Пусть $z \rightarrow V(z)$ – неприводимое представление канонического коммутационного соотношения в пространстве $\mathscr{H}$ и $S$-состояние в $\mathscr{K}$. Рассмотрим гильбертово пространство $\mathscr{L}^{2}(S)$, ассоциированное с состоянием $S$.
Лемма 6.1. Система $\{V(z) ; z \in Z\}$ замкнута в $\mathscr{L}^{2}(S)$. Доказательство. Пусть $X \in \mathscr{L}^{2}(S)$ таков, что
\[
\langle V(z), X\rangle_{S}=0, z \in Z .
\]

Так как $\mathscr{L}^{2}(S)$ является комплексификацией вещественного пространства $\mathscr{L}_{3}^{h}(S)$, то $X=X_{1}+i X_{2}$, где $X_{j} \in$ $\in \mathscr{L}_{h}(S)$. В силу предложения II.8.1, операторы $X_{j} \sqrt{S}$ и $\sqrt{S} X_{j}=\left(X_{j} \sqrt{S}\right)^{*}$ являются операторами Гильсерта Шмидта. Поэтому $S \cdot X=S \cdot X_{1}+i S \cdot X_{2}$ является ядерным оператором и (6.1) можно записать в виде
\[
\operatorname{Tr} V(z)(S \cdot X)=0, \quad z \in Z .
\]

Таким образом, $\mathscr{F}_{z}[S \cdot X] \equiv 0$; по формуле обращения (3.7) имеем $S \cdot X=0$. Поэтому для любого ограннченного $Y$, согласно формуле (II.8.5),
\[
\langle Y, X\rangle_{s}=\operatorname{Tr} Y^{*}(S \cdot X)=0,
\]

так что $X=0$ в $\mathscr{L}^{2}(S)$.
Если состояние $S$ имеет конечные вторые моменты, то $R(z) \in \mathscr{L}^{2}(S)$ для всех $z \in Z$. Обозначим через $\Re$ подпространство $\mathscr{L}_{h}(S)$, порождаемое операторами вида
\[
c+R(z) ; \quad c \in \mathbb{R}, \quad z \in Z .
\]

Если $\mathfrak{R}_{0}$ – одномерное подпространство $\mathfrak{H}$, натянутое на единичный оператор, то $\mathfrak{R}=\mathfrak{R}_{0} \oplus \Re_{1}$, где $\mathfrak{R}_{2}$ – пространство операторов вида
\[
R(z)-m(z), \quad z \in Z,
\]

где $m(z)$ – среднее значение состояния. Это видно из того, что $\langle R(z)-m(z), \quad I$ г $=m(z)-m(z)=0$. В силу (4.9) отобрамсение
\[
z \rightarrow R(z)-m(z)
\]

является изометрией евклидова пространства $(Z, \alpha)$ на подпространство $\mathfrak{H}_{1} \subset \mathscr{L}_{h}(S)$.

Обозначим через $\mathfrak{D}_{1}$ ограничение коммутационного оператора $D$ состояния $S$, определяемого формулой (II.10.4), на подпространство $\Re_{1}$, так что
\[
[Y, X]_{s}=\left\langle Y, \mathscr{D}_{1} X\right\rangle_{s} ; \quad X, Y \in \Re_{1} .
\]

Учитывая определение (2.7) оператора $\mathscr{D}$, перепишем (4.12) в виде
\[
\alpha\left(z, \mathscr{D} z^{\prime}\right)=\left\langle R(z)-m(z), \mathfrak{D}\left(R\left(z^{\prime}\right)-m\left(z^{\prime}\right)\right)\right\rangle_{s} ; \quad z, z^{\prime} \in Z .
\]

Это означает, что при изометрии (6.2) оператор $\mathscr{D}$ переходит в $\mathfrak{D}_{1}$, т. е.
\[
R(\mathscr{V} z)-m(\mathscr{V} z)=\mathfrak{D}_{1}(R(z)-m(z)) .
\]

Tеорема 6.1. Состояние $S$ с конечными вторыми моментами является гауссовским тогда и только тогда, когда подпространство $\Re$ (или $\Re_{1}$ ) является инвариант. ным подпространством коммутацнонного оператора $\mathfrak{D}$.

Доказательство. Заметим, что $\mathfrak{D}\left(\mathfrak{R}_{0}\right)=[0]$ в силу (II.10.6); поэтому иввариантность подпространства $\mathfrak{R}_{1}$ эквивалентна инвариантности $\mathfrak{R}$.

Пусть $S$-гауссовское состояние. Мы покажем, что $\mathfrak{D}=\mathfrak{T}_{1}$ на $\mathfrak{R}_{1}$ и, таким образом, $\mathfrak{R}_{1}$ является инвариантным подпространством оператора $\mathfrak{D}$. Согласно (6.3) нам нужно показать, что
\[
\mathcal{I}(R(z)-m(z))=R(\mathscr{V} z)-m(\mathscr{V} z), \quad z \in Z .
\]

В силу определения коммутационного оператора и того факта, что $\mathfrak{D}(\mathrm{I})=0$, это равносильно равенству
\[
[X, R(z)]_{s}=\langle X, R(\mathscr{V} z)-m(\mathscr{D} z)\rangle_{s}, \quad X \in \mathscr{L}^{2}(S) .
\]

В силу леммы 5.1, достаточно проверить это равенство для $X=V(-\omega)$. Но из (4.16), (II.8.7) следует
\[
[V(-w), R(z)]_{s}=i \Delta(w, z) \mathscr{F}_{w}[S],
\]

а из (4.15), (II.8.5)
\[
\langle V(-w) . R(z)\rangle_{s}=-i
abla_{z^{\mathscr{F}}}[S] .
\]

Таким образом, достаточно гроверить, что характеристическая функция гауссовского состояния $\mathscr{F}_{w}[S]=$

\[
\begin{aligned}
= & \exp \left[i m(w)-\frac{1}{2} \alpha(w, w)\right] \text { удовлетворяет соотношенио } \\
& -i \Delta(z, w) \mathscr{F}_{w}[S]=-\left[i
abla_{\mathscr{V} z}+m(\mathscr{V} z)\right] \mathscr{F}_{w}[S], \quad \text { (6.6) }
\end{aligned}
\]

что легко устанавливается непосредственным вычислением с учетом определения оператора $\mathscr{D}$.

Докажем достаточность. Пусть $\mathfrak{I}\left(\mathfrak{R}_{1}\right) \subset \mathfrak{R}_{1}$. Тогда $\mathcal{D}(R(z)-m(z))=R\left(\mathscr{D}_{1} z\right)-m\left(\mathscr{D}_{1} z\right)$, где $\mathscr{V}_{1}-$ некоторый линейный оператор в $Z$. Обозначая через $\alpha$ корреляционную функцию состояния $S$, имеем
\[
\begin{aligned}
\alpha\left(z, \mathscr{D}_{1} w\right)=\langle R(z)-m(z), D(R(w)-m(w))\rangle_{s} & = \\
& =[R(z)-m(z), R(w)-m(w)]_{s}=\Delta(z, w),
\end{aligned}
\]

так что $\mathscr{D}_{1}=\mathscr{D}$, где $\mathscr{V}$ определяется соотношением (2.7). Таким образом, выполняется (6.4) и, следовательно, характеристическая функция состояния $S$ удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.6). Оператор $\mathscr{D}$ невырожден, так что, заменяя $z$ на $\mathscr{D}^{-1} z$ в (6.6), мы получим
\[
-\alpha(w, z) \mathscr{F}_{w}[S]=\left[
abla_{z}-i m(z)\right] \mathscr{F}_{w}[S] .
\]

Пусть $\left\{z_{j}\right\}$-ортонормированный базис в евклидовом базисе. Уравнение (6.7) в координатной форме имеет вид
\[
\left[\frac{\partial}{\partial w_{j}}-i m\left(z_{j}\right)\right] \mathscr{F}_{w}[S]=-w_{j} \mathscr{F}_{w}[S], \quad j=1, \ldots, 2 s .
\]

Единственным решением этого уравнения, удовлетворяющим условию $\mathscr{F}_{0}[S]=1$, является $\exp \left[i \sum_{j} w_{j} m\left(z_{j}\right)-\right.$ $\left.-\frac{1}{2} \sum w_{f}^{s}\right]=\exp \left[\operatorname{im}(w)-\frac{1}{2} \alpha(w, w)\right]$. Теорема доказана.

Примечание. Пусть $S_{m}$-гауссовский оператор плотности со средним $m$ и корреляционной функцией $\boldsymbol{\alpha}$. Рассмотрим соотношение (6.5) для ограниченных $X$. Из (II.8.5), (II.8.7) тогда вытекает
\[
i\left[R(z), S_{m}\right]=(R(\mathscr{V} z)-m(\mathscr{D} z)) \cdot S_{m},
\]

где $\mathscr{O}$-оператор, определяемый соотношением (2.7).
Рассмотрим теперь семейство $\left\{S_{0}\right\}$ гауссовских состояний с фиксированной корреляционной функцией $\alpha$ и средним значением вида
\[
m(z)=\sum_{j=1}^{n} \theta_{j} m_{j}(z),
\]

где $\theta=\left[\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right] \in \mathbb{R}^{n}$ – произвольный вещественный вектор, $m_{j}(z)$ – фиксированные линейные функции на $Z$. Введем элементы $m_{j} \in Z$, определяемые соотношением
\[
m_{j}(z)=\alpha\left(m_{j}, z\right), \quad z \in Z .
\]

Предложение 6.1. Семейство $\left\{S_{\theta}\right\}$ сильно дифференцируемо как функция со значениями в пространстве $\mathfrak{I}^{1}(\mathscr{H})$ ядерных операторов, и
\[
\frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta_{j}}=i\left[R\left(\mathscr{D}^{-1} m_{j}\right), S_{0}\right]=\left(R\left(m_{j}\right)-m\left(m_{j}\right)\right) \cdot S_{0} .
\]

Доказательство. Воспользовавшись формулой (5.6), мы можем написать
\[
S_{\theta}=V\left(\sum_{j} \theta_{j} \mathscr{D}^{-1} m_{j}\right) S_{0} V\left(\sum_{j} \theta_{j} \mathscr{D}-1 m_{j}\right)^{*} .
\]

Давая параметру $\theta$, приращение $t$, имеем
\[
S_{1}+t t_{j}=e^{i t R\left(\mathscr{S}^{-1} m_{j}\right)} S_{0} e^{-i t R\left(\mathscr{S}^{-1} m_{j}\right),}
\]

где $\boldsymbol{\delta}_{j}$-вектор, все компоненты которого равны нулю, кроме $f$-й, равной единице. Таким образом, $S_{t}=S_{t}+t_{j}$; $t \in \mathbb{R}$, является однопараметрическим семейством состояний вида (III.2.2), причем инфинитезимальный оператор $R\left(\mathscr{D}^{-1} m_{j}\right)$ уннтарной группы $\exp i t R\left(\mathscr{D}^{-1} m_{j}\right) ; t \in \mathrm{R}$, принадлежит $\mathscr{L}^{2}(S)$, так что выполнены все условия предложения VI.2.1, которое будет доказано в следующей главе. Из него вытекяет сильная дифференцируемость семейства и равенство (III.2.3), которое в данном случае переходит в первое из равенств (6.9). Второе получается из формулы (6.8).

В качестве примера рассмотрим квазиклассические состояния осциллятора с характеристической функцией (5.3), где роль параметров $\left[\theta_{j}\right]$ играют средние значения $P, \bar{Q}$. Тогда $z$ является двумерным вектором с компонентами $x, y$,
\[
\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=x y^{\prime}-x^{\prime} y
\]
โกл $\mathbf{v}$
а среднее значение и корреляционная функция даются формулами

Отсюда
\[
m(z)=P_{x}+Q y, \alpha(z, z)=\sigma_{p}^{2} x^{2}+\sigma_{Q}^{2} y^{2} .
\]
\[
m_{P}=\frac{1}{\sigma_{P}^{2}}\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right], \quad m_{Q}=\frac{1}{\sigma_{Q}^{2}}\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right],
\]

так что
\[
\begin{array}{c}
R\left(m_{P}\right)-m\left(m_{P}\right)=\sigma_{P}^{2}(P-\bar{P}), \\
R\left(m_{Q}\right)-m\left(m_{Q}\right)=\sigma_{Q}^{2}(Q-\bar{Q}) ; \\
\mathscr{D}=\left[\begin{array}{cc}
0 & \sigma_{P}^{-2} \\
-\sigma_{Q}^{-2} & 0
\end{array}\right],
\end{array}
\]

и соотношения (6.9) приобретают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial S_{\bar{P}, \bar{Q}}}{\partial \tilde{P}}=i\left[Q, S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right]=\sigma_{\bar{P}^{*}}(P-\bar{P}) \cdot S_{\bar{P}, \bar{Q}} \\
\frac{\partial S_{\tilde{P}, \bar{Q}}}{\partial \tilde{Q}}=-i\left[P, S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right]=\sigma^{2}(Q-\bar{Q}) \cdot S_{\bar{P}, \bar{Q}}
\end{array}
\]

Соотношение (6.4) переходит в
\[
\mathfrak{D}(P)=-\sigma_{Q}^{2}(Q-\bar{Q}), \quad \mathfrak{D}(Q)=\sigma_{\vec{P}}^{2}(P-\vec{P}) .
\]

Комментарии к гл. V
5. 1 Формула (1.2) дает так называемое $P$-представление Глаубера [33] (см. также Клаудер и Сударшан [49]). Квантованне электромагнитного поля, т. е. представменне его в внде бесконечного набора квантовых осцилляторов в форме, удобной для примененнй в квантовой оптике, описывается в книгах Люнселла [63], Клаудера, Сударшана [49], Хелстрома [109]. Там же можно найтн обсуждение равновесного состояния поля и состояния ксигнал плюс шум».
8 2. Бескоординатный подход к каноническим коммутационньм соотношенням для полей разработан Сигалом [91] (случай конечного чвсла степеней свободы подробно рассмотрен Кастлером [46]). По поводу симплектических пространств и прнведення к каноническому виду кососимметричной матрици, см. Мальдев [66].
5 3. В случае бесконечного чнсла степеней свободы аналог теоремы Стоуна – фон Неймана уже не нмеет места (Сигал [91]). С этим связаны некоторые красходимости в теории квантовых полей. Математнчески строгое изложение проблематики этой теории дается в книге

Боголобова, Логунова, Тодорова [14ј. Преобразованне Вейля [24] и обратное преобразование изучали Лупиас и Миракль-Соль [61], Пул [84], Холево [111].

Примененне преобразования Вей.я позволяет нанболее выпукло выявить аналогин и различия между класснческой и квантовыми механиками (см. Широков [137]).
§ 4. Характернстическая функцня состояння была введена (для полей) Сигалом [90], который обобщил частную конструкцию Мой эла [70].
8 5. Общее определенне гауссовского состояния (для полей) было дано Манюсо и Вербером [69]. В теории поля такие состояния называются квази- или обобщенно свободньми. В квавтовой статистике нмеет место векоммутативный аналог центральной предельной теоремы, в котором роль предельньх законов нгракт гауссовские состояния (см. Кашен и Хадсон [47]).

Доказательство упомянулого результата Шура см. в задачнике Полна и Сегё [81], отд. VII, задача 36.
8 6. Характернстическое свойство гауссовских состояний установлено автором [121], [123].