2}\left(\mu_{s}\right)$ интеграл (9.4) определен как предел последовательности $\left\{\int f_{n} M(d x)\right\}$, аде $\left\{f_{n}\right\}$ – любая последовательность простьх функций, сходящался к $f$ в $\mathscr{L}^{2}\left(\mu_{s}\right)$. Для мюбой $f \in \mathscr{L}^{2}\left(\mu_{s}\right)$ имеет место неравенстоо (9.6).

Если в качестве $f$ брать вомплексные функции, то $\int f(x) M(d x)$ будет уже элементом пространств $\mathscr{L}^{2}(S)$, $\mathscr{L}_{ \pm}(S)$, а неравевство (9.6) заменится на
\[
\left\langle\int f(x) M(d x), \quad \int f(x) M(d x)\right\rangle_{s}^{ \pm} \leqslant \int|f(x)|^{2} \mu_{S}(d x) .
\]

Отметим также формулу
\[
\int f(x) \mu_{S}(d x)=\left\langle 1, \int f(x) M(d x)\right\rangle_{s},
\]

которая очевидна для простых $f$ и получается стандартным предельным переходом для $f \in \mathscr{L}^{2}\left(\mu_{s}\right)$. В частности, полагая $f(x)=x$, получаем аналог формулы (9.1):
\[
E_{s}\{M\}=\left\langle 1, X_{M}\right\rangle_{s} \text {. }
\]

Полагая в (9.5) $f(x)=x-\mathrm{E}_{s}\{M\}$, получаем неравенство
\[
D_{s}\{M\} \geqslant\left\langle X_{M}-E_{s}\{M\}, X_{M}-E_{s}\{M\}\right\rangle_{s} .
\]

Согласно (9.2), равенство здесь имеет место, если $\boldsymbol{M}$ спектральная мера плотно определенного симметричного оператора $X=X_{M}$.

Используя неравенства (9.8) и 4), получаем наиболее обіую форму соотнонения неопределенностей
\[
\left.D_{s}\left\{M_{1}\right\} \cdot D_{S}\left\{M_{2}\right\} \geqslant \frac{1}{4}\left[X_{M_{1}}, X_{M_{2}}\right]\right\},
\]

справедливую для любых измерений с конечными вторыми моментами. Отметим, что это неравенство уже может быть отнесено и к совместным нзмерениям, когда $M_{1}\left(d x_{1}\right), M_{2}\left(d x_{2}\right)$ суть маргинальные измерения по отношению к совместному измерению $M\left(d x_{1}, d x_{2}\right)$.