В 6-9 мы имели дело с различными представлениями одной и той же группы поворотов окружности $T$, или группы сдвигов по модулю $2 \pi$ ивтервала $[0,2 \pi$ ). Рассмотрим теперь эти случаи с общей точки зрения. Из предложения III.2.1 вытекает, что произвольное проективное представление группы $T$ имеет вид $\varphi \rightarrow e^{-i A \varphi}$, где $A$-самосопряженный оператор, спектр которого должен быть сосредоточен в точках вида $m=k+a_{0}$, где $k$ – целые qисла, $a_{0}$-несущественный постоянный добавок. Спектральное разложение оператора $A$ имеет вид
\[
A=\sum_{m} m E_{m}
\]

Здесь $E_{m}$ – проектор на собственное подпространство $\mathscr{K}_{m}$, отвечающее собственному значению $m$. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{K}=\sum_{m} \oplus \mathscr{K}_{m}, \\
|\psi|^{2}=\sum_{m}\left|\psi_{m}\right|^{2}, \quad \psi=\sum_{m} \tilde{\psi}_{m},
\end{array}
\]

где $\psi_{m}=E_{m} \psi$ – компонента вектора $\psi$ в пространстве $\mathscr{K}_{m}$. Мы будем писать $\psi=\left[\psi_{m}\right]$. Отметим, что $e^{i A \varphi} \psi=\left[e^{i m \psi_{m}} \psi_{m}\right]$.

Ограниченный оператор $K$ в $\mathscr{K}$ задается «ядром» – блочной матрицей $\left[K_{m m^{\prime}}\right.$ ], где $K_{m m^{\prime}}=E_{m} K E_{m^{\prime}}$ – оператор из $\mathscr{K}_{m^{\prime}}$ в $\mathscr{K}_{m}$. Положительному оператору соответствует положительно определенное ядро $\left[K_{m m}\right] \geqslant 0$; едивичный оператор задается ядром $\left[\delta_{m m^{\prime}} I_{m}\right]$, где $I_{m}$-единичный оператор в $\mathscr{K}_{m}$. Отметим, что мы получим случаи, рассматривавшиеся в $6,8,9$, если $m=-j,-j+1, \ldots, j$; $m=0,1, \ldots$ и $m=0, \pm 1, \ldots$ соответственно, причем во всех этих случаях $\operatorname{dim} E_{m} \equiv 1$.

Теорема 10.1. Измерения, ковариантные относительно представления $\varphi \rightarrow e^{-і \text { і }}$ группы $\mathrm{T}$, описываются ядрами
\[
M(B)=\left[K_{m m^{\prime}} \int_{B} e^{\left(m^{\prime}-m\right) \varphi} \frac{d \varphi}{2 \pi}\right] ; \quad B \in \operatorname{et}([0,2 \pi)),
\]

әде $\left[K_{m m^{\prime}}\right]$ – произеольне положительно определенное ядро
Доказательств о. Согласно формуле (2.2)
\[
\int_{0}^{2 \pi} \operatorname{Tr} \varepsilon^{-t A \varphi} S e^{i A \varphi} M(B) d \varphi=\operatorname{mes} B,
\]

где mеs обозначает меру Лебега на прямой. Возьмем в качестве оператора плотности $S$ оператор $S_{m}$, действующий в пространстве $\mathscr{K}_{m}$, т. е. $S_{m} E_{m}=E_{m} S_{m}=S_{m}$. Тогда $e^{-i A \varphi} S_{m} e^{A \varphi}=S_{m}$ и, обозначая через $\operatorname{Tr}_{m}$ след в пространстве $\mathscr{\mathscr { H }}_{m}$, имеем
\[
\operatorname{Tr}_{m} S_{m} M_{m m}(B)=(2 \pi)^{-1} \text { mes } B,
\]

где $M_{m m^{\prime}}(B)=E_{m} M(B) E_{m^{\prime}}$. Поскольку это выполняется для произвольного $S_{m}$ в $\mathscr{K}_{m}$, то
\[
M_{m m}(B)=I_{m} \frac{\operatorname{mes} B}{2 \pi} .
\]

Из положительности оператора $M(B)$ и неравенства Коши – Буняковского
\[
\left|\left(\psi_{m} \mid M_{m m^{\prime}}(B) \psi_{m^{\prime}}\right)\right| \leqslant \frac{\operatorname{mes} B}{2 \pi}\left|\psi_{m} \| \psi_{m^{\prime}}\right|,
\]

откуда, аналогично доказательству теоремы 2.2 , получаем
\[
\left(\psi_{m} \mid M_{m m^{\prime}}(B) \psi_{m^{\prime}}\right)=\int_{B}\left(\psi_{m} \mid p_{m m^{\prime}}(\varphi) \psi_{m^{\prime}}\right) \frac{d \varphi}{2 \pi},
\]

где $p_{m m^{\prime}}(\cdot)$ – ограниченная операторнозначная функция, $\left|p_{m m^{\prime}}(\varphi)\right|<1$ почти всюду. Из (10.4) вытекает, что $p_{m m}(\varphi) \equiv$ ق $I_{m} ;$ из того, что $M(B) \geqslant 0$, следует $\left[p_{m m^{\prime}}(\varphi)\right] \geqslant 0$ почти всюду. Ив ковариантности измерения вытекает, что
\[
p_{m m^{\prime}}(\varphi)=e^{l\left(m^{\prime}-m\right) \varphi p_{m m^{\prime}}(0) .}
\]

Полагая $K_{m m^{2}}=p_{m m^{r}}(0)$, получаем утверждение теоремы.

Рассмотрим теперь задачу оценивания параметра сдвига (поворота) $\varphi$ в семействе состояний
\[
S_{\varphi}=e^{-i A \varphi} S e^{i A \varphi} ; \quad 0 \leqslant \varphi<2 \pi,
\]

где $S=\mid \psi)\left(\psi \mid, \psi=\left[\psi_{m}\right]\right.$, – чистое состояние. Пусть функусловию (6.5); тогда
\[
W(\varphi)=w_{0}-\sum_{k=1}^{\infty} w_{k} \cos k \varphi \equiv \sum_{k=-\infty}^{\infty} v_{k} e^{l k \varphi},
\]

где $\sum_{k}\left|v_{k}\right|<\infty, v_{k} \leqslant 0$ при $k
eq 0$. Рассуждая как при доказательстве теоремы 6.1, имеем
\[
\begin{aligned}
\mathscr{R}_{0}\{\boldsymbol{M}\}=\sum_{m, m^{\prime}} v_{m-m^{\prime}}\left(\Psi_{m} \mid K_{m m^{\prime}} \psi_{m^{\prime}}\right) & \geqslant \\
& \geqslant \sum_{m, m^{\prime}} v_{m-m^{\prime}}\left|\psi_{m}\right| \| \psi_{m^{\prime}} \mid,
\end{aligned}
\]

причем равенство достигается при
\[
K_{m m^{\prime}}=\frac{\left.\mid \psi_{m}\right)\left(\Psi_{m^{\prime}} \mid\right.}{\left|\psi_{m}\right|\left|\psi_{m^{\prime}}\right|} .
\]

Аналогичные рассуждения проходят и для функции отклонения $W(\hat{\varphi}-\varphi)=-\delta((\hat{\varphi}-\varphi)(\bmod 2 \pi))\left(v_{m}=-\frac{1}{2 \pi}\right)$, если предположить, что $\sum_{m}\left|\psi_{m}\right|<\infty$.

Положительная операторнозначная мера, отвечающая ядру (10.6),
\[
M_{0}(d \varphi)=\left[\frac{\left.\mid \psi_{m}\right)\left(\psi_{m^{\prime}} \mid\right.}{\left|\psi_{m}\right|\left|\psi_{m^{\prime}}\right|} e^{\left(m^{\prime}-m\right) \varphi}\right] \frac{d \varphi}{2 \pi}
\]

не является измерением, если $\operatorname{dim} \mathscr{K}_{m}>1$ для некоторого $m$, так как тогда
\[
E_{0}=\int M_{0}(d \varphi)=\sum_{m} \frac{\left.\mid \psi_{m}\right)\left(\psi_{m} \mid\right.}{\left(\phi_{m} \mid \psi_{m}\right)}
eq \mathrm{I} .
\]

Оператор $E_{0}$ является проектором на подпространство, порожденное компонентами $\boldsymbol{\psi}_{m}$ начального вектора $\boldsymbol{\psi}$.
В силу этого мера $M_{0}(d \varphi)$ может быть продолжена до разложения единицы в $\mathscr{K}$ (без изменения величины меры точности) по формуле
\[
M_{*}(d \varphi)=M_{0}(d \varphi) \oplus M_{1}(d \varphi),
\]

где $M_{1}(d \varphi)$-произвольное разложение единицы в ортогональном дополнении к $E_{0}(\mathscr{K})$. Добавок $M_{1}(d \varphi)$ никак не проявляется в статистике измерения относительно исходного семейства состояний (10.5), поскольку оно сосредоточено на подпространстве $E_{0}(\mathscr{K})$. Можно положить, например,
\[
M_{1}(d \varphi)=\left(\mathrm{I}-E_{0}\right) \mu(d \varphi),
\]

где $\mu$ – произвольное распределение вероятностей. Конечно, $M_{*}$ будет ковариантно лишь, если ковариантно $M_{1}$.

Если $\operatorname{dim} \mathscr{K}_{m}=$ const, то пространства $\mathscr{\mathscr { K }}_{m}$ изоморфны между собой. Пусть $\left\{U_{m m^{\prime}}\right\}$ – согласованная система изометрических отображений $\mathscr{K}_{m^{\prime}}$ на $\mathscr{K}_{m}$, так что $U_{m m}=\mathrm{I}_{m}$ и $U_{m m}, U_{m^{\prime} m^{*}}=U_{m m^{*}}$. Ядро [ $U_{m m^{\prime}}$ ] удовлетворяет условиям теоремы 10.1. Рассмотрим соответствующее измерение
\[
M(d \varphi)=\left[U_{m m^{\prime}} e^{\left(m^{\prime}-m\right) \varphi}\right] \frac{d \varphi}{2 \pi} .
\]

Считая, что отображение $U_{m m^{\prime}}$ «отождествляет» пространства $\mathscr{K}_{m^{*}}$ и $\mathscr{\mathscr { K }}_{m}$, получаем «каноническое» измерение
\[
M(d \varphi)=\left[\mathrm{I}_{m} e^{\left(m^{\prime}-m\right) \Phi}\right] \frac{d \varphi}{2 \pi} .
\]

Конечно, оно зависит от способа отождествления пространств $\left\{\mathscr{K}_{m}\right\}$.

Измерение (10.8) будет оптимальным для данного семейства состояний (10.5), если $\left(\psi_{m} \mid U_{m m^{\prime}} \psi_{m^{\prime}}\right) \equiv\left(\psi_{m} \mid \psi_{m^{\prime}}\right)=$ $=\left\|\psi_{m}\right\| \psi_{m^{\prime}} \|_{\text {, }}$ т. е. если при данном способе отождествления все компоненты $\psi_{m}$ исходного вектора $\psi$ коллинеарны, более того, $\psi=\sum_{m} \alpha_{m} e$, где $\alpha_{m} \geqslant 0$, а $е-$ фиксированный вектор из $\mathscr{K}^{*} \mathrm{~m}$.