Каноническое коммутационное соотношение (3.2) и его обобщения играют фундаментальную роль в квантовой теории.

Всякое конкретное семейство унитарных операторов $(x, v) \rightarrow W_{x, \text { в }}$ в конкретном гильбертовом пространстве $\mathscr{\mathscr { C }}$, удовлетворяющее соотношению (3.2), называется предстаялением канонического коммутационного соотношения Вейля – Сигала. Имеет место важный результат, полученный Стоуном и фон Нейманом.

Теорема 5.1. Всякие два непрерывных неприводимьх представления $(x, v) \rightarrow W_{x, 0}^{(0)} j=1,2$, канонического коммутационного сооткошения унитарно эквивалентны, $\boldsymbol{\text { m }}$. $е$. $W_{x, 0}^{(s)}=U^{*} W_{x, d}^{\prime \prime}, U$, где $U$ – ияометринный оператор, отобраэсающий пространство $\mathscr{Y}$, представления $(x, v) \rightarrow W_{x, v}^{(s)}$ на пространство $\mathscr{K}_{1}$ представления $(x, v) \rightarrow W_{x, 0}$.

Всякое кепрерывное представление канонического комиутационного соотношения является дискретной прямой суммой неприводимых представлений.

Из этих утверждений вытекает, что всякое непрерывное представление унитарно эквивалентно представлению вида
\[
(x, v) \rightarrow\left[\begin{array}{lll}
\boldsymbol{W}_{x}^{(0)}, 0 & & 0 \\
0 & \boldsymbol{W}_{x, 0}^{(0)} & 0
\end{array}\right],
\]

где $(x, v) \rightarrow W_{x, 0}^{(0)}$ – фиксированное неприводимое представление. Таким образом, каноническое коммутационное соотношение по существу однозначно описывает кинематику (нерелятивистского) квантового объекта с одной степенью свободы, для данного значения параметра $\mu$.

Мы докажем эту теорему в гл. V. Согласно ей достаточно построить хотя бы одно представление канонического коммутационного соотношения. Рассмотрим пространство $\mathscr{K}=\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$ комплексных квадратичноинтегрируемых функций на $\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$ и семейство унитарных операторов в $\mathscr{K}$, действующих на функцию $\Psi$ по формуле
\[
W_{\$, p q} \Psi(\xi)=\exp \left[i \mu v\left(\xi-\frac{x}{2}\right)\right] \Psi(\xi-x) .
\]

Легко убедиться, что операторы $W_{x, v}$ удовлетворяют соотношению (3.2) и что семейство $(x, v) \rightarrow W_{x, \text { о }}$ непрерывно. Чтобы установить неприводимость, рассмотрим однопараметрические подгруппы $\left\{V_{x}\right\},\left\{U_{v}\right\}$, дейстующие по формулам
\[
\begin{array}{l}
V_{x} \psi(\xi)=\psi(\xi-x), \\
U_{v} \psi(\xi)=e^{j \mu v \xi} \psi(\xi) .
\end{array}
\]

Пусть $\mathscr{L} \subset \mathscr{K}, \mathscr{L}
eq[0], \mathscr{K},-$ инвариантное подпространство. Из того, что $\mathscr{L}$ является инвариантным подпространством группы $\left\{U_{v}\right\}$, следует, тто существует подмножество $B \subset \mathbb{R}$ ненулевой лебеговой меры, дополнение к которому также имеет ненулевую лебегову меру, такое, что носители всех функций из $\mathscr{L}$ содержатся в $B$. Однако такое подпространство не может быть инвариантным подпространством группы сдвигов $\left\{V_{x}\right\}$.

Представление (5.1) каноннческого коммутационного соотношения в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$ называется представлением Шредингера. Иэ формул (5.2), (5.3), учитывая, что $V_{x}=$ $=e^{-i x P}, \quad U_{0}=e^{\lambda \mu 0 Q}$, найдем канонические наблюдаемые в этом представлении
\[
\begin{array}{c}
P \psi(\xi)=i^{-1} \frac{d}{d \xi} \psi(\xi), \quad \psi \in \mathscr{V}(P) ; \\
Q \psi(\xi)=\xi \psi(\xi), \quad \psi \in \mathscr{T}(Q) .
\end{array}
\]

Во всяком случае, это заведомо имеет место для функций из пространства $\mathscr{f}(\mathrm{R})$ бесконечно дифференцируемых функций, убывающих вместе со всемн производными быстрее лобой степени в. Отметим полезную формулу
\[
W_{x, v}=\exp [i(\mu \omega Q-x P)] \text {, }
\]

где $\mu v Q-x P$-самосопряженное расширение оператора $\mu \sigma_{\xi}-x i^{-1} \frac{d}{d \xi}$, заданного, например, на $\mathscr{O}(\mathrm{R})$. Это вытекает из того, что семейство $t \rightarrow W_{t x, t v} ; t \in \mathbb{R}$, где $x, v$ фиксированы, образует, в силу (3.2), группу унитарных операторов, причем согласно (5.1)
\[
\left.\frac{d}{d t} W_{t x, t o} \psi(\xi)\right|_{t \rightarrow 0}=(\mu
u Q-x P) \psi(\xi) .
\]

Оператор $Q$ действует как оператор умножения на независимую переменную; поэтому можно сказать, что представление Шредингера ддиагонализует наблюдаемую координаты $Q$. Вводя дираковские обозначения (см. §\$ II.3, II.4), можно условно написать
\[
\left.Q=\int \xi \mid \xi\right)(\xi \mid d \xi,
\]
в котором объект имеет точно определенную координату ह. Для спектральной меры оператора $Q$ имеет место формальное соотношение
\[
E(d \xi)=\mid \xi)(\xi \mid d \xi,
\]

откуда видно, что распределение вероятностей наблюдаемой координаты относительно состояния $S$ дается формулой
\[
\mu_{S}^{E}(d \xi)=(\xi \mid S ; \xi) d \xi,
\]

где ( $\left.\xi|S| \xi^{\prime}\right)$ – ядро оператора плотности $S$ в $\mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty$ ) (см. § II.7). Для чистого состояния $\left.S_{\psi}=\mid \psi\right)(\psi \mid$
\[
\mu_{s_{\psi}}^{E}(d \xi)=\mid(\xi \mid \psi)^{2} d \xi .
\]

Чем более сконцентрировано это распределение в некоторой точке $Q$, т. е. чем меньше дисперсия $D_{s}(Q)$, тем сильнее сходство рассматриваемого квантового объекта с классическим объектом, строго локализованным в пространстве (частицей).

С другой стороны, рассмотрим оператор $\frac{1}{\mu} P=\frac{1}{i \mu} \frac{d}{d \xi}$. Его формальные собственные функции $|\eta|=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i \eta \xi}$ описывают физически нереализуемые состояния, в которых объект имеет точно определенную скорость $\eta / \mu$. Распределение вероятностей наблодаемой $P$ относительно состояния $S$ дается формулой
\[
\mu_{S}^{F}(d \eta)=(\eta|S| \eta) d \eta .
\]

Заметим, что, переходя к преобразованию Фурье $\tilde{\psi}(\eta)=(\eta ; \psi)$, мы получаем унитарно эквивалентное (так называемое импульсное) представление канонических коммутационных соотношений, в котором диагонален оператор $P$, а оператор $Q$ задается оператором дифференцирования. Функщия ( $\eta|S| \eta^{\prime}$ ) из формулы (5.7) является ядром оператора плотности $S$ в этом представлении.

Из выражений для $Q$ и $P$ в представлении Шредингера непосредственно получаем $Q P \psi-P Q \psi=i \psi$, например,
\[
[Q, P]=i \mathrm{I} \text {. }
\]

Это соотношение называется каноническим коммутационным соотношением Гейзенберга. В то время как правая часть его всюду определена, в левой ваходятся неограниченные операторы, и поэтому его нельзя распространить на всё $\mathscr{H}$. Формально соотношение (5.8) равносильно соотношению Вейля-Сигала, однако последнее предпочтительнее, так как формулируется в терминах ограниченных операторов (причем непосредственно связанных с представлением кинематической группы). Более строгая формулировка соотношения неопределенностей (5.8) имеет вид
\[
2 \operatorname{Im}(Q \psi P \psi)=(\psi \mid \psi), \quad \psi \in \mathscr{D}(Q) \cap \mathscr{V}(P),
\]

и может быть непосредственно получена из (5.4). Отсюда, пользуясь общим соотношением неопределенностей (II.6.7), вновь получаем соотношение неопрелеленностей Гейзенберга (4.7).

Из соотношений неопределенностей вытекает, что чем более точно определенной является скорость объекта, т. е. чем меньше $\mathrm{D}_{S}(P)$, тем менее определенной становится локализация объекта в пространстве. Можно сказать, что в состояниях с $\mathrm{D}_{S}(P) \approx 0$ квантовый объект проявляет сходство с классической волной. Таким образом, в зависимости от приготовления исходного состояния, квантовый объект в измерениях может проявлять как черты классической частицы, так и классической волны.