В предыдущих двух параграфах рассматриваемые представления группы симметрий были неприводимыми, что позволило использовать результаты из $\$ 2,3$, дающие полное описание ковариантных измерений и решение байесовской и минимаксной задач. Теперь мы переходим к рассмотрению серии примеров, в которых группа является однопараметрической (группа сдвигов интервала $[0,2 \pi)$ по модулю $2 \pi$ или группа сдвигов прямой) и любое нетривиальное представление с необходимостью является приводимым. Отсутствие полной классификации ковариантных измерений позволит в этом случае дать частичное решение байесовской и минимаксных задач – лишь для семейств чистых состояний.

Предположим, что установка, приготовляющая состояние микрообъекта, поворачивается на угол $\varphi, 0 \leqslant \varphi<2 \pi$, вокруг фиксированной оси, например $\boldsymbol{e}_{3}$. Тогда состояние объекта описывается оператором плотности $S_{\varphi}=V_{\varphi} S V_{\varphi}^{*}$, где $S$ – исходное состояние, $V_{\Phi}$ – оператор шредставления группы вращений, отвечающий повороту на угол ч вокруг оси $e_{3}$. Речь идет об оценивании истинного значения параметра $\varphi$ по результатам квантовых измерений. Мы предположим, что пространственные степени свободы объекта не рассматриваются и измерение затрагивает только спиновые степени свободы. Тогда, согласно § III.13, состояния описываются матрицами плотности в гильбертовом пространстве конечной размерности $d=2 j+1$, где $j$-значение спина, и семейство состояний приобретает вид
\[
S_{\varphi}=e^{-t J \varphi} S e^{t J \varphi} ; \quad 0 \leqslant \varphi<2 \pi .
\]

Здесь $J$-спиновый оператор углового момента относительно оси $e_{3}$, задаваемый диагональной матрицей в баэисе из своих собственных векторов $\{\mid m)\}$ :
\[
\left.J=\sum_{m=-1}^{j} m \mid m\right)(m \mid,
\]

так что $\left.\left.J(m)=m(m), e^{(J \varphi} \mid m\right)=e^{(m \varphi} \mid m\right)$; мы считаем $\hbar=1$.
Операторы $V_{\Phi}=e^{-i J \varphi}$ образуют представление однопараметрической группы поворотов вокруг оси $e_{3}$; измерения, ковариантные по отношению $\mathbf{x}$ представлению $\varphi \rightarrow V_{\varphi}$, можно рассматривать как более или менее точные измерения параметра угла поворота $\varphi$. Теорема 2.1 позволяет описать ковариантные измерения. Согласно этой теореме, всякое ковариантное измерение имеет вид
\[
M(d \varphi)=e^{-i J \varphi P_{0} e^{i J \varphi}} \frac{d \varphi}{2 \pi},
\]

где $P_{0}$-оператор, принадлежащий выпуклому множеству झ. Поскольку стационарная подгруппа $G_{0}$ в этом случае тривиальна, условие 1) отпадает. Рассмотрим условие нормировки $\int M(d \varphi)=\mathrm{I}$. Пусть $p_{m m^{\prime}}=\left(m\left|P_{0}\right| m^{\prime}\right)$; тогда
\[
\left(m|M(d \varphi)| m^{\prime}\right)=e^{\left(m^{\prime}-m\right) \varphi} p_{m m^{\prime}} \frac{d \varphi}{2 \pi} .
\]

Интегрируя по $\varphi$ и используя условие нормировки $\int M(d \varphi)=\mathrm{I}$, получаем $p_{m m}=1$. Таким образом, всякое коөариантное измерекие задается матричными элементами 6.2), где матрица [ $\left.p_{m m^{\prime}}\right]$ принадлежит выпуклому множестеу
\[
\Re=\left\{\left[p_{m m^{\prime}}\right]:\left[p_{m m^{\prime}}\right] \geqslant 0, p_{m m}=1\right\} .
\]

Если бы удалось охарактеризовать крайние точки этого множества, то мы получили бы описание крайних точек множества ковариантных измерений. Легко показать, что всякая матрица вида $\left[\gamma_{m} \bar{\gamma}_{m^{\prime}}\right]$, где $\left|\gamma_{m}\right|=1$, являтется крайнеи точкой $\$$. Для доказательства достаточно заметить, что множество матриц вида $d^{-1} P$, где $P \in \Re$, является выпукльм подмножеством множества всех матриц плотности, а матрицы вида $d^{-1}\left[\gamma_{m} \bar{\gamma}_{m^{\prime}}\right]$ являются матрицами некоторых одномерных проекторов, т. е. крайними точками множества всех матриц плотности. Соответствующее измерение имеет матричное представление
\[
\left(m|M(d \varphi)| m^{\prime}\right)=e^{\left(m^{\prime}-m\right)} \varphi \bar{\gamma}_{m} \bar{\gamma}_{m^{\prime}} \frac{d \varphi}{2 \pi} .
\]

Оказывается, что таких измерений достаточно для оценивания параметра $\varphi$ в семействе чистых состояни й
\[
\left.S_{\Phi}=e^{-i{ }^{l} \varphi} \mid \psi\right)\left(\psi \mid e^{l J_{\varphi}} ; \quad 0 \leqslant \varphi<2 \pi .\right.
\]

Положим $\psi_{m}=(m \mid \psi)$; если $\psi_{m}=0$, то символ $\psi_{m} /\left|\psi_{m}\right|$ обозначает произвольное комплексное число, равное по модулю единице.
Теорем 6.1. Ковариантное измерение
\[
\left(m\left|M_{*}(d \varphi)\right| m^{\prime}\right)=\epsilon^{\left(m^{\prime}-m\right)} \frac{\psi_{m} \bar{\psi}_{m^{\prime}}}{\left|\phi_{m}\right|\left|\bar{\psi}_{m^{\prime}}\right|} \frac{d \varphi}{2 \pi}
\]

является оптимальньм при любой функции отклонения $W_{\varphi}(\hat{\varphi})=\mathbb{W}(\hat{\phi}-\varphi)$, где $\mathbb{W}(\cdot)$ – четная $2 \pi-$ периодичная мепрерьвная функция такая, ито
\[
\int_{0}^{2 \pi} W(\varphi) \cos k \varphi d \varphi \geq 0, \quad k=1,2, \ldots
\]

Заметим, что всякая функция, удовлетворяющая условию теоремы, разлагается в ряд Фурье
\[
W(\varphi)=w_{0}-\sum_{k=1}^{\infty} w_{k} \cos k \varphi \text {, где } w_{k} \geqslant 0 ; k=1,2, \ldots,
\]

так что, например, $W(\varphi)=4 \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=2(1-\cos \varphi)$ охватывается условиями теоремы. Формально этим условиям удовлетворяет и обобщенная функция
\[
-\delta(\varphi(\bmod 2 \pi))=-\frac{1}{2 \pi}-\frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \cos k \varphi,
\]

которой соответствует измерение максимального правдоподобия. На самом деле доказательство теоремы позво-
Рис. 12.

ляет охватить любые периодические обобщенные функция с $w_{k} \geqslant 0$. В качестве других примеров приведем
\[
\begin{array}{c}
\min \{\varphi, 2 \pi-\varphi\}=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos (2 k+1) \varphi}{(2 k+1)^{2}}, \quad 0 \leqslant \varphi<2 \pi ; \\
\left|\sin \frac{\varphi}{2}\right|=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k \varphi}{4 k^{2}-1}
\end{array}
\]
(рис. 12). Квадратичное отклонение $\min \left\{\varphi^{2},(2 \pi-\varphi)^{2}\right\}=$ $=\frac{\pi^{2}}{3}+4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}} \cos k \varphi, 0 \leqslant \varphi<2 \pi$, в этот класс не попадает.

Нетрудно дать абстрактную характеристику функций, удовлетворяющих условию (6.5). Заметим, что $w_{0}-W(\varphi)$, $-\infty<\varphi<\infty$, является преобразованием Фурье четной неотрицательной меры, сосредоточенной в целочисленных точках, и, следовательно, является положительно определенной функцией. Отсюда следует, что 2л-периодичная непрерывная функция $W(\cdot)$ удовлетворяет условию (6.5)

—————————————————————-
0015ru_fiz_kvan_book29_no_photo_page-0205.jpg.txt

204
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
гтл. IV
тогда и только тогда, когда для любых комплексных $c_{j}$ таких, что $\sum_{l} c_{j}=0$, выполняется
\[
\sum_{i, k} W\left(\varphi_{j}-\varphi_{k}\right) c_{j} c_{k} \leqslant 0
\]

для любых $\varphi_{1}$.
Теорема 6.1 показывает, что оптимальное измерение (6.4) обладает весьма желательным свойством: оно нечувствительно к выбору меры отклонения в достаточно широком классе функций.

Доказательство. Согласно замечанию после теоремы 3.1 достаточно искать минимум среднего отклонения $\mathscr{R}_{0}\{M\}$ среди ковариантных измерений. Используя (6.2), имеем

Рассмотрим коэффициент при $w_{k}$

В силу положительной определенности $\left|p_{m m^{\prime}}\right| \leqslant$ $\leqslant \sqrt{p_{m m} p_{m^{\prime} m^{\prime}}}=1$, так что
\[
\frac{1}{2} \sum_{\substack{m, m^{\prime} ; \\\left|m-m^{\prime}\right|=k}} \bar{\psi}_{m} p_{m m^{\prime}} \psi_{m^{\prime}} \leqslant \frac{1}{2} \sum_{\substack{m, m^{\prime} ; \\\left|m-m^{\prime}\right|-k}}\left|\psi_{m}\right|\left|\psi_{m^{\prime}}\right|,
\]

причем равенство достигается при $p_{m m^{\prime}}=\frac{\phi_{m}}{\left|\psi_{m}\right|} \cdot \frac{\bar{\psi}_{m^{\prime}}}{\left|\psi_{m^{\prime}}\right|}$. Отсюда следует, что $\mathscr{R}_{0}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \mathscr{R}_{0}\left\{\boldsymbol{M}_{*}\right\}$ и
\[
\min \mathscr{R}_{0}\{\boldsymbol{M}\}=w_{0}-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} w_{k} \sum_{\substack{m, m_{m}^{\prime}|| m-k}}\left|\psi_{m}\right|\left|\psi_{m^{\prime}}\right| .
\]

Поскольку значение $\boldsymbol{k}$ не может превьшать размерности пространства, ряд в правой части фактически содержит конечное число членов и сходится для любых $w_{n}$.

Это замечание позволяет распространить доказательство теоремы на обобщенные функции отклонения, удовлетворяющие условию $w_{k} \geqslant 0$. Таким образом, (6.4) является измерением максимального правдоподобия.

Для функции отклонения $W(\varphi)=4 \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}$ из (6.8) получаем
\[
\begin{array}{l}
\min \mathscr{R}_{0}\{M\}=2\left[1-\sum_{m=-l+1}^{\prime}\left|\psi_{m}\right|\left|\psi_{m-1}\right|\right]= \\
=\left|\psi_{-j}\right|^{2}+\left|\psi_{j}\right|^{2}+\sum_{m=-j+1}^{\prime}\left(\left|\psi_{m}\right|-\left|\psi_{m-1}\right|\right)^{2} .
\end{array}
\]

Мы вновь убеждаемся, что понятие кнаиболее точного (оптимального) измерения зависит от исходного состояния $S$, т. е. от априорной информации; всякое измерение вида (6.4) является оптимальным для соответствующего начального состояния $S$. В частности, если $\psi_{m} \geqslant 0$, то $\psi_{m} /\left|\psi_{m}\right|=1$ и оптимальное измерение определяется соотношением
\[
\left(m|M(d \varphi)| m^{\prime}\right)=e^{\left(m^{\prime}-m\right)} \varphi \frac{d \varphi}{2 \pi} .
\]

Мы будем называть это канонинеским иямерением угла поворота. Отметим, что это определение относится к фиксированному базису $\{\mid m)\}$; в новом базисе $\mid m)^{\prime}=\gamma_{m}(m)$ измерение (6.4) имеет каноническую форму (6.10).