В случае одномерного движения система отсчета описывается парой переменных ( $\xi, \tau$ ), где $\xi$ – пространственная, $\tau$-временна́я координаты. Рассмотрим другую систему отсчета, сдвинутую относительно первой на расстояние $x$ и движущуюся относительно нее со скоростью $v$. Переход к этой системе задается кинематическим преобразованием Галилея
\[
\xi^{\prime}=\xi-x-v \tau, \quad \tau^{\prime}=\tau .
\]
Это равносильно изменению положения экспериментальной установки, при котором она сдвинута на расстояние $x$ и движется со скоростью $v$ относительно своего исходного положения. Совокупность всех таких преобразований образует группу $\mathbb{R}^{2}$, так как каждое преобразование задается парой параметров ( $x, v)$, причем произведение преобразований описывается соотношением
\[
\left(x_{1}, v_{1}\right)\left(x_{2}, v_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, v_{1}+v_{2}\right) .
\]

В соответствии с общей схемой, изложенной в $\$ 1$, мы будем искать неприводимые проективные представления группы кинематических преобразований $(x, v) \rightarrow W_{x, v}$. Покажем, что, пользуясь произволом в выборе множителя перед $W_{x, v}$, можно всегда сделать так, что соотношение (1.6) будет иметь вид канонического коммутационного соотношения Вейля-Сигала
\[
\begin{array}{l}
W_{x_{1}, v_{1}} W_{x_{2}, v_{2}}= \\
\quad=\exp \left[-\frac{\mu}{2}\left(x_{1} v_{2}-x_{2} v_{1}\right)\right] W_{x_{1}+x_{2}, v_{1}+v_{2} ;} ; \mu
eq 0 .
\end{array}
\]

Положим $V_{x}=W_{x, 0}, U_{0}=W_{0, v}$. Преобразования
\[
S \rightarrow V_{x} S V_{x}^{*}, \quad S \rightarrow U_{v} S U_{v}^{*}
\]

описывают изменение состояния соответственно при сдвиге начала координат на расстоянне $x$ и при переходе в систему координат с тем же началом, но движущуюся со скоростыю ๆ. Как было указано в предыдущем параграфе, всегда можно сделать так, чтобы семейства $\left\{V_{x}\right\},\left\{U_{v}\right\}$ образовывали однопараметрические группы унитарных операторов:
\[
V_{x_{1}} V_{x_{2}}=V_{x_{1}+x_{3}}, \quad U_{v_{1}} U_{v_{2}}=U_{v_{1}+v_{2}} .
\]

Рассмотрим теперь переход в систему отсчета, сдвинутую на расстояние $x$ и движущуюся со скоростью $v$. Этот переход может быть совершен двумя различными способами:
\[
(x, v)=(x, 0)(0, v)=(0, v)(x, 0),
\]

причем результат не должен зависеть от способа перехода
\[
S \rightarrow U_{v} V_{x} S V_{x}^{*} U_{v}^{*}=V_{x} U_{v} S U_{v}^{*} V_{x}^{*}
\]

для лобого $S$, откуда
\[
U_{v} V_{x}=V_{x} U_{v} e^{l n(x, 0)},
\]

где $\eta(x, v)$ – вещественная непрерывная функция своих аргументов. При $x=0$ или $v=0$, согласно (3.3), $1=$ $=e^{i \eta(0,0)}=e^{i \eta(x, 0)}$, так что можно положить $\eta(x, 0)=$ $=\eta(0, v)=0$. Умножая (3.3) на $U_{v}$, получаем
\[
\eta\left(x, v+v^{\prime}\right)=\eta(x, v)+\eta\left(x, v^{\prime}\right)(\bmod 2 \pi) .
\]

Единстеенным непрерывным решением этого уравнения, удовлетворяющим условию $\eta(x, 0)=0$, является $\eta(x, v)=$ $=\eta(x) \cdot v$. Аналогично, $\eta\left(x+x^{\prime}, v\right)=\eta\left(x, v^{\prime}\right)+\eta\left(x^{\prime}, v\right)$ ( $\bmod 2 \pi)$, откуда $\eta(x, v)=\mu x v$, где $\mu$ – некоторая вещественная постоянная, так что
\[
U_{v} V_{x}=V_{x} U_{v} \cdot e^{i \mu x v} .
\]

Выбирая множитель перед $W_{x, v}$ так, чтобы выполнялось
\[
W_{x, v}=e^{\frac{i \mu x v}{2}} V_{x} U_{v}
\]

убеждаемся, что семейство $\left\{W_{x, v}\right\}$ удовлетворяет соотношению (3.2).

Покажем, что требование неприводимости исключает случай $\mu=0$ при $\operatorname{dim} \mathscr{C}>1$. Умножая (3.4) на $V_{x}^{*}$, получим
\[
V_{x}^{*} U_{v} V_{x}=U_{e} e^{i \mu x v} .
\]

По теореме Стоуна $U_{v}=\int e^{\text {гр }} G(d \lambda)$, где $G(d \lambda)$-ортогональное разложение единицы в $\mathscr{K}$. Из (3.6) тогда следует, что для любого $\varphi$ в $\mathscr{K}$
\[
\int e^{i v \lambda}\left(\varphi \mid V_{x}^{*} G(d \lambda) V_{x} \varphi\right)=\int e^{i v(\lambda+\mu x)}(\varphi \mid G(d \lambda) \varphi) .
\]

В обеих частях этого равенства находятся преобразования Фурье вероятностных мер. В силу единственности, эти меры должны совпадать, т. е.
\[
\left(\varphi \mid V_{x}^{*} G(B) V_{x} \varphi\right)=\left(\varphi \mid G\left(B_{-\mu x}\right) \varphi\right)
\]

для любого множества $B \in e t(\mathrm{R})$, где $B_{-x}=\{\xi-x: \xi \in B\}$ сдвиг множества $B$ на $-x$. Так как это выполнено для любого $\varphi \in \mathscr{H}$, то
\[
V_{x}^{*} G(B) V_{x}=G\left(B_{-\mu x}\right) .
\]

В частности, если $\mu=0$, то отсюда следует, что
\[
V_{\star} G(B)=G(B) V_{x} .
\]

По построению
\[
U_{v} G(B)=G(B) U_{v}
\]

Таким образом, всякое подпространство вида $\mathscr{K}_{B}=$ $=G(B) \mathscr{C}$ является инвариантным подпространством семейств $\left\{V_{x}\right\},\left\{U_{v}\right\}$, а значит и $\left\{W_{x, 0}\right\}$, Если существует $B$ такое, что $\mathscr{K}_{B}
eq[0], \mathscr{K}$, то $\mathscr{K}_{B}$ – нетривиальное инвариантное подпространство. В противном случае группа $\left\{U_{0}\right\}$ является скалярной и существование инвариантного подпростравства при $\operatorname{dim} \mathscr{K}>1$ легко доказывается.

Предложение 3.1. Всяко непрерьвное неприводимое проективное представление группь кинематических преобраяовании (3.1) sадается семейством унитарных операторов $\left\{W_{x, y}\right\}$, удоогетворяочим соотношению Вейля – $\mathrm{Cu}$ асла (3.2), где $\mu$-вещественная постоянная, ме равная пулю, если $\operatorname{dim} \mathscr{K}>1$.

В дальнейшем мы увидим, что параметр $\mu$ интерпретируется как масса, так что физический смысл именот представления с $\boldsymbol{\mu}>\mathbf{0}$.