В § 1 мы видели, что состояние можно рассматривать как сжатое описание исходных условий эксперимента. Попытаемся уточнить понятие кисходных условий», приняв дополнительно, что они допускают теоретическое описание в виде, вообще говоря, бесконечного ксписка исходных данных» $\omega$. Обозначим через $\Omega=\{\omega\}$ множество всех конкретных списков, отвечающих всевозможным вариантам исходных условий. Назовем $\Omega$ фазовым пространством объекта.

Далее, мы хотим учесть возможность того, что при повторении индивидуальных экспериментов входные данные могут испытывать случайные отклонения, обусловленные практической невозможностью в точности воспроизвести одинаковые условия либо неопределенностью некоторых параметров. Чтобы охватить такие ситуации, мы будем рассматривать распределения вероятностей на (следует, конечно, предположить, что в $\Omega$ выделена $\sigma$-алгебра ef $(\Omega)$ измеримых подмножеств; мы будем считать также, что е $\boldsymbol{t}(\Omega)$ разделяет точки $\Omega$, см. § 2 ).

Всякое распределение вероятностей $P$ на $\Omega$ мы назовем классическим состоянием. Его следует интерпретировать как полное статистическое описание стадии приготовления. Всякому списку $\omega \in \Omega$ отвечает чистое состояrue
\[
\delta_{\omega}(A)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & A
i \omega, \\
0, & A \Xi \omega,
\end{array} \quad A \in \operatorname{et}(U) .\right.
\]

Согласно § 2 множество $\Re(\Omega)$ всех классических состояний является выпуклым множеством простейшей структуры-симплексом, а чистые состояния являются крайними точками этого множества.

Перейдем к измерениям. Всякое измерение со значениями в пространстве $U$ описывается аффинным отображением
\[
P \rightarrow \mu_{P}(d u)
\]

множества классических состояний $\mathfrak{P}(\Omega)$ в множество распределений вероятностей $\mathfrak{P}(U)$. Обозначим через $M_{\omega}(d u)$ распределение вероятностей данного измерения относительно чистого состояния $\delta_{\omega}$ (т. е. $M_{\omega}(d u)=\mu_{0_{\omega}}(d u)$ ). Рассмотрим смесь чистых состояний
\[
P(d \omega)=\sum_{\alpha} p_{\alpha} \delta_{\omega_{\alpha}}(d \omega) .
\]

В силу аффинности отображения (4.1) распределение вероятностей данного измерения относительно такого состояния будет даваться формулой
\[
\mu_{P}(B)=\int M_{\omega}(B) P(d \omega), \quad B \in \mathcal{A}(U) .
\]

При некоторых дополнительных предположениях эта формула будет верна для любого классического состояния $P$. Мы не будем углубляться в этот вопрос, а просто ограничимся измерениями $P \rightarrow \mu_{P}$, которые задаются соотношениями (4.2), где $M_{\omega}(d u)$-переходная вероят ность ${ }^{*}$ ) из $\Omega$ в $U$. Если $P$ характеризует неопределенность
*) Т. е. функция аргументов $\omega \in \Omega$ и $B \in$ of $(U)$, которая измерима по $\omega$ при каждом фиксированном $B$ и является распределевием вероятностей как функция $B$ при каждом фиксированиом $о$.
в исходных условиях эксперимента, то распределение вероятностей $M_{\omega}(d u)$ описывает статистическую погрешность измерения, вносимую измерительным прибором. Формула (4.2) показывает, каким образом эти два источника случайности входят в итоговую статистику измерения. Условимся кратко обозначать через $\boldsymbol{M}$ набор вероятностей $\left\{M_{\omega}(d u)\right\}$, а также задаваемое ими измерение (4.1).

В основе классической статистической модели, определение которой будет дано ниже, лежит допущение о полной наблюдаемости, согласно которому любые параметры объекта могут быть измерены с абсолютной точностыю. Для того чтобы дать математическое выражение этому допущению, введем следующее понятие. Измерение $\boldsymbol{M}=\left\{\boldsymbol{M}_{\oplus}(d u)\right\}$ называется детерминированным, если для любого $\omega \in \Omega$ и любого $B \in \mathcal{E}(U)$ имеет место альтернатива
\[
M_{\omega}(B)=0 \text { или } M_{\omega}(B)=1 .
\]

Это означает, что если объект приготовлен в чистом состоянии, то для любого $B \in$ e $\mathcal{t}(U)$ результат измерения с вероятностью 1 принадлежит либо не принадлежит $B$. Это можно записать также в следующем виде:
\[
M_{\omega}(B)^{2}=M_{\omega}(B), \quad B \in \mathcal{E}(U) .
\]

Раскроем смысл этого условия, ограничась для простоты измерениями с конечным числом значений. Такое измерение задается набором переходных вероятностей $M=\left\{M_{\omega}(u) ; u \in U\right\}$, где $M_{\omega}(u)$ – вероятность результата $u$ относительно qистого состояния $\delta_{\omega}$, удовлетворяющим условиям
\[
M_{\bullet}(u) \geqslant 0, \quad \sum_{u} M_{\omega}(u)=1 ; \quad \omega \in \Omega .
\]

Если $\boldsymbol{M}$-детерминированное измерение, то $M_{\omega}(u)$ равно 0 или 1. Обозначая $1_{f}(\omega)$ индикатор множества $F \subset \Omega$, т. е. функцию, равную 1 на $F$ и 0 вне $F$, имеем
\[
M_{\omega}(u)=1_{\Omega_{(z)}}(\omega) \text {, где } \Omega_{(a)}=\left\{\omega: M_{\omega}(u)=1\right\} .
\]

Из (4.4) вытекает, что множества $\Omega_{(\mu)}$ при разных $u$ не пересекаются и в объединении составляют $\Omega$, т. е. образуют разбиение пространства $\mathbf{2}$. Поэтому для любого $\omega$
есть единственное значение $u=u(\omega)$, для которого $M_{\omega}(u(\omega))=1$. При этом
\[
M_{\omega}(B)=\sum_{u \in B} M_{\omega}(u)=1_{B}(u(\omega)) .
\]

Функция $u(\omega)$ является случайной величиной на $\Omega$ со значениями в $U$; формула (4.5) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между детерминированными измерениями и случайными величинами со значениями в $U$. Чтобы сделать эту связь еще более прозрачной, рассмотрим дискретную вещественную случайную величину $X(\omega)$ на $\Omega$, принимающую конечное число значений $\{x\}$. Пусть $\Omega_{(x)}$ – подмножество $\Omega$, на котором $X$ принимает значение $x$, тогда
\[
X(\omega)=\sum_{x} x \cdot 1_{\Omega_{(x)}}(\omega)=\sum_{x} x M_{\omega}(x) .
\]

Таким образом, случайной величине $X$ однозначно сопоставляется детерминированное измерение $\boldsymbol{M}=\left\{M_{\omega}(x)\right\}$, так что $X$ принимает значение $x$ тогда и только тогда, когда $x$ является результатом измерения $\boldsymbol{M}$.

Аналогичные, но технически более сложные рассмотрения можно провести и для измерений с непрерывным пространством значений $U$ : при некоторых предположениях можно показать, что формула (4.5) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между случайными величинами и детерминированными измерениями.

Мы можем теперь формализовать постулат полной наблюдаемости, приняв следующее определение:

Классической статистической моделью называется модель, в которой множеством состояний служит симллекс распределений вероятностей $\Re(\Omega)$ на шфазовом» пространстве $\Omega$, а класс измерений $\mathfrak{l}$ содержит всевозможные детерминированные измерения.

Рассмотрим теперь множество $\mathfrak{D}(U)$ всевозможных аффинных отображений вида (4.2). Оно, очевидно, является выпуклым множеством.

Предложение 4.1. Детерминированнье измерения образуют остов мнонества $\mathfrak{M}(U)$.

Доказательство. Пусть $\boldsymbol{M}=\left\{\boldsymbol{M}_{\omega}(B)\right\}$ – детерминированное иямерение, и пусть $M=p_{0} M^{0}+p_{1} M^{2}$, т. е.
\[
M_{\omega}(B)=p_{0} M_{\omega}^{0}(B)+p_{1} M_{\omega}^{1}(B), \quad B \in \operatorname{Ct}(U) .
\]
Возводя это равенство в квадрат и используя равенство $M_{\omega}(B)=M_{\omega}(B)^{2}$, получаем
\[
p_{0} M_{\omega}^{\circ}(B)+p_{1} M_{\omega}^{\perp}(B)=
\]
\[
=p_{0}^{2} M_{\omega}^{\circ}(B)^{2}+p_{1}^{2} M_{\omega}^{\mathrm{L}}(B)^{2}+2 p_{0} p_{1} M_{\omega}^{\circ}(B) M_{\omega}^{1}(B)
\]

или
\[
\begin{array}{l}
p_{0} M_{\omega}^{\varrho}(B)\left[1-M_{\omega}^{\varrho}(B)\right]+p_{1} M_{\omega}^{\dagger}(B)\left[1-M_{\omega}^{\dagger}(B)\right]+ \\
+p_{0} p_{1}\left[M_{\omega}^{0}(B)-M_{\omega}^{1}(B)\right]^{2}=0 . \\
\end{array}
\]

Отсюда, учитывая неравенство $M_{\omega}^{\circ}(B)\left[1-M_{\omega}^{\circ}(B)\right] \geqslant 0$ и аналогичное неравенство для $M^{\mathrm{i}}$, получаем $M_{\oplus}^{0}(B)=$ $\equiv M_{\omega}^{1}(B)$, а это означает, что $M$ является крайней точкой множества $\mathfrak{M}(U)$.

Обратно, пусть $M=\left\{M_{\omega}(B)\right\}$ – крайняя точка множества $\mathfrak{M}(U)$. Пусть $B_{1}$ – фиксированное подмножество из of $(U), B_{2}=U \backslash B_{1}$ – его дополнение. Положим
\[
\begin{aligned}
M_{\omega}^{ \pm}(B)=M_{\omega}(B) \pm\left[M_{\omega}\left(B_{1}\right)\right. & M_{\omega}\left(B \cap B_{2}\right)- \\
& \left.-M_{\omega}\left(B_{3}\right) M_{\omega}\left(B \cap B_{1}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Тогда $\quad M_{\omega}(B)=\frac{1}{2} M_{\omega}^{+}(B)+\frac{1}{2} M_{\omega}^{-}(B) . \quad$ Покажем, что $\left\{M_{\oplus}^{ \pm}(B)\right\}$ являются переходными вероятностями из $\Omega$ в $U$. Для этого достаточно проверить, что $M_{\omega}^{ \pm}(B), B \in \mathcal{E}(U)$, дл: каждого $\omega \in \Omega$ являются распределениями вероятностей. Очевидно, что $M_{\omega}^{ \pm}(U)=M_{\omega}(U)=1$ и что $M_{\omega}^{ \pm}(B)$ являются мерами по $B$, так как каждое из слагаемых в (4.7) является мерой. Остается проверить только, что $M_{\omega}^{ \pm}(B) \geqslant 0$, а это следует из неравенства
\[
\begin{aligned}
M_{\omega}^{ \pm}(B) \geqslant M_{\omega}\left(B \cap B_{1}\right)[1 \mp & \left.M_{\omega}\left(B_{2}\right)\right]+ \\
& \left.+M_{\omega}\left(B \cap B_{2}\right) ! 1 \pm M_{\omega}\left(B_{1}\right)\right] \geqslant 0 .
\end{aligned}
\]

Из того, что $\boldsymbol{M}$-крайняя точка, вытекает, что
\[
\begin{aligned}
M_{\omega}^{ \pm}(B)= & M_{\omega}(B), B \in \text { of }(U), \text { т. e. } \\
& M_{\omega}\left(B_{1}\right) M_{\omega}\left(B \cap B_{2}\right)=M_{\omega}\left(B_{2}\right) M_{\omega}\left(B \cap B_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Полагая здесь $B=B_{1}$ и учитывая, тто $B_{1} \cap B_{2}=\varnothing$, имеем $M_{\omega}\left(B_{2}\right) M_{\omega}\left(B_{1}\right)=0$ или $M_{\omega}\left(B_{1}\right)\left[1-M_{\omega}\left(B_{1}\right)\right]=0$. Следовательно, $\left\{M_{\omega}(B)\right\}$ – детерминированное измерение.

Пусть $\{M\}$ – некоторый конечный набор измерений из $\mathfrak{D}(U)$ и $\left\{p_{i}\right\}$ – распределение вероятностей. Тогда выпуклая комбинация $M=\left\{M_{\omega}(B)\right\}$, где
\[
M_{\omega}(B)=\sum p_{j} M_{\omega}^{\prime}(B), \quad B \in \mathcal{A}(U),
\]

описывает рандомизованное измерение, в котором с вероятностью $p_{j}$ производится измерение $\boldsymbol{M}$. Физически это может соответствовать флуктуациям тех или иных параметров измерительного устройства. В простейшем случае, когда и $\Omega$, и $U$ конечны, $\mathfrak{M}(U)$ является компактным выпуклым подмножеством конечномерного пространства и из теоремы 2.1 вытекает, тго всякий элемент множества $\mathfrak{M}(U)$ можно рассматривать как рандомизованное измерение. Аналогичный результат справедлив и для значительно более общего случая: при некоторых естественных ограничениях на пространства $\Omega$ и $U$ можно показать, что всякое переходное распределение вероятностей $\left\{M_{\omega}(d u)\right\}$ из $\Omega$ в $U$ является кнепрерывной выпуклой комбинацией детерминированных измерений
\[
M_{\omega}(B)=\int M_{\omega}^{\alpha}(B) Q(d \alpha), \quad B \in \mathcal{E}(U) .
\]

Эта формула описывает рандомизованное измерение, в котором $Q(d \alpha)$ является рандомизующим распределением на множестве детерминированных измерений. Таким образом, не ограничивая существенно общности, можно считать, что в классической статистической модели измерения описываются всевоэмолсными отобралсениями вида (4.2) множества состояний $\mathfrak{P}(\Omega)$ в множество $\Re(U)$, где $U-$ достатоино произвольное пространство результатов измерения.

В заключение этого раздела остановимся на описании тестов в классической модели. Всякий тест однозначно задается вероятностью единичного исхода $X(\omega)=M_{\omega}(1)$, которая является функцией на $\Omega$, удовлетворяющей условиям
\[
0 \leqslant X(\omega) \leqslant 1 .
\]

Вероятность единичного исхода относительно классического состояния $P$ равна
\[
\int X(\omega) P(d \omega) .
\]

Для детерминированного теста $X(\omega)=0$ или 1 , так что $X(\omega)=1_{\Omega_{(1)}}(\omega)$. Таким образом, детерминированный тест задает дихотомию фазового пространства $\boldsymbol{\Omega}=$ $=\boldsymbol{\Omega}_{(1)} \cup \boldsymbol{\Omega}_{(0)} ; \boldsymbol{\Omega}_{(\mathbf{1})} \cap \boldsymbol{\Omega}_{(0)}=\varnothing$.

Если пространство $\Omega$ конечно, $\Omega=\Omega_{n}$, то множество всевозможных классических тестов (4.8) является $n$-мерным единичным гиперкубом $\mathfrak{Q}_{n}$, а его крайними точками являются вершины гиперкуба (см. § 2). Вероятность единичного исхода для теста $\left\{X_{\omega}\right\}$ относительно состояния $\left\{P_{\omega}\right\}$ равна $\sum_{\omega} P_{\omega} X_{\omega}$.