Согласно теореме Стоуна, в пространстве представления $\mathscr{C}$ существуют самосопряженные операторы $P$ и $Q$ такие, что
\[
\begin{array}{l}
V_{x}=e^{-i x P}, \quad-\infty<x<\infty ; \\
U_{0}=e^{j \mu \omega}, \quad-\infty<v<\infty .
\end{array}
\]

Операторы $P$ и $Q$ являются хвантовыми наблюдаемыми; соответствующие ортогональные разложения единицы
\[
Q=\int \xi E(d \xi), \quad \frac{1}{\mu} P=\int \eta F(d \eta)
\]

описывают некоторые квантовые измерения. Выясним их кинематическин смысл. Для эгого перепишем соотношения (3.2) в форме Веиля
\[
\begin{array}{l}
V_{x} U_{v} V_{x}=e^{j \mu
u x} U_{v} \\
U_{0}^{*} V_{x} U_{v}=e^{-i \mu v x} V_{x}
\end{array}
\]
Рассмотрим для определенности первое соотношение. Вытекающую из него формулу (3.7) можно переписать в виде
\[
V_{x}^{*} E(B) V_{x}=E\left(B_{-x}\right), \quad B \in \mathcal{E}(\mathbb{R}) .
\]

Предположим, что состояние $S$ приготавливается некоторой установкой, с которой связана исходная система отсчета. Если установка сдвигается на расстояние $x$, то новое состояние в исходной системе описывается оператором плотности $S_{x}=V_{x} S V_{x}^{*}$. Распределение вероятностей наблюдаемой $Q$ относительно состояния $S_{x}$ :
\[
\mu_{S_{x}}^{E}(B)=\operatorname{Tr} V_{x} S V_{x}^{*} E(B)=\mu_{S}^{R}\left(B_{-x}\right), \quad B \in \mathscr{A}(\mathrm{R}),
\]

является сдвигом на $x$ распределения вероятностей этой же наблюдаемой относительно состояния $S$ (см. рис. 8). Таким образом, пространственный сдвиг установки, приготовляющей квантовое состолние $S$, находит отражение в таком же сдвиге распределения вероятностей наб пюдаемой $Q$, независимо от характера приготовляемого состояния. Поэтому физического параметра – координаты сдвига $x$.
Совершенно аналогично, из соотношения (4.2) вытекает
\[
U_{v}^{*} F(B) U_{v}=F\left(B_{-v}\right) .
\]

Отсюда следует, что если установка движется относительно исходного положения со скоростью $v$, то распределение вероятностей наблюдаемой $\frac{1}{\mu} P$ является сдвигом на $v$ исходного распределения, отвечающего неподвижной установке. Поэтому соответствующее спектральное разложение $F(d \eta)$ ассоциируется с измерением относительной скорости квантового объекта. Свойство, которое позволило связать разложение единицы $E(d \xi)$ с измерением координаты $x$, выражается соотношением (4.3) и называется ковариантностью $E(d \xi)$ по отношению к представлению $x \rightarrow V_{x}$ группы пространственных сдвигов. Всякое разложение единицы, удовлетворяющее требованию ковариантности, мы вправе ассоциировать с некоторым, более или менее точным измерением координаты $x$. Далее мы увидим, что существует бесконечно много даже ортогональных разложений единицы (т е. простых измерений), удовлетворяющих требованию ковариантности (4.3).

Поэтому соответствие между фиэическими параметрами и квантовыми наблюдаемыми (измерениями) далеко не однозначно; одна и та же величина может быть измерена бесчисленным множеством способов. Тем не менее будет удобно, как это обычно делается, закрепить названия наблюдаемая координаты за инфинитезимальным оператором представления $v \rightarrow U_{v}$ и наблюдаемая скорости *) за оператором $P / \mu$. Операторы $P, Q$ называются каноническими наблюдаемими.

Пусть $M=\{M(d \xi)\}$ – любое измерение, ковариантное по отношению к представлению группы пространственных сдвигов и имеющее конечный первый момент относительно состояний $S_{x}$. Из (4.4) вытекает
\[
\begin{array}{l}
E_{x}\{M\}=\int_{-\infty}^{\infty} \xi \mu_{s_{x}}^{M}(d \xi)=\int_{-\infty}^{\infty}(\xi+x) \mu_{s}^{M}(d \xi)= \\
=\mathrm{E}_{0}\{M\}+x .
\end{array}
\]

Таким образом, с точностью до постоянной, $M$ является несмещенным измерением координаты $x$. Поэтому неравенство (2.8), ограничивающее точность измерения координаты, справедливо для любого ковариантного измерения параметра $x$. В частности, для наблюдаемой координаты $Q$ получаем
\[
\mathrm{D}_{s}(Q) \cdot \mathrm{D}_{s}(P) \geqslant 1 / 4 .
\]

Это неравенство называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. К нему полностыо прнменима интерпретация, данная в § II.6. В частности, из него вытекает, что наблюдаемые $Q$ и $P$ несовмест имы, т. е. не существует процедуры, которая совместно реализовала бы измерения $Q$ и $P$. Отсода, однако, не следует, что физические параметры-координага сдвига $x$ и относительная скорость $v$-в принципе не допускают совместного измеренияl Мы рассмотрим этот вопрос подробно в 7.
*) Для заряженной частицы оператор скорости нмеет несколько другой вид, однако мы не будем вдаваться в этог вопрос (см., например, Яух [134]).